BOAS FESTAS

Caros alunos, espero que tenham tido um Bom Natal e desejo-vos um próspero ano novo de 2013 cheio de sucessos (em Geometria Descritiva principalmente).

O FIM DE UM CICLO DE ESTUDOS - APRESENTAÇÃO DA TESE

O dia 17 de dezembro de 2012 representou o culminar do estudo desenvolvido na Universidade do Minho, que se traduziu na tese de Mestrado apresentada com elevado sucesso nesse dia.
O meu obrigado aos alunos do 11AV1 de 2011-2012, que agora contituem a turma 12AV1, da Escola Secundária Martins Sarmento. Sem eles o estudo não teria existido e penso que eles também beneficiaram com a implementação deste blogue.
Um abraço de agradecimento a cada um dos alunos envolvidos.

Teste nº 2 ... 2012.2013

Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine as projeções da reta s perpendicular à reta r.

Dados:

– a reta r é definida pelo ponto A(0;11;7) e pelo seu traço frontal F com 7 cm de abcissa e 2 de cota;

– a reta s, concorrente com a reta r, contém o ponto P(0;5;2).

2.       Determine as projeções da reta i, de interseção do plano oblíquo π com o plano passante θ.

Dados:

–  o plano π intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;

– os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respectivamente, ângulos de 50⁰ e de 30⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).

3.       Determine as projeções e a verdadeira grandeza da distância d do ponto P à reta passante r.

Dados:

– o ponto P pertence ao bissetor dos diedros pares, tem -4 cm de abcissa e 4,5 cm de cota;

– os traços da reta r têm 4 cm de abcissa;

– as projeções da reta fazem, ambas, ângulos de 50⁰ de abertura para a direita com o eixo x.

4.       Represente, pelas suas projeções, a pirâmide quadrangular regular situada no 1º diedro.

Dados:

– a base é o quadrado [ABCD], contida num plano passante θ;

– o centro da base é o ponto O(0;3;4);

– o ponto A tem 3 cm de abcissa, 2 cm de afastamento e é um vértice da base;

– o vértice V da pirâmide pertence ao plano horizontal de projeção.

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA DE PERFIL

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA DE PERFIL

É dada uma reta P, de perfil, definida pelos pontos A(2;4;5) e B(2;3). Determine as projeções e a V.G. da distância do ponto P(-2;3;1) à reta p.

Propostas de resolução:

1) Mudança de diedro de projeção:

Representa-se a reta p (com os pontos A e B) e o ponto P.
Desenha-se um novo eixo X perpendicular à reta, que permite a mudança de diedro de projeção (optou-se por manter as cotas e alterar os afastamentos, mudando o plano 2 para 4).
A reta p foi transformada numa reta frontal, e por ela passou-se uma reta perpendicular em I e a passar em P. A representação das projeções do ponto I nos planos de projeção originais permite desenhar as projeções do segmento [IP], que representa a distância pretendida.
Efetuou-se o rebatimento do segmento para o plano horizontal que contém o ponto P (por opção), determinando-se assim a V.G. da distância entre o ponto P e a reta de perfil p.
O rebatimento poderia ter sido feito para plano horizontal de projeção.

2) Rebatimento

Representa-se a reta p (com os pontos A e B) e o ponto P.
Incluiu-se a reta p num plano de perfil e efetuou-se o seu rebatimento. Rebateu-se também um ponto P' com as mesmas coordenadas de P (com abcissa diferente, mas pertencente à mesma reta fronto-horizontal).
A reta p rebatida é perpendicular à reta i (de interseção do plano de perfil com o de rampa que contém o ponto P e é ortogonal à reta p) no ponto I.
O contra-rebatimento do ponto I permitiu desenhar de imediato o segmento [IP].
Efetuou-se o rebatimento do segmento [IP] para o plano horizontal que contém o ponto P (por opção), determinando-se assim a V.G. da distância entre o ponto P e a reta de perfil p.

O rebatimento poderia ter sido feito para plano horizontal de projeção.

Teste nº 2 de GDA

O teste nº 2 de 2012-2013 terá a seguintes estrutura:

• Interseções;
• Distâncias;
• Projeção de sólidos com bases contidas em planos não projetantes;
• Perpendicularidade.

Sugere-se a realização dos exercícios de exame relativos aos conteúdos a avaliar.

http://www.aproged.pt/examesgeometria.html

http://www.gave.min-edu.pt/np3/np3/451.html

http://www.paraescolar.pt/geometria-descritiva-11/guia-de-estudo-geometria-descritiva-a-11-ano?indep=0&id=9571736&idAno=9026&tema=tex

Bom trabalho !!!

TESTE 1 b - RECUPERAÇÃO

Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine as projecções da recta de intersecção, i, dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo

ponto do eixo x.

Dados

– os traços do plano α intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60⁰, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;

– o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela recta b;

– o traço horizontal faz um ângulo de 20⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a recta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

2.       Determine as projeções da reta oblíqua a concorrente coma  reta r.

Dados

– a reta r contém os pontos R(4;-3;0) e S(-1;6;5);

– a reta a contém o ponto A(4;7;-3) e é perpendicular à reta r.

3.       Represente, pelas suas projeções, o triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro.

Dados:

– o triângulo está contido no  plano oblíquo α, cujos traços horizontal e frontal são concorrentes num ponto com -4,5 cm de abcissa;

– o vértice A tem 1 cm de abcissa, 1 cm de afastamento e 3 cm de cota;

– o vértice B tem 4,5 cm de abcissa e 5 cm de afastamento e pertence ao traço horizontal do plano α.

