QUESTÃO DE AULA Nº 1 E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo δ perpendicular ao plano α.

Dados:

– os traços horizontal e frontal, do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ (a.d.) e 45⁰ (a.d.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com 6 cm de abcissa;

– o plano δ contém a reta frontal f;

– a reta f contém  ponto P(-2;2;4) e faz um ângulo de 60⁰  (a.d.) com o plano horizontal de projeção.

Proposta de resolução:

Representa-se o plano α pelos seus traços.

Representa-se a reta frontal f que passa em P e o seu traço horizontal.

Pelo ponto P representa-se uma reta (p) perpendicular ao plano α e determinam-se os seus traços.

Com os traços das retas representa-se o plano δ pelos seus traços.

Repare que a reta p é ortogonal ao plano α e pertence ao plano α, pelo que os planos são ortogonais.

PERPENDICULARIDADE ... DESAFIO e RESOLUÇÃO

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α perpendicular ao plano vertical β.

Dados:

- o plano β faz um diedro de 40⁰ (a.e.) com o plano frontal de projeção e interseta o eixo x num ponto com -4 de abcissa;

- o plano α contém a reta r, pertencente ao β_2/4 e definida pelos pontos R(4;0;0) e S, com 2 cm de abcissa e 3 cm de cota.

Proposta de resolução:

A reta r pertence do β_2/4 pois tem as projeções coincidentes e contém os pontos R e S (do β_2/4).

A reta h, horizontal, passa em S e é ortogonal ao plano β  e permite representar os traços do plano oblíquo α.

Bom trabalho e muito estudo !!!

QUESTÃO DE AULA Nº 1

A questão de aula nº 1 fica marcada para 2ª feira, 14/11/2011 e inclui os conteúdos "paralelismo" e/ou "perpendicularidade".

Bom trabalho a todos.

O apoio de GD A é à 4ª feira às 14.35 horas na sala D1D1.

PARALELISMO ... DESAFIO

Determine os traços, horizontal e frontal, de um plano oblíquo α paralelo à recta r. 

Dados:

– a recta r contém os pontos A(5;-4;4) e B(1;5;-5);;

– o plano α contém os pontos C(-1;0;0) e D(-4;2;4).

Proposta de resolução:

A reta r contém os pontos A e B (pertence ao β_2/4).

A reta s passa no ponto D e é paralela a r (logo paralela ao β_2/4).
Determinados os traços da reta s e a passar em C (ponto do eixo x) representam-se os traços do plano α. 
Repare que s é paralela a r e pertence a α, logo α é paralelo a r.

TESTE SUMATIVO DE GD_A DE 31.10.2011

Cotações:

1.    50 pts.
2.     50 pts.
3.     50 pts.
4.    50 pts. 

Total       200 pts. 

Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine as projeções da reta de interseção, i, do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ.

Dados:

– o plano δ está definido por uma reta de maior declive, d;

– a reta d contém o ponto P(–2; 3; 4);

– as projeções, horizontal e frontal, da reta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, e de 50⁰, de abertura para a direita, respetivamente;

      – os traços horizontal e frontal do plano ρ têm –5 de afastamento e 7 de cota, respetivamente.

2.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados:

– a base [ABCD] está contida num plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 cm de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A(1;8) e C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 12 cm de altura.

3.       Desenhe as projeções de um cubo situado no1º diedro.

Dados:

– a face [ABCD] do sólido está contida num plano passante ρ;

– o centro dessa base é o ponto O(4; 6; 3);

– o vértice A tem 1 cm de abcissa e 4,5 cm de afastamento.

4.       Desenhe as projeções do pentágono regular [ABCDE], contido no plano oblíquo α.

Dados:

– o plano α é perpendicular ao β_1/3 e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o pentágono está inscrito numa circunferência com 3 cm de raio, cujo centro é o ponto O(3;3;4);

– o lado de menor cota da figura é horizontal.

MATERIAIS DE APOIO A GD A

Caros alunos, conforme combinado indico abaixo dois livros de apoio a GD A. Relembro que não existe nenhum caráter obrigatório na sua aquisição.

Preparação para o Exame Nacional 2012 - Geometria Descritiva A - 11.º Ano

de Maria João Müller

Guia de Estudo - Geometria Descritiva A - 11.º ano
de Maria João Müller

Relembro que o blogue continua a ser um suporte fundamental no complemento ao ensino presencial.

Bom trabalho a todos.

EXERCÍCIOS ... DESAFIOS

   

    Desenhe as projecções da recta i, de intersecção do plano oblíquo α com o plano de rampa ρ.

Dados:

– o plano oblíquo α é ortogonal ao β_1,3, intersecta o eixo x num ponto de abcissa nula e o seu traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45⁰ de abertura para a esquerda;

– o plano ρ é definido pelas rectas fronto-horizontais a e b;

– a recta a tem 2 cm de afastamento e 4 cm de cota;

– a recta b contém o ponto B(-5;4;3).

      Desenhe as projecções de uma pirâmide quadrangular regular situada no 1º diedro.

Dados:

– o quadrado [ABCD] da base está contido no plano oblíquo α;

– o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 50⁰ (a.d.) com o eixo x, intersectando-o num ponto com 2 cm de abcissa;

– a lado [AB] do quadrado pertence ao plano horizontal de projecção e o vértice A tem abcissa nula;

– o vértice D, extremo do lado [AD], pertence ao plano frontal de projecção;

– os lados do quadrado medem 6 cm;

– a altura da pirâmide mede 8 cm.

Solução:

Represente pelas suas projeções, horizontal e frontal, o quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo β.

Dados:

– o ponto A(-5,5;5;3) é um dos vértices do quadrado;

– o vértice C tem 0 de abcissa e 2,5 de afastamento;

  – a diagonal [AC] pertence a uma reta oblíqua passante;

  – o traço horizontal h_β do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 45⁰, com abertura para a direita.

TESTE SUMATIVO DE 24/10/2011

Alguns dos conteúdos a abordar no teste de GDA de 24/10/2011:

• Interseções (entre planos e/ou entre retas e planos)
• Figuras planas contidas em planos não projetantes
• Sólidos com bases contidas em planos não projetantes

Bom  trabalho.

Agradeço que quem abrir o blogue deixe a mensagem (nome pelo menos) conforme combinado. Sem falta por favor.
Se alguém quiser usar este espaço para colocar dúvidas pode fazê-lo. Tentarei ver em tempo útil.

Não esquecer de efetuar o registo como SEGUIDOR do blogue.

SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS NÃO PROJETANTES

Depois de sabida, espero que com sucesso, a representação de figuras planas em planos oblíquos, de rampa e/ou passantes, é altura de representar sólidos com bases assentes nos mesmos planos.

Plano oblíquo:

Considerremos os pontos A(4;0) e B(0;3) contidos num plano oblíquo α e que são dois vértices de um quadrado [ABCD]. O traço frontal do plano faz um diedro de 45⁰(a.e.) e o traço horizontal faz um diedro de 60⁰(a.e.).

Considerando que o quadrado [ABCD] é a base de uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro,com 6 cm de altura, represente as projeções do sólido.

Passos resumidos:

. Representado o plano e os pontos A e B, estes são rebatidos de forma a permitir a determinação do quadrado da base (a charneira de rebatimento escolhida é o traço horizontal);

- O contra-rebatimento dos pontos C e D permitem representar o quadrado [ABCD] pelas suas projeções;

- Em V.G ou nas projeções do quadrado determina-se o centro da base (esta situação é permitida dado que as diagonais podem determinar-se sem ser em VG). Pelo centro da base passamos uma reta ortogonal ao plano (reta p);

- Uma vez que a reta p é oblíqua é necessário efetuar o seu rebatimento através de uma plano projetante (foi escolhido um plano de topo). A reta rebatida permite marcar o eixo da pirâmide em VG entre o centro O e o vértice V do sólido;

- O contra-rebatimento do ponto V permite desenhar as suas projeções, o que  possibilita representar a pirâmide (objetivo do exercício). Devemos atender às invisibilidades de acordo com os conhecimentos anteriormente adquiridos.

DESAFIO AOS ALUNOS DO 11 AV1

Determine as projecções do triângulo [LMN].
Dados
– o triângulo está situado no 1.º diedro;
– o ponto L (4; 2; 4) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;
– o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50º com o plano horizontal de projecção;
– o lado [LN] mede 8 cm;
– o ponto N é o vértice de menor cota.

Bom trabalho. E muita dedicação, que vai ser preciso.

Métodos Geométricos Auxiliares - REBATIMENTO DO PLANO DE RAMPA

O rebatimento do plano de rampa será feito através de:

- Triângulo de rebatimento, usando como charneira de rebatimento um dos traços do plano (horizontal ou frontal). A opção deverá ter em conta as coordenadas dos pontos de modo a evitar alguns traços e a simplificar a execução gráfica dos exercícios. Os triângulos de rebatimento (um por cada ponto) serão semelhantes, onde os catetos serão paralelos entre si e as hipotenusas também;


- Rebatimento do plano através do rebatimento dos seus traços. Devermos escolher uma charneira de rebatimento, que será um dos traços e que fica imediatamente rebatido. A seguir rebate-se o outro traço e teremos a V.G. onde resolveremos o exercício de forma a criar condições para o contra-rebatimento e as projeções da figura plana a representar em cada exercício.

INÍCIO DO PROJETO

Caros alunos do 11AV1, neste ano letivo de 2011/2012 concretizaremos o estudo formal sobre a utilização do blogue no ensino de Geometria Descritiva A.

Conto convosco e para isso já obtive a aprovação unânime dos pais/encarregados de educação presentes na reunião com a Diretora de Turma.

Ao trabalho "meus Senhores". A tarefa é árdua.

Exame de GD A - 2ª fase de 2011

1. Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ.

Dados

−− o plano δ está definido por uma recta de maior declive, d;

−− a recta d contém o ponto P (–2; 3; 4);

−− as projecções, horizontal e frontal, da recta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30º, de abertura para a

esquerda, e de 50º, de abertura para a direita, respectivamente;

−− os traços horizontal e frontal do plano ρ têm –5 de afastamento e 7 de cota, respectivamente.

2. Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.
Dados
−− o ponto P pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3), tem 6 de abcissa e 8 de afastamento;
−− o plano α é definido pelo ponto A (–1; 4; 2) e pela recta r;
−− a recta r contém o ponto M (6; –6; 9);
−− o ponto F, traço frontal da recta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.

3. Determine a sombra própria e a sombra real nos planos de projecção, de um cilindro oblíquo de bases
circulares, situado no 1.º diedro.
Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projecção, quer as projecções do
cilindro.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da
sua sombra projectada nos planos de projecção.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma
mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com
linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.
Dados
−− o cilindro tem bases frontais cujo raio mede 4,5 cm;
−− o ponto O (0; 0; 8) é o centro de uma das bases;
−− o ponto O’, centro da outra base, tem 4,5 de cota;
−− o eixo do cilindro é de perfil e faz um ângulo de 70º com o plano frontal de projecção;
−− a direcção luminosa é a convencional.

4. Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por uma
pirâmide hexagonal regular e um cubo.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
−− trimetria: a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 140º e de 100º com as projecções dos
eixos x e z, respectivamente.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para
cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Sólidos:
−− têm um eixo comum contido numa recta vertical.
Pirâmide hexagonal regular:
−− o ponto C (5,5; 5,5; 6) é o centro da base;
−− duas arestas da base são paralelas ao eixo x;
−− um vértice da base pertence ao plano coordenado de perfil yz;
−− o vértice da pirâmide pertence ao plano coordenado horizontal xy.
Cubo:
−− as faces estão contidas em planos paralelos aos planos coordenados;
−− a face de menor cota pertence ao plano da base da pirâmide;
−− as arestas medem 2 cm.

Pedido de CONCENTRAÇÃO e COMPETÊNCIA - Exame

Caros alunos, solicito que estejam muito concentrados no exame de Geometria Descritiva - 2º fase, dia 26/07/2011 - de modo a obterem os resultados que necessitam.

Espero que consigam demonstrar muita concentração e competência durante a prova. É fundamental evitar distrações.

Boa sorte a todos.

Prof. A. Costa

Felicitações

Após os resultados dos exames, venho por este meio felicitar os alunos. Todos, pelo esforço e dedicação, e ainda alguns pela excelência dos resultados! João Costa e Beatriz, MUITOS PARABÉNS! Aos que muito trabalharam mas não tiveram os resultados esperados, deixo uma palavra de solidariedade. Pensem no que falharam, porque falharam e evitem repetir esses erros. Todavia, não desanimem, todo o percurso tem momentos menos bons e é nessa luta contra a(s) adversidade(s) que os mais fortes se destacam!

Muitas felicidades!

Leandro Vieira

Exame de GD A ... 1ª fase 2011

1. Determine as projeções do ponto I, traço da reta b, no plano bissetor dos diedros pares (β_2,4).
Dados:

-  é paralela ao plano δ;
-  a reta b contém o ponto P(-7;7;-2);
- a projeção horizontal da reta b faz um ângulo de 45⁰ , de abertura para a direita, com o eixo x;
- o plano δ está definido pelos pontos R(3;6;3), S(0;6;5) e T(-3;1;5).

2. Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas a e p;
Dados:
- as retas a e p são concorrentes no ponto C(0;4;5);
- o ponto F, traço frontal da reta a, tem 8 de abcissa e -3 de cota;
- a reta p é de perfil;
-  o ponto H, traço horizontal da reta p, tem 8 cm de afastamento.

3. Represente, pelas suas projeções, um prisma triangular regular, situado no 1º diedro.
Identifique a traço interrompido as arestas invisíveis do sólido.
Dados:
- as bases do prisma estão situadas em planos oblíquos, perpendiculares ao plano bissetor dos diedros ímpares (β_1,3);
- a base [ABC] está contida no plano α, cujo traço horizontal faz um ângulo de 40⁰ , de abertura para a direita, com o eixo x;
- o ponto A(1;3;0) é um dos vértices da base referida;
- o ponto O'(3;10;9) é o centro da outra base.

