TESTE SUMATIVO Nº 5

1.      Determine as projeções da reta i, de interseção do plano oblíquo π com o plano passante θ.

Dados

– o plano π interseta o eixo x no ponto com 5 cm de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano π fazem, respetivamente, ângulos de 50º e de 30º  ambos  de abertura para a direita com o eixo x;

– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P(0;3;6).

2.      Determine as projecções do triângulo [LMN].

Dados

– o triângulo está situado no 1.º diedro;

– o ponto L (4; 2; 4) é um dos vértices do triângulo;

– o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;

– o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50⁰ com o plano horizontal de projecção;

– o lado [LN] mede 8 cm;

– o ponto N é o vértice de menor cota.

3.      Determine as projeções e a verdadeira grandeza (V.G.) da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide quadrangular oblíqua, situada no 1º diedro.

Dados:

– o traço horizontal do plano de rampa ρ tem 10 cm de afastamento e o traço frontal tem 4 cm de cota;

– a pirâmide tem a base contida no plano horizontal de projeção;

– uma das diagonais do quadrado [ABCD] da base é o segmento [AC] que mede 7 cm e é perpendicular ao eixo x;

– o vértice A tem 4 cm de abcissa e 1 cm de afastamento;

– o vértice da pirâmide é o ponto V, com 6 cm de cota e cuja projeção horizontal é coincidente com a projeção horizontal do vértice C.

4.   Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspetiva cavaleira, de um sólido, situado no 1º triedro,  composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– o eixo axonométrico y faz ângulos de 140⁰ e de 130⁰  com os eixos axonométricos x e z, respetivamente;

– as projetantes fazem ângulos de 55⁰ com o plano axonométrico.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas

– os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado zx;

– ambos os prismas têm 9 cm de altura.

Prisma triangular regular 1:

– os pontos A(8;12;0) e B(0;12;0) definem uma aresta de maior afastamento.

Prisma triangular regular 2:

– o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;

– a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado xy;

– a aresta da base mede 4 cm.

EXERÍCIOS PROPOSTOS

   

Construa uma representação axonométrica oblíqua (colinogonal), em perspetiva cavaleira, de um sólido, situado no 1º triedro,  composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– o eixo axonométrico y faz ângulos de 130⁰ e de 140⁰  com os eixos axonométricos x e z, respetivamente;

– as projetantes fazem ângulos de 50⁰ com o plano axonométrico.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

  Prismas

– os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado xz;

– ambos os prismas têm 9 cm de altura.

 Prisma triangular regular 1:

– os pontos A(8;12;0) e B(0;12;0) definem a aresta de maior afastamento.

Prisma triangular regular 2:

– o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;

– a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado xy;

– a aresta da base mede 4 cm.

Construa uma representação axonométrica oblíqua (colinogonal), em perspetiva cavaleira, de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular oblíquo e por um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– o eixo axonométrico y faz ângulos de 135⁰ com os eixos axonométricos x e z;

– as projetantes fazem ângulos de 60⁰ com o plano axonométrico.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma:

– as bases do sólido são quadrados de lados paralelos aos eixos x e y;

– a base de menor cota está assente no plano coordenado horizontal xy;

– as arestas das bases medem 3cm;

– o vértice A(6;6;0) é um dos vértices de maior afastamento da base inferior do sólido;

– o vértice G, com 3 cm de abcissa, 3 cm de afastamento e 6 cm de cota, é o oposto do vértice A.

Cubo:

– o ponto A é o vértice de menor abcissa da aresta de menor afastamento, comum ao prisma, que é paralela ao eixo x e pertence à face inferior.

Desenhe a verdadeira grandeza do ângulo formado pelos planos α e β.

Dados:

– os planos α e β têm os seus pontos de cota e afastamento nulos à distância de 10 cm;

– o plano β é perpendicular ao bissetor dos diedros ímpares; o seu traço frontal tem a abertura de 60⁰ para a esquerda e situa-se à direita de α;

– o plano α é perpendicular ao bissetor dos diedros pares e o seu traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30⁰ de abertura para a direita.

 

Determine as projeções da reta de intersecção, i, dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

Dados:

– os traços do plano  α intersectam o eixo x no ponto com -1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60⁰, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;

 – o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela reta  b;

– o traço horizontal faz um ângulo de 20⁰, de abertura para a direita com o eixo x;

– a reta b é de perfil passante e contém o ponto B(2;6).

Determine os traços do plano β, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano δ.