4.       Represente, pelas suas projeções, um cubo, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados:

– a face [ABCD] está contida num plano de rampa θ, cujo traço horizontal tem 4,5 cm de afastamento;

– a aresta [AB] pertence à reta oblíqua r;

– a reta r interseta o plano horizontal de projeção no ponto H, com 4 cm de abcissa, e a sua projeção frontal faz um ângulo de 55⁰ (a.d.) com o eixo x;

– o vértice A pertence ao plano frontal de projeção e tem abcissa nula;

– o segmento [AE] é uma das arestas de perfil do cubo e o ponto E tem 8,5 cm de cota.

Exercícios propostos

 Recordar:

Métodos Geométricos Auxiliares - REBATIMENTO DO PLANO DE RAMPA E OBLÍQUO

O rebatimento do plano de rampa será feito através de:

- Triângulo de rebatimento, usando como charneira de rebatimento um dos traços do plano (horizontal ou frontal). A opção deverá ter em conta as coordenadas dos pontos de modo a evitar alguns traços e a simplificar a execução gráfica dos exercícios. Os triângulos de rebatimento (um por cada ponto) serão semelhantes, onde os catetos serão paralelos entre si e as hipotenusas também;

- Rebatimento do plano através do rebatimento dos seus traços. Devermos escolher uma charneira de rebatimento, que será um dos traços e que fica imediatamente rebatido. A seguir rebate-se o outro traço e teremos a V.G. onde resolveremos o exercício de forma a criar condições para o contra-rebatimento e as projeções da figura plana a representar em cada exercício.

EXERCÍCIOS:

Perpendicularidade:

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α perpendicular ao plano vertical β.

Dados:

- o plano β faz um diedro de 40⁰ (a.e.) com o plano frontal de projeção e interseta o eixo x num ponto com -4 de abcissa;

- o plano α contém a reta r, pertencente ao β_2/4 e definida pelos pontos R(4;0;0) e S, com 2 cm de abcissa e 3 cm de cota.

Proposta de resolução:

A reta r pertence do β_2/4 pois tem as projeções coincidentes e contém os pontos R e S (do β_2/4).

A reta h, horizontal, passa em S e é ortogonal ao plano β  e permite representar os traços do plano oblíquo α.

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo δ perpendicular ao plano α.

Dados:

– os traços horizontal e frontal, do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ (a.d.) e 45⁰ (a.d.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com 6 cm de abcissa;

– o plano δ contém a reta frontal f;

– a reta f contém  ponto P(-2;2;4) e faz um ângulo de 60⁰  (a.d.) com o plano horizontal de projeção.

Proposta de resolução:

Representa-se o plano α pelos seus traços.

Representa-se a reta frontal f que passa em P e o seu traço horizontal.

Pelo ponto P representa-se uma reta (p) perpendicular ao plano α e determinam-se os seus traços.

Com os traços das retas representa-se o plano δ pelos seus traços.

Repare que a reta p é ortogonal ao plano α e pertence ao plano α, pelo que os planos são ortogonais.

Paralelismo:

Determine os traços, horizontal e frontal, de um plano oblíquo α paralelo à recta r. 

Dados:

– a recta r contém os pontos A(5;-4;4) e B(1;5;-5);;

– o plano α contém os pontos C(-1;0;0) e D(-4;2;4).

Proposta de resolução:

A reta r contém os pontos A e B (pertence ao β_2/4).

A reta s passa no ponto D e é paralela a r (logo paralela ao β_2/4).
Determinados os traços da reta s e a passar em C (ponto do eixo x) representam-se os traços do plano α. 
Repare que s é paralela a r e pertence a α, logo α é paralelo a r.


INTERSEÇÕES.Determine as projeções da reta i, de interseção do plano oblíquo π com o plano passante θ.

Dados

– o plano π interseta o eixo x no ponto com 5 cm de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano π fazem, respetivamente, ângulos de 50º e de 30º  ambos  de abertura para a direita com o eixo x;

– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P(0;3;6).

Bom trabalho e muito estudo !!!

TESTE Nº 1 - ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.       Determine as projeções da reta de interseção do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ .

Dados:

– o plano δ está definido pela reta de maior declive, d;

– a reta d contém do ponto P(-2;3;4);

– as projeções, horizontal e frontal, da reta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30⁰, de abertura para a esquerda, e de 50⁰, de abertura para a direita, respetivamente;

– os traços horizontal e frontal do plano ρ têm -5 de afastamento e 7 de cota, respetivamente.

 2.       Determine os traços do plano μ paralelo ao plano δ.

Dados

– o plano δ contém as retas fronto-horizontais a e b;

– a reta a tem 3 de afastamento e 8 de cota;

– a reta b pertence ao bissetor dos diedros pares, β_2/4, e tem 4 de cota;

– o plano μ contém o ponto P (6; 5; 6).

3.       Desenhe as projeções do retângulo [ABCD], situado no 1º diedro e contido no plano de rampa ρ.

Dados:

– o traço horizontal do plano de ρ tem 6 cm de afastamento e o traço frontal tem 4 cm de cota;

– o vértice A pertence ao traço frontal do plano ρ e tem abcissa nula;

– a diagonal [AC] do retângulo faz um ângulo de 65⁰ com o traço frontal do plano e o vértice C tem cota nula e situa-se à direita de A;

– a diagonal [BD] da figura é paralela ao eixo x.

4.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados:

– a base [ABCD] está contida num plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 cm de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A(1;8) e C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 12 cm de altura.

Este ano há exame. É preciso trabalhar muito … 

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