ÂNGULO ENTRE UMA RETA E UM PLANO - MÉTODO DO ÂNGULO COMPLEMENTAR

Determine a verdadeira grandeza do ângulo formado entre a reta oblíqua r e o plano oblíquo α.
A reta r contém o ponto R(0;3;6) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 25⁰(a.d.) e 40⁰(a.e.)  com o eixo x. 
Os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 45⁰ (a.d.) e 30⁰ (a.d.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com 5 cm de abcissa.


Proposta de resolução:

Pelo ponto R representou-se uma reta perpendicular ao plano α;
Determinou-se a verdadeira grandeza do ângulo entre as duas retas (90⁰-β⁰). O rebatimento foi feito por opção para um plano horizontal;
Ao ângulo obtido "subtraiu-se" 90⁰, obtendo-se o ângulo β.

TESTE SUMATIVO DE 13.02.2012 RESOLUÇÃO

Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

Dados:

– o plano α é definido pelas retas a e b;

– a reta a contém o ponto S (3; 5; 3);

– as projeções, horizontal e frontal, da reta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45⁰, de abertura para a direita, e de 30⁰, de abertura para a esquerda, respetivamente;

– a reta b pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, (β_1,3), e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30⁰ de abertura para a direita;

– o plano π contém o ponto P(– 6; 3; – 4).

  

2.       Represente pelas  suas  projeções  um  prisma pentagonal oblíquo,  situado no 1º diedro, de  acordo  com  os  dados  abaixo apresentados.

Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do prisma e a sua sombra real nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)

Dados:

– as bases são frontais;

– uma das bases é o pentágono [ABCDE], inscrito numa circunferência com 3 cm de raio e centro no ponto O(0;2;6,5);

– o vértice A tem 3 cm de abcissa e 6,5 cm de cota;

– um dos vértices da outra base do prisma pertence ao plano horizontal de projeção e tem 3 cm de abcissa;

– a altura do prisma é 4,5 cm

3.       Represente pelas  suas  projeções  um  cilindro de  revolução,  de  acordo  com  os  dados  abaixo apresentados.

Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do cilindro e a sua sombra real nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)

Dados:

– as bases são horizontais;

– o ponto O (4; 7; 8) é o centro de uma das bases;

– a base de centro O’ tem 2 de cota;

– o raio das bases mede 4 cm.

4.       Desenhe a verdadeira grandeza do ângulo formado pelos planos α e β.

Dados:

– os planos α e β têm os seus pontos de cota e afastamento nulos à distância de 10 cm;

– o plano β é perpendicular ao bissetor dos diedros ímpares; o seu traço frontal tem a abertura de 60⁰ para a esquerda e situa-se à direita de α;

– o plano α é perpendicular ao bissetor dos diedros pares e o seu traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30⁰ de abertura para a direita.

ÂNGULO ENTRE UM PLANO OBLÍQUO E O PHP

Determine a verdadeira grandeza do diedro formado entre um plano oblíquo α e o plano horizontal de projeção.
Dados:

- os traços plano α intersetam-se no num ponto do eixo x com 5 cm de abcissa;

- o plano α contém a reta r cujas projeções fazem ângulos de 30º (a.d.).

Proposta de resolução:

ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS DE RAMPA

Determine a verdadeira grandeza do diedro formado entre os planos de rampa θ e ρ. O traço horizontal do plano θ tem 4 cm de afastamento e o traço frontal tem 5 cm de cota. Os traços, horizontal e frontal, do plano

ρ têm, respetivamente, 7 cm de afastamento e 3 cm de cota.

Resolução:

Desenho de CLÁUDIA BARROS - 11 AV1.

Optou-se pela determinação dos traços de perfil dos planos de rampa que dão o ângulo diretamente em verdadeira grandeza.

Note que pelo menos um dos planos poderia ser determinado a partir de uma reta ou de dois pontos (ou duas retas fronto-horizontais).

 

AULA DE SUBSTITUIÇÃO DE 08.02.2012 - FICHA FORMATIVA

Caros alunos a aula de 08.02.2012 será dada, em regime de substituição, pelo Professor Manuel Rodrigues.

Deixo abaixo os exercícios do constam do plano de aula a aplicar.

1.  Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s.

Dados:

- a reta r é paralela ao plano bissetor dos diedros pares(β2,4);

- a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

- o ponto F, traço frontal da reta r, tem 8 cm de abcissa e 8 cm de cota;

- a reta s é concorrente com a reta r no ponto P com 3 cm de cota;

- as projeções da reta s são perpendiculares às projeções homónimas da reta r.