Dados:

Plano δ:

– o plano δ contém o ponto A(3; 6; 4) e uma recta horizontal h;

– a reta h tem 8 cm de cota, faz com o plano frontal de projeção, um ângulo de 50°, com abertura para a direita, e o seu traço frontal, F_h, tem 6 cm de abcissa.

Plano β:

– o plano β contém os pontos P(0; 2; 4) e R(–5; 0; 0).

Represente pelas suas projeções, horizontal e frontal, o quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo β.

Dados:

– o ponto A(-5,5;5;3) é um dos vértices do quadrado;

– o vértice C tem 0 de abcissa e 2,5 de afastamento;

– a diagonal [AC] pertence a uma reta oblíqua passante;

– o traço horizontal h_β do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 45⁰, com abertura para a direita.

TESTE SUMATIVO Nº 5 DE 14/05/2012

Caros alunos, o teste sumativo nº 5, a realizar no dia 14/05/2012, terá a estrutura e a duração (150 + 30 minutos) do exame nacional. Assim o teste ocorrerá no período das 08.30  às 11.30 horas.

Como habitualmente serão necessárias 4 folhas de tamanho A3, além do material habitual.

No exercício 3 podemos deixar as sombras para o teste que se segue (nº 6).


Bom estudo.

DESAFIO DE CASA DE 02/05/2012

Considere uma perspetiva planométrica (militar) em que o eixo axonométrico z faz ângulos de 135º com os eixos x e y. As projetantes fazem ângulos de 50º com o plano axonométrico.
Represente uma forma tridimensional composta por três prismas triangulares regulares. Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados:
- o sólido está situado no primeiro triedro;
- os prismas têm uma base assente no plano coordenado xy;
- os pontos A(0;1;0) e B(0;7;0) definem uma aresta da base [ABC] de um dos prismas; a altura mede 8 cm;
- os pontos B e C definem uma aresta da face [BCD] do segundo prisma; a altura mede 5,5 cm;
- os pontos C e D definem uma aresta da base [CDE] do terceiro prisma; a altura mede 3 cm.


BOM TRABALHO !!!

SECÇÕES - ESFERA

Desenhe as projeções de uma esfera com 3 cm de raio e centro no ponto O(-2;4;4).
Determine as projeções da figura da secção produzida por um plano de topo θ que faz um ângulo de 45º (a.d.) com o plano horizontal de projeção e interseta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa.

Passos seguidos:

• Representou-se a esfera a partir dos seus dados;
• Representou-se o plano secante de topo;
• A secção na projeção frontal determina-se diretamente, uma vez que o plano é projetante frontal;
• Os pontos A e B da secção determinam-se de imediato e pertencem ao círculo máximo da projeção frontal;
• Os pontos C e D, de menor e maior afastamento da figura da secção, determinam-se através da perpendicular ao traço frontal do plano e a passar no centro da esfera ou através da mediatriz de [AB];
• Para determinar os outros 4 pontos recorreu-se a dois planos horizontais equidistantes do primeiro plano horizontal representado. Note que os pontos E e F pertencem ao círculo máximo da projeção horizontal.

Não se determinou a V.G. da figura da secção. Porém se fosse pedida representar-se-ia com facilidade, uma vez que seria sempre um círculo, sendo necessário rebater o centro e verificar o raio da figura da secção.

SECÇÕES - CILINDRO

Desenhe as projeções de um cilindro de revolução, situado no 1º diedro, sendo dados:

- Uma das bases do cilindro está contida no plano horizontal de projeção e o seu centro é o ponto O(-3;4;0);
- o raio das bases mede 2,5 cm e a altura do sólido mede 7 cm.
Determine as projeções e a V.G. da secção produzida no cilindro por um plano de topo θ, que faz um diedro de 40º (a.d.) com o plano horizontal de projeção e contém o ponto P, com 3 cm de cota e pertecente ao eixo do cilindro. 

Passos seguidos:

• Desenhou-se o cilindro a partir dos seus dados;
• representou-se o plano secante de topo;
• As projções da secção são determinadas diretamente, uma vez que o plano é projeante. Note que a secção na projeção horizontal é sempre um círculo indepednetemenmte do ângulo do plano;
• Rebateram-se os 8 pontos da circunferência que permite representar a elipse da V.G. da secção.

ÚLTIMA MENSAGEM FORMAL DO PROJETO

Finaliza agora formalmente a implementação do projeto de "Utilização do Blogue no Ensino de GD A", inserido na Dissertação de Mestrado em "Tecnologia Educativa" da Universidade do Minho.

