Teste de 06.06.2011

Proposta de resolução do teste sumativo, de GD A do 11AV1, de 06.06.2011:

1.      Determine os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

Dados

– o plano α é definido pelas retas a e b;

– a reta a contém o ponto S (3; 5; 3);

– as projeções, horizontal e frontal, da reta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respetivamente;

– a reta b pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, (β_1,3), e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;

– o plano π contém o ponto P (– 6; 3; – 4).

2.      Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s.

Dados

– a reta r é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β_2,4);

– a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 30°, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– o ponto F, traço frontal da reta r, tem 8 cm de abcissa e 8 cm de cota;

– a reta s é concorrente com a reta r no ponto P, com 3 cm de cota;

– as projeções da reta s são perpendiculares às projeções homónimas da reta r.

3.  Represente pelas suas projeções uma pirâmide pentagonal oblíqua com base contida no plano horizontal de projeção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados. 

Determine as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano de rampa ρ.

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

Dados:

– a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O(4;5;0) e 5 cm de raio;

– a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;

– o vértice V da pirâmide tem 9 cm de cota;

– o traço horizontal do plano de rampa ρ tem 11 cm de afastamento e o seu traço frontal tem 5 cm de cota.

 

4.      Construa uma representação axonométrica oblíqua (colinogonal), em perspetiva cavaleira, de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular oblíquo e por um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– o eixo axonométrico y faz ângulos de 135⁰ com os eixos axonométricos x e z;

– as projetantes fazem ângulos de 60⁰ com o plano axonométrico.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma:

– as bases do sólido são quadrados de lados paralelos aos eixos x e y;

– a base de menor cota está assente no plano coordenado horizontal xy;

– as arestas das bases medem 3cm;

– o vértice A(6;6;0) é um dos vértices de maior afastamento da base inferior do sólido;

– o vértice G, com 3 cm de abcissa, 3 cm de afastamento e 6 cm de cota, é o oposto do vértice A.

Cubo:

– o ponto A é o vértice de menor abcissa da aresta de menor afastamento, comum ao prisma, que é paralela ao eixo x e pertence à face inferior.

Indicações

As coordenadas apresentadas no enunciado estão expressas em centímetros e são indicadas pela seguinte ordem: abcissa; afastamento; cota.

Os ângulos dados, relativos a rectas ou a planos, são medidos no 1.º diedro.

Desenhe em tamanho natural, sem reduzir nem ampliar as medidas dadas.

Na resolução dos problemas, respeite os dados e indique as notações necessárias para identificar os processos de resolução utilizados e as soluções gráficas pedidas.

Desenhe com rigor, respeitando as adequadas diferenciações relativas aos vários tipos de traço e enquadrando bem o desenho na área útil da folha de resposta.

Teste de GDA do dia 06.06.2022

O teste de 06.06.2011 terá, novamente, uma estrutura de exame e desta vez não haverá nenhuma indicação em relação aos conteúdos abordados. Apenas que o teste respeitará, obviamente, a estrutura de exame.

Questão de aula nº 7

A questão de aula nº 7, de GD A do 11AV1, realiza-se no dia 02.06.2011, incidindo sobre a representação axonométrica de formas tridimensionais.

Proposta de resolução:

Construa uma representação axonométrica oblíqua (colinogonal), em perspetiva cavaleira, de um prisma quadrangular oblíquo, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados

Sistema axonométrico:

– o eixo axonométrico y faz ângulos de 135⁰ com os eixos axonométricos x e z;

– as projetantes fazem ângulos de 60⁰ com o plano axonométrico.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma:

– as bases do sólido são quadrados de lados paralelos aos eixos x e y;

– a base de menor cota está assente no plano coordenado horizontal xy;

– as arestas das bases medem 3cm;

– o vértice A(6;6;0) é um dos vértices de maior afastamento da base inferior do sólido;

– o vértice G, com 3 cm de abcissa, 3 cm de afastamento e 6 cm de cota, é o oposto do vértice A.

Teste de GD A do 11AV1 de 26.05.2011

Proposta de resolução

1.      Determine as projeções do ponto de interseção, I, da recta de perfil r com o plano de rampa ρ.

Dados

– o plano ρ  tem o seu traço horizontal com –7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;

– a recta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β_2,4).

2.      Represente pelas suas projeções, horizontal e frontal, o quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo β.

Dados:

– o ponto A(-5,5;5;3) é um dos vértices do quadrado;

– o vértice C tem 0 de abcissa e 2,5 de afastamento;

– a diagonal [AC] pertence a uma reta oblíqua passante;

– o traço horizontal h_β do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 45⁰, com abertura para a direita.

3.      Represente, pelas suas projeções, um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo

apresentados.

Determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projeção, utilizando a direção luminosa convencional.

Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados

– a base está contida no plano frontal φ e tem 4 cm de raio;

– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β_1,3) e tem 2 de abcissa e 8 de afastamento;

– o vértice é o ponto V, com 1 cm de afastamento.

……..    

4.      Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por uma pirâmide triangular oblíqua de base regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– trimetria:

a projeção axonométrica do eixo y faz ângulos de 130° e de 120°com as projeções dos eixos x e z, respetivamente.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Sólidos

– os pontos R(5;5,11) e S(0;5;11) definem uma aresta comum.

Prisma quadrangular regular:

– uma base está contida no plano coordenado horizontal xy;

– os pontos R e S definem a aresta de maior afastamento da outra base.

Pirâmide triangular oblíqua de base regular:

– a base [RST] é paralela ao plano coordenado horizontal xy, sendo T o ponto de maior afastamento;

– o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma.

Estrutura parcial do teste

O teste do dia 26 de Maio de 2011 terá a seguinte estrutura parcial de GD A - 10AV1:

- Um exercício de interseções;
- Um exercício (4. à semelhança do exame) de representação axonométrica de uma forma tridimensional composta por dois sólidos;
- Uma sombra de um sólido (dos conteúdos não avaliados) (exercício 3. que em exame alterna normalmente entre sombra e secção);
- ?????????????????????????????? Surpresa (agradável, espero eu).

Sugestão: resolvam os exercícios tridimensionais dos exames nacionais. Pode ajudar.

Aula antes do teste

Caros alunos, atendendo às circunstâncias a Questão de aula será adiada, sendo a aula de 23.05.2011 destinada ao esclarecimento de dúvidas de preparação para o teste sumativo.

Exercícios de GD A 10.05.2011 - 11AV1

Exercício 1 - resolução conjunta

Considere uma axonometria dimétrica em que o eixo x faz ângulos de 125⁰ com os eixos axonométricos y e z.

Represente um prisma quadrangular regular situado no 1º triedro, sabendo que:

- uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], contido no plano coordenado xy;

- os pontos A(7;3;0) e B(2;3;0) são os extremos de um dos lados do quadrado;

- a altura do prisma mede 8 cm.

Exercício 2 - resolução autónoma

Considere uma axonometria dimétrica em que o eixo x faz ângulos de 115⁰ com os eixos axonométricos y e z.

Represente uma pirâmide quadrangular regular situada no 1º triedro, sabendo que:

- a base da pirâmide é o quadrado [ABCD], contido no plano coordenado xz;

- os lados do quadrado são paralelos aos eixos x e z e as diagonais medem 7 cm;

- o vértice da pirâmide é o ponto V(4;8;4).

BOA PÁSCOA

Olá a todos. Espero que estejam a passar umas boas férias e que a PÁSCOA seja FELIZ.

Prof. A.COSTA

Teste de 28.03.2011 e correção

Teste de 28.03.2011 e proposta de correção:

1.       Determine os traços do plano β, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano δ.

Dados:

Plano δ:

– o plano δ contém o ponto A(3; 6; 4) e uma recta horizontal h;

– a recta h tem 8 cm de cota, faz com o plano frontal de projecção, um ângulo de 50°, com abertura para a direita, e o seu traço frontal, F_h, tem 6 cm de abcissa.

Plano β:

– o plano β contém os pontos P(0; 2; 4) e R(–5; 0; 0).

2.       Desenhe as projeções de um prisma pentagonal oblíquo situado no 1º diedro.

Dados:

– uma das bases do prisma é o pentágono regular [ABCDE] contido no plano horizontal de projeção;

– o centro dessa base é o ponto O(4;4;0) e o vértice A tem 4 cm de abcissa e 7 cm de afastamento;

– as arestas laterais do prisma são frontais e fazem ângulos de 60⁰ (a.d.) com o plano horizontal de projeção;

– a altura do prisma mede 5,5 cm.

Determine as projeções do sólido resultante da secção produzida no prisma pelo plano oblíquo α cujos traços horizontal e frontal fazem ângulos de 55⁰ (a.e.) e 25⁰ (a.e.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com 6,5 cm de abcissa. Considere o sólido truncado que apresenta a figura da secção visível em ambas as projeções.

3.       Desenhe as projecções do retângulo [ABCD], situado no 1º diedro e contido no plano de rampa ρ.

Dados:

– o traço horizontal do plano de ρ tem 6 cm de afastamento e o traço frontal tem 4 cm de cota;

– o vértice A pertence ao traço frontal do plano ρ e tem abcissa nula;

– a diagonal [AC] do retângulo faz um ângulo de 65⁰ com o traço frontal do plano e o vértice C tem cota nula e situa-se à direita de A;

– a diagonal [BD] da figura é paralela ao eixo x.

Determine a sombra projetada do retângulo nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional.

 

4.       Represente em dupla projeção ortogonal, uma pirâmide triangular regular de base frontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados:

- o ponto A(4;7;3) é um dos vértices da base [ABC];

        - o vértice principal, V, tem 0 de abcissa, 1,5 de afastamento e 4,5 de cota.

Hora do teste sumativo de 28.03.2011

Caros alunos, o  teste sumativo de 28.03.2011 deverá ocorrer às 8.25 horas simultaneamente nas salas P1 e P2.

Solicito que avisem os alunos que eventualmente não estejam informados.

Estrutura parcial do teste sumativo de 28.03.2011

Caros alunos, o teste sumativo de 28.03.2011 terá a seguinte estrutura parcial:

- 1 exercício de secções (plano secante oblíquo? Quem sabe ... quem sabe ...) ;

- 2 exercícios de sombras (sendo 1 de figuras planas e 1 de uma pirâmide);

- 1 exercício surpresa ... (escolhido entre os exercícios 1 dos exames nacionais).

Bom fim de semana e bom estudo. Não se esqueçam da inscrição no blogue.

Questão de aula nº 6 de 21.03.2011

Desenhe as projecções de um quadrado [ABCD], situado no 1º diedro e contido num plano oblíquo α.

Dados:

– o plano oblíquo α é perpendicular ao β_1,3 e interseta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa;

– o vértice A do quadrado pertence ao plano horizontal de projeção, tem abcissa nula e 3 cm de afastamento;

- o vértice B, consecutivo de A, tem afastamento nulo;

- o lado do quadrado mede 5 cm.

Considerando a direção luminosa convencional, determine a sombra projetada do quadrado nos planos de projeção.

Proposta de correção: 

1. Representa-se o plano pelos seus traços (simétricos em relação ao eixo x) e o ponto A;

2. Rebateu-se o traço frontal. A charneira de rebatimento é o traço horizontal;

3. A partir de Ar marcou-se 5 cm (lado do quadrado) sobre f_αr encontrando Br;

_{4. Determinaram-se os pontos Cr e Dr;}

_{5. Efetuou-se o contra-rebatimento de B, C e D. Por opção optou-se pelo recurso às retas dos pontos, mas poder-se-ia usar o triângulo de rebatimento (por exemplo);}

_{6. Determinou-se a sombra dos 4 pontos. A sombra de A e de B determinam-se diretamente (dado que têm respetivamente cota e afastamento nulos);}

_{7. Representou-se a sombra do quadrado, com recurso à sombra virtual (A e C) para determinar os pontos de quebra;}

_{8. A sombra está representada com recurso à "mancha uniforme de grafite" (aqui representada a vermelho).}

Questão de aula nº 5 de 21.03.2011

Determine as projecções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida pelo plano de rampa θ num prisma triangular oblíquo situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do prisma.

Preencha, a tracejado paralelo ao eixo x, a verdadeira grandeza da secção.

Dados:

– uma das bases é o triângulo equilátero[ABC], contido no plano horizontal de projecção;

– o vértice A tem abcissa nula e 2 de afastamento e o vértice B tem 5 de abcissa e 4 de afastamento;

- as arestas laterais do prisma são frontais e fazem ângulos de 60⁰ (a.e.) com o plano horizontal de projecção;

- a altura do sólido mede 6 cm;

- o traço horizontal do plano θ tem 6 cm de afastamento e o traço frontal tem 7 cm de cota.

Proposta de resolução:

1. Representou-se o triângulo [ABC] que está contido no plano horizontal de projeção;

2. Representou-se o plano com a base de maior cota. A altura está entre as 2 bases;

3. Representou-se o prisma;

4. Efetuou-se a 3ª projeção (projeção de perfil) e o traço de perfil do plano. Usou-se o eixo YZ para efetuar a projeção de perfil;

5. A secção na projeção de perfil é direta, pois o plano foi "transformado" num plano vertical (projetante);

6. Os pontos M, N, O e P da secção foi transportados para as projeções horizontal e frontal. Note que o plano secante corta a base de menor cota nos pontos O e P;

7. Representaram-se as projeções da secção;

8. Efetuou-se o rebatimento dos pontos da secção para determinara a V.G. (verdadeira Grandeza), que foi preenchida a tracejado paralelo ao eixo x.

Questão de aula de 21.03.2011

A questão de aula de 21.03.2011 dividir-se-á em duas partes:

1. Secções (pirâmides ou prismas por quaisquer planos projetantes ou não projetantes e/ou cones e cilindros por planos projetantes);

2. Sombras (naturalmente que deverá ser relativa a uma figura plana).


Por acordo comum serão avaliadas em separado 2 questões de aula.

Bom fim de semana e bom estudo.

Sombra projetada de um triângulo equilátero contido num plano de topo

Desenhe as projeções do triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro e contido num plano de topo θ.

Dados:

- o plano de topo θ faz um diedro de 50⁰  (a.d.) com o plano horizontal de projeção e interseta o eixo x num ponto com 1 cm de abcissa;

- o vértice  A do triângulo pertence ao traço frontal do plano θ tem 3 cm de cota;

- o vértice B tem 5 cm de afastamento e 6 cm de cota.

Considerando a direção luminosa convencional, determine a sombra projetada do triângulo nos planos de projeção.

1. Representou-se o plano de topo em função dos seus dados;

2. Representou-se o ponto A, concluindo-se que tem 0 de cota, uma vez que pertence ao traço frontal do plano (é o ponto que pertence e não a projeção frontal);

3. Representou-se o ponto B em função das suas coordenadas;

4. Rebateram-se os pontos A e B;

5. Determinou-se o vértice C do triângulo em verdadeira grandeza;

6. Efetuou-se o contra-rebatimento do ponto C;

7. Determinou-se a sombra real dos 3 pontos. A sombra do ponto A determina-se diretamente, ficando A2≡As2, uma vez que tem cota nula;

8. Representou-se a sombra projetada do triângulo. Os pontos de quebra, Q e Q', determinam-se recorrendo à sombra virtual do vértice C.

Sombra de um retângulo

Sombra de um retângulo [ABCD] contido num plano frontal e situado no 1º diedro.
Dados:
- os pontos A(2;4;0) e B, são dois vértices consecutivos do retângulo;

- o ponto B pertence ao β1/3 e tem 4 cm de abcissa;

- os lados maiores da figura medem 6 cm.

Considerando a direção luminosa convencional, determine a sombra projetada do retângulo nos planos de projeção.

1. Representou-se o retângulo pelas suas projeções;

2. Determinou-se a sombra real dos 4 vértices do retângulo;

3. A sombra do vértice A determina-se diretamente pois fica A1≡As1 uma vez que o ponto tem cota nula;

4. A sombra de B situa-se no eixo x, pois tem cota e afastamento iguais, sendo por isso um ponto um ponto de quebra;

5. O outro ponto de quebra (Q) determinou-se pelo paralelismo com [C2D2] a partir de Cs2 até ao eixo x;

6. Preencheu-se com uma mancha uniforme a sombra do retângulo.

Sombra projetada de um pentágono contido num plano frontal

Desenhe as projeções do pentágono [ABCDE], contido num plano frontal.
Dados:
- o pentágono está inscrito numa circunferência com 4 cm de raio e centro no ponto O(2;4;5);
- o lado de menor cota é fronto-horizontal.
Considerando a direção luminosa convencional, determine a sombra projetada do pentágono nos planos de projeção.

Secção de um cilindro - método das geratrizes

Secção de um cilindro - método das geratrizes

Cilindro oblíquo, com 7 cm de altura.
Base de menor afastamento:
- centro O(0;0;4); raio = 3 cm

- eixo: horizontal e faz um ângulo de 60⁰

Plano secante: vertical, faz um ângulo de 25⁰ e corta o eixo x 2 cm à esquerda do sólido.

Resolução:

Para determinar a verdadeira grandeza (V.G.) da secção era só rebater os 8 pontos, através de um dos processos de rebatimento estudados.