(Exame nacional - 1ª fase de 2009)

2.  Determine a verdadeira grandeza do diedro formado entre o plano oblíquo α e o plano de rampa ρ.

Dados:

- os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰(a.e.) e 50⁰(a.e.) com o eixo x e intersetam-se no ponto de abcissa nula;

-  os traços horizontal e frontal do plano ρ têm, respetivamente, 6 cm de afastamento e 4 cm de cota.

(Baseado em exame nacional)

3.  Represente um prisma hexagonal oblíquo, situado no 1º diedro.

Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.

Dados:

- uma das bases do prisma pertence ao plano horizontal de projeção e a outra base tem 6 cm de cota;

- os centros das bases são os pontos O(3;4,5;0) e O’ com -3 cm de abcissa e 4,5 cm de afastamento;

- os lados dos hexágonos das bases medem 3 cm e dois lados são paralelos ao eixo x.

(Baseado no exame nacional de 1985)

4.  Represente uma pirâmide hexagonal regular de base de perfil, situada no 1º diedro.

Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.

Dados:

- os pontos A(0;3;0) e B(0;6,5;0) são vértices consecutivos do hexágono da base;

- o vértice principal da pirâmide, V, fica situado 7 cm à direita do plano da base.

(Baseado no exame nacional de 2005)

ESTRUTURA PARCIAL DO TESTE DE 13.02.2012

Conteúdos a avaliar no teste de 13.02.2012:

- SOMBRAS - podem sair 2 exercícios (ver bem os cilindros);
- ÂNGULOS;
- PARALELISMO ou PERPENDICULARIDADE


Bom trabalho,

Prof. A.Costa

ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS (CONCORRENTES)

Determine a V.G. (Verdadeira Grandeza) do ângulo formado pelas retas r e s, sendo dados:
- as retas são concorrentes no ponto P(0;2;4);
- a reta r interseta o plano horizontal de projeção no ponto H(2,5;3;0);
- a reta s contém o ponto S(-4;6;1).

Rebatimento para o plano horizontal de projeção.

O filme pode ser visto em http://www.youtube.com/watch?v=rDGnNwGaCXs&feature=youtu.be

Rebatimento para o plano horizontal que contém o ponto S.

O filme pode ser visto em http://www.youtube.com/watch?v=nqagSbB8Yaw&feature=youtu.be

QUESTÃO DE AULA Nº 3

Represente, pelas suas projeções, um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projeção, utilizando a direção luminosa convencional.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados
– a base está contida no plano frontal ϕ (fi) e tem 4 cm de raio;
– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β1,3) e tem 2 de abcissa e 8 de afastamento;
– o vértice é o ponto V, com 1 cm de afastamento.

A azul a sombra própria.
A vermelho a sombra real projetada nos planos de projeção.

INFORMAÇÕES DE EXAME 2011/2012

Caros alunos do 11 AV1 seguem as informações relativas ao exame de GD A para 2011/2012 no link:

http://www.gave.min-edu.pt/np3content/?newsId=407&fileName=EX_Inf12_Nov2011_GDA708.pdf

QUESTÃO DE AULA DE 25/01/2012

A questão de aula de 25/01/2012 abordará o capítulo das sombras. Pode incluir as sombras (própria e projetada nos planos de projeção) de pirâmides (regulares ou oblíquas), cones (de revolução ou oblíquos) ou prismas (regulares ou oblíquos). Exclui-se a sombra de cilindros, conteúdo que poderá ser avaliado em outro momento posterior.


BOM TRABALHO !!!

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE OBLÍQUA

Represente uma pirâmide pentagonal oblíqua de base horizontal, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.

Dados:
- a base da pirâmide é um pentágono regular, cujo centro é o ponto O(2,5;6;7);
- o ponto A com 2,5 cm de abcissa e 2,5 cm de afastamento, é um dos vértices da base;
- o vértice da pirâmide é o ponto V(0;2,5;0).

 

Passos da resolução:

• Representa-se a pirâmide a partir dos seus dados (com o centro O e a vértice A é acessível esta etapa de resolução);
• Pelo vértice V fazemos passar um raio luminosos l e determinamos a sua interseção com a base da pirâmide (ponto I);
• A partir de I representamos as tangentes à base, que separam a zona iluminada da zona em sombra;
• Com uma mancha escura representamos a sombra própria (as faces visíveis em sombra)nas duas projeções ;
• Determinamos a sombra real dos vértices de "sombra útil" do sólido (o vértice D não apresenta sombra útil);
• Os pontos de quebra são determinados com recurso à sombra virtual;
• Com uma mancha mais clara representamos a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJETADA DE UM PRISMA OBLÍQUO

Represente um prisma pentagonal oblíquo de bases horizontais, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.

Dados:
- as bases do prisma são pentágonos regulares;
- os pontos O(0;6;0) e O'(2,5;6;6,5) são os centros das bases;
- o vértice A, da base de menor cota, tem abcissa nula e 2,5 de afastamento.