Pela minha parte considero que, apesar da elevada carga de trabalho que implica a manutenção do Blogue, este projeto foi positivo e traduziu-se numa mais-valia no processo de ensino-aprendizagem.

Os meus agradecimentos aos alunos do 11 AV1 da Escola Secundária Martins Sarmento, em especial àqueles que frequentaram com regularidade este espaço virtual.

A implementação do Blogue continua até final do ano letivo, tentando retirar alguns dividendos para os resultados escolares.

Votos de Boas Férias e de Boa Páscoa.

Prof. António Costa

TESTE SUMATIVO Nº 4

 Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine as projeções da reta b paralela ao plano α e ao plano bissetor dos diedros pares (β_2,4).

Dados:

– o plano α é definido pelas retas r e s, concorrentes no ponto R(5;3;2);

– o ponto H, traço horizontal da reta r, tem 9 cm de abcissa e 7 cm de afastamento;

– a reta s é passante e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– a reta b contém o ponto B(-5;3;2).

2.       Desenhe as projeções do retângulo [ABCD], situado no 1º diedro e contido no plano de rampa ρ.

Dados:

– o traço horizontal do plano de ρ tem 6 cm de afastamento e o traço frontal tem 4 cm de cota;

– o vértice A pertence ao traço frontal do plano ρ e tem abcissa nula;

– a diagonal [AC] do retângulo faz um ângulo de 65⁰ com o traço frontal do plano e o vértice C tem cota nula e situa-se à direita de A;

– a diagonal [BD] da figura é paralela ao eixo x.

3.       Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, α e β.

Dados:

– o traço frontal do plano α interseta o eixo x num ponto com -10 cm de abcissa e faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com o mesmo eixo x;

– o plano β contém os pontos M(6;2;3) e N(10;7;-3).

4.       Desenhe as projeções de um prisma pentagonal oblíquo situado no 1º diedro.

Dados:

– uma das bases do prisma é o pentágono regular [ABCDE] contido no plano horizontal de projeção;

– o centro dessa base é o ponto O(4;4;0) e o vértice A tem 4 cm de abcissa e 7 cm de afastamento;

– as arestas laterais do prisma são frontais e fazem ângulos de 60⁰ (a.d.) com o plano horizontal de projeção;

– a altura do prisma mede 5,5 cm.

Determine as projeções do sólido resultante da secção produzida no prisma pelo plano oblíquo α cujos traços horizontal e frontal fazem ângulos de 55⁰ (a.e.) e 25⁰ (a.e.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com -6,5 cm de abcissa. Considere o sólido truncado que apresenta a figura da secção visível em ambas as projeções.

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE COM BASE DE PERFIL

Desenhe as projeções de uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.
Dados:
- a base da pirâmide é o quadrado [ABCD], contido num plano de perfil;
- o centro da base é o ponto O(0;4,5;3) e o vértice A  tem 3,5 cm de afastamento e cota nula;
- o vértice V da pirâmide tem 6 cm de abcissa.
Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida no sólido por um plano de topo θ que faz um ângulo de 50º (a.d.) com o plano frontal de projeção e corta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa.

http://www.youtube.com/watch?v=bTI9VoiACjE&context=C4d8b985ADvjVQa1PpcFMSxQ9zEcMHn4W7f1kIaWWj2R0T_CJDdZk=

http://www.facebook.com/profile.php?id=100003488237699&sk=wall 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE - PLANO SECANTE DE RAMPA

Uma pirâmide hexagonal oblíqua  de base contida no plano horizontal de projeção é seccionada por um plano de rampa. Determine as projeções e a verdadeira grandeza (V.G.) da figura da secção.

Dados:

- o centro do hexágono regular [ABCDEF] da base é o ponto O, com 2 cm de abcissa e 3 cm de afastamento;

- os dois lados do hexágono são perpendiculares ao eixo x e o vértice A tem afastamento nulo;

- o vértice da pirâmide é o ponto V(-5;10;7);

- o plano de rampa tem os seus traços horizontal e frontal à distância de 6,5 cm e de 2,5 cm do eixo x, respetivamente.

Baseado no exame de 1985

Para ver em:

http://www.youtube.com/watch?v=BT4fre_9_kI&feature=youtu.be

ou

http://www.facebook.com/profile.php?id=100003488237699&sk=wall

ESTRUTURA DO TESTE DE 19-03-2012

• Relação de pertença/Paralelismo/perpendicularidade
• Figura Plana (previsivelmente em plano não projetante)
• Ângulo ou distância
• Secções.

O  exercício 1 fica em aberto, mas corresponde ao que está previsto para o exame nacional.

SECÇÃO PRODUZIDA POR UM PLANO DE RAMPA NUMA PIRÂMIDE

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide quadrangular regular, com a base contida no plano frontal de projeção.
Dados:
- o vértice da pirâmide é o ponto V(3,5;7;4);
- o ponto A(2,5;0;7) é um dos vértices do quadrado [ABCD] da base do sólido;

- o traço horizontal do plano ρ tem 5 cm de afastamento e o traço frontal de 7 cm de cota.

Breves passos de resolução:

• Representou-se a pirâmide a partir dos seus dados. Note que o centro da base é determinado a partir da abcissa e cota do ponto V e do afastamento de A, resultando O(3,5;0;7)
• Representou-se o plano de rampa secante a partir dos seus dados;
• Representou-se a pirâmide no plano de perfil, bem como o traço de perfil do plano de rampa;
• A secção é determinada diretamente na projeção de perfil;
• Efetuando as projeções (frontal e horizontal) dos pontos determinam-se as projeções da figura da secção. Note que entre L1 e N1 a invisibilidade obriga a traço interrompido;
• O rebatimento dos pontos da secção obteve-se a verdadeira grandeza pedida no exercício.

BOM TRABALHO !!!

DESAFIOS - TPC

Desenhe as projeções de um prisma triangular regular situado no 1º diedro, sabendo que:
- uma das bases do prisma é o triângulo [ABC], contido no plano horizontal de projeção;
- o centro dessa base é o ponto O que tem -2 cm de abcissa e 5 cm de afastamento;
- o vértice A tem -3 cm de abcissa e 2 cm de afastamento;
- a altura do prisma mede 6 cm.
Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida no prisma pelo plano de topo θ cujo traço frontal faz um ângulo de 50⁰ (a.d.) com o eixo x e interseta esse eixo no ponto de abcissa nula.


Proposta de resolução:

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da secção  produzida por um plano vertical δ num cubo com duas faces contidas em planos de perfil, sabendo que:

- o quadrado [ABCD] é a face de perfil situada mais à esquerda;

- os pontos A(1;1,5;3) e C(1;7;5) são dois vértices opostos do quadrado;

- o plano faz um diedro de 55⁰ (a.e.)  com o plano frontal de projeção e interseta o eixo x num ponto com -3,5 cm de abcissa.

Proposta de resolução:

BOM TRABALHO !!! 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE - PLANO SECANTE FRONTAL

Desenhe as projeções de uma pirâmide quadrangular regular situada no 1º diedro, sendo dados:

- o vértice da pirâmide é o ponto V(0;4;7);

- o quadrado [ABCD] da base está contido num plano horizontal com 1 cm de cota;

- uma das diagonais da base faz um ângulo de 65⁰ (a.e.) com o plano frontal de projeção e mede 7 cm.

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida na pirâmide pelo plano frontal ϕ, com 5 cm de afastamento. Considere o sólido que apresenta a figura da secção visível em projeção frontal.

Proposta de resolução:

Passos seguidos:

• Representa-se a pirâmide a partir dos seus dados;
• Representa-se o plano frontal ϕ com 5 cm de afastamento. Sendo projetante horizontal o plano corta diretamente a pirâmide na projeção horizontal;
• Os pontos J, K, L e M são os pontos da secção, pelo que se desenham as suas projeções;
• A figura da secção fica visível em projeção frontal, pelo que se assinala a tracejado paralelo ao eixo x;

Note que a vermelho está representado o novo sólido resultante da secção.


Bom trabalho !!!

ÂNGULO ENTRE UMA RETA E UM PLANO - MÉTODO DO ÂNGULO COMPLEMENTAR

Determine a verdadeira grandeza do ângulo formado entre a reta oblíqua r e o plano oblíquo α.
A reta r contém o ponto R(0;3;6) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 25⁰(a.d.) e 40⁰(a.e.)  com o eixo x. 
Os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 45⁰ (a.d.) e 30⁰ (a.d.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com 5 cm de abcissa.


Proposta de resolução:

Pelo ponto R representou-se uma reta perpendicular ao plano α;
Determinou-se a verdadeira grandeza do ângulo entre as duas retas (90⁰-β⁰). O rebatimento foi feito por opção para um plano horizontal;
Ao ângulo obtido "subtraiu-se" 90⁰, obtendo-se o ângulo β.