SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.
Dados
- O quadrado da base [ABCD] tem como centro o ponto O(2;5;2) e está contido num plano horizontal;
- O ponto A tem 1 cm de abcissa e 2 cm de afastamento;
- A pirâmide tem 8 cm de altura.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

- Representa-se o quadrado da base [ABCD] da base a partir dos seus dados.  Note que a figura plana está contida num plano horizontal, pelo que A tem a mesma cota de O, e dos restantes vértices da base.

- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.

- Determina-se a interseção do raio luminoso l com o plano (horizontal) que contém a base.

- A partir de V₁ representam-se as retas tangentes à base. Note que (f_ν)≡t₂≡ t’₂ e que t₁ e t'₁ passam por V₁ e pelos pontos mais exteriores da base, D e B (em D₁  e B₁).

- A linha separatriz luz/sombra é desta forma a linha quebrada formada pelos pontos [B,C,D,V,B].

- Em projeção horizontal as faces [CDV] e [BCV] encontram-se iluminadas e as faces [ADV] e [ABV] apresentam sombra própria, simbolizada pelo vermelho mais escuro, que corresponde a uma mancha de grafite uniforme mais escura ou linhas paralelas ao eixo x. Na projeção frontal as faces em sombra estão invisíveis, pelo que não existe sombra própria para representar.

- Os pontos de quebra Q e Q' foram determinados com recurso à sombra virtual de V (Vv₁).

- A sombra da pirâmide projetada  nos planos de projeção inclui a sombra dois pontos B, D (pontos de tangência) e C da base, além do vértice do sólido V.  O Ponto A situa-se na zona de sombra pelo que se pode considerar uma 'sombra inútil', não sendo por isso necessária a sua determinação.

- A sombra projetada simbolizada pelo vermelho mais claro ou menos denso, que corresponde a uma mancha de grafite uniforme mais clara ou linhas perpendiculares aos raios luminosos.

SOMBRAS - SOMBRA DE FIGURAS PLANAS

 1.
Considere o triângulo definido pelos pontos A(2;3;9), B(-1;5;3) e C(4;7;2).
Determine a sombra projetada do triângulo nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional.

Breves passos de resolução:

- Representa-se o triângulo a partir dos seus dados.  Note que não é relevante definir o plano que contém a figura plana.

- Determina-se a sombra real dos 3 pontos.

- A sombra do triângulo inclui pontos de quebra, que se determinaram, por oção, recorrendo à sombra virtual do ponto A.

- A sombra projetada, nos dois planos de projeção, é representada recorrendo a uma mancha uniforme, aqui simbolizada pela mancha vermelha do desenho.

 2.
Considere o retângulo contido num plano frontal, definido pelos pontos A(2;4;0) e B. O ponto B pertence ao β_1,3 e tem 4 cm de abcissa. Os lados maiores do retângulo medem 6 cm.
Determine a sombra projetada do retângulo nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional. 

Breves passos de resolução:

- Representa-se o retângulo a partir dos seus dados.  Note que a figura plana está contida num plano frontal.

- Determina-se a sombra real dos 4 pontos. Observe que a sombra do ponto B pertence ao eixo x.

- A sombra do retângulo inclui pontos de quebra, que se determinaram, por oção, recorrendo à sombra virtual do ponto C. Note que a parte da sombra projetada no plano frontal é paralela à projeção frontal do retângulo.

- A sombra projetada, nos dois planos de projeção, é representada recorrendo a uma mancha uniforme, aqui simbolizada pela mancha vermelha do desenho. 

 3.
Considere o pentágono [ABCDE] contido num plano frontal. O centro do pentágono é o ponto O(2;4;5) e circunferência circunscrita mede 4 cm. o raio da B. O lado de menor cota do pentágono é fronto-horizontal. Determine a sombra projetada do retângulo nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional. 

Breves passos de resolução:

- Representa-se o pentágono a partir dos seus dados.  Note que a figura plana está contida num plano frontal.

- Determina-se a sombra real dos 5 pontos. A sombra real dos pontos C e D está no plano horizontal de projeção e dos restantes pontos A, B e E.

- A sombra do retângulo inclui pontos de quebra, que se determinaram, por oção, recorrendo à sombra virtual dos pontos B e D. Note que a parte da sombra projetada no plano frontal é paralela à projeção frontal do pentágono.

- A sombra projetada, nos dois planos de projeção, é representada recorrendo a uma mancha uniforme, aqui simbolizada pela mancha vermelha do desenho. 

- A parte da sombra que se encontra por trás do pentágono é invisível e representa-se  traço interrompido.