Passos da resolução:

• Representa-se o prisma partir dos seus dados;
• Com o centro O e o vértice A representa-se a base de menor cota e com centro da base superior O' representa-se o eixo do prisma, paralelo às arestas laterais do sólido;
• Por um ponto exterior ao sólido representam-se um raio luminoso e uma reta paralela às arestas laterais. Determina-se a interseção do plano definido pelas duas retas com o plano da base de menor cota;
• A reta i resultante permite representar as tangentes à base de menor cota (que são simultaneamente os traços horizontais dos planos tangentes luz/sombra, uma vez que a base tem cota nula);
• A linha separatriz luz/sombra é assim [EDCC'D'E'E];
• Com uma mancha mais escura representa-se a sombra própria (as faces visíveis em sombra) do sólido nas duas projeções;
• Determinamos a sombra real dos vértices de "sombra útil" do sólido;
• Os pontos de quebra são determinados com recurso à sombra virtual;
• Com uma mancha mais clara representamos a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Desenho de ANA MAFALDA  - 11 AV1.

PRISMA OBLÍQUO - SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJETADA

Desenhe as projeções de um prisma triangular oblíquo, situado no 1º diedro e com bases contidas em planos horizontais.
Dados:
- os pontos A(0;2;2) e B(5;4;2) são dois vértices do triângulo equilátero [ABC] da base de menor cota do prisma;
- as arestas laterais do sólido são frontais, fazem ângulos de 50º abertura para a direita com o plano horizontal de projeção e medem 5 cm.

Considerando a direção luminosa convencional determine a sombra própria do prisma e a sua sombra projetada nos planos de projeção.

O vídeo pode também ser visto em: http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=bg2GYO3cJm8#!

CONE --- SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJETADA

Desenhe as projeções de um cone de revolução, situada no 1º diedro e com a base contida no plano horizontal de projeção. A base tem 3 cm de raio e o seu centro ponto O, com 2 cm de abcissa e 5 cm de afastamento. A altura do cone mede 8 cm.

Considerando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra projetada nos planos de projeção.

TAREFA DE CASA ... SOMBRAS

Desenhe as projeções de uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro e com base contida num plano de perfil.
Dados:
- os pontos A(0;0;5) e B, com 2,5 cm de afastamento e 1 cm de cota, são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD] da base;
- o vértice V da pirâmide tem -6 cm de abcissa.

Considerando a direção convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra projetada nos planos de projeção.

PIRÂMIDE ... SOMBRA PRÓPRIA E PROJETADA

Desenhe as projeções de uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro e com a base [ABCD] contida no plano horizontal de projeção. O centro da base é o ponto O(2;5;0) e o vértice A tem 1 cm de abcissa e 2 cm de afastamento. A altura da pirâmide mede 8 cm.

Considerando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra projetada nos planos de projeção.

• Representou-se a pirâmide a partir dos seus dados, cuja base está contida no plano horizontal de projeção;
• Pelo vértice V passou-se um raio luminoso l. Esta reta (l) é a reta de interseção dos dois planos luz/sombra;
• Determinou-se o ponto I de interseção do raio luminoso (reta l) com o plano da base;
• A partir de I1 representaram-se as retas t e t' tangentes à base. Estas retas evidenciam a parte iluminada do sólida e a parte em sombra. Note que devido à base estar contida no plano horizontal de projeção as retas t e t' são simultaneamente os traços horizontais, hθ e hθ', dos planos tangentes luz/sombra, uma vez que se trata de duas retas horizontais de cota zero;
• Determinou-se a sombra dos vértices da base B, C e D e do vértice V do sólido. Note que não é necessário determinar a sombra do vértice A, uma vez que este se encontra na parte em sombra e é por isso um "ponto inútil";
• Recorrendo à sombra virtual de V foi possível determinar os pontos de quebra, Q e Q';
• A linha separatriz luz/sombra é [VBCDV];
• Representou-se a sombra própria do sólido, recorrendo a uma mancha mais escura, apenas na projeção horizontal uma vez que na projeção frontal as faces em sombra própria estão invisíveis. Note que a sombra própria poderia ser representada pelo tracejado paralelo ao eixo x.

• Recorrendo a uma mancha mais clara representou-se a sombra projetada do sólido. Note que a sombra projetada poderia ser representada pelo tracejado perpendicular aos raios luminosos.

SOMBRA PROJETADA NOS 2 PLANOS DE UM PENTÁGONO

Desenhe as projeções de um pentágono regular [ABCDE], contido num plano frontal. O pentágono está inscrito numa circunferência com 4 cm de raio, cujo centro é o ponto O(2;4;5). O lado de menor cota da figura é fronto-horizontal.
Considere a direção convencional da luz e determine a sombra projetada do pentágono nos planos de projeção.