4. Construa uma representação axonométricca oblíqua (colinogonal),em perspetiva cavaleira, de um sólido composto por uma pirâmide quadrangular oblíqua de base regular e um cilindro de revolução.
Ponha em destaque, no desenho final,apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.
Dados:
Sistema xonométrico:
- o eixo axonométrico y faz ângulos de 135⁰ com os eixos axonométricos x e z;
- as projetantes fazem ângulos de 60⁰  com o plano axonométrico.

 Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Pirâmide quadrangular oblíqua de base regular:
- a base está situada no plano coordenado xy;
- o ponto R com 3 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto S com 10 de abcissa e 4 de afastamento definem a aresta de menor afastamento da base;
- a face [RSV] é um triângulo isósceles paralelo ao plano coordenado frontal  zx;
- o ponto V com 8 de cota é o vértice da pirâmide.

Cilindro de revolução:
- uma base está situada no plano coordenado frontal  zx;
- o raio das bases mede 3 cm;
- o ponto V é o centro da base de maior afastamento.

Prova em:

http://cdn.gave.min-edu.pt/files/388/GDA708_F1_11.pdf

Critérios de correção em:

http://cdn.gave.min-edu.pt/files/388/GDA708_CC1_11.pdf

O exame de GD A

Caros alunos, decorreu o exame que me indicou de modo claro que a turma estava globalmente bem preparada. Espero que os Vossos resultados possam ser melhores do que os do ano passado.
Para quem não fez exame o trabalho continua.
Quem, na devida altura, quiser apreciar o exame pode contar com a minha colaboração
Saudações a todos.
Prof. A. Costa

Exame de GD A

Caros alunos, no dia 30/06/2011 realiza-se a 1ª fase do exame de GD A.

Sinto que estão com uma preparação positiva, mas há fatores aleatórios que interferem na Vossa performance.

É imperioso estar CONCENTRADÍSSIMO durante a realização da prova para que um erro ou uma distração não estraguem tudo.

Acredito em vocês. Espero que tenham sorte.

Bom trabalho,

Prof. A.Costa

Aula de preparação para o exame de 22.06.2011

Caros alunos a aula de 22.06.2011 deverá começar um pouco mais tarde, em virtude de eu ter reunião de avaliação do 10AV1. No entanto logo que eu esteja disponível desço para a sala de estudo.

Bom trabalho,

Prof. António Costa

Mensagem do Professor de Educação Física

Caros alunos, a mensagem que se segue é de total responsabilidade do Professor (Leandro Vieira) de Educação Física da Vossa turma:


"Olá! Sei que se aproximam os exames e os nervos teimam em não desaparecer. Estar nervoso não é necessariamente mau, é até bom sinal  (desde que na medida certa)! Preparem-se bem e encarem o exame como o momento da realização. Aquele em que vão ter a oportunidade de apresentar o fruto do vosso trabalho, empenho e dedicação.
Fico a torcer por vocês!
Sejam felizes!!
Cumprimentos
Leandro"

Proposta de exercícios

Caros alunos na próxima 2ª feira haverá apoio suplementar de preparação para o exame de GD A.

Proponho que resolvam exercícios de de sólidos com bases contidas em planos de rampa.

Bom trabalho.

Prof. A.Costa


No exame nenhum exercício deverá ficar em branco. Em nenhuma situação.

Preparação do exame nacional de GD A

Terminaram as aulas, mas não terminou o ano letivo. É preciso arregaçar as mangas e estudar muito para que o sucesso no exame nacional seja uma realidade.

Está tudo combinado. Agora ... vamos ao trabalho.

T.P.C. ... Exercício proposto

Exercício proposto ... T.P.C.:

Considere uma perspetiva planométrica em que o eixo axonométrico z faz um ângulo de 120⁰ com o eixo x e de 150⁰  com o eixo y. A inclinação das projetantes é de 55⁰ .
Represente um conjunto de sólidos formado por um cubo e uma pirâmide hexagonal regular, situados no 1º triedro. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do conjunto.
Dados
Cubo:
- as faces do cubo são paralelas aos planos coordenados;
- a face de menor cota do sólido pertence ao plano coordenado xy e o seu centro é o ponto Q, com 3 cm de abcissa e 6 cm de afastamento;
- as arestas do cubo medem 4 cm.


Pirâmide hexagonal regular:
- o vértice V da pirâmide coincide com o centro da face de maior cota do cubo;
- a base do sólido tem 12 cm de cota;
- as arestas da base medem 2,5 cm e duas arestas são paralelas ao eixo y.

Bom trabalho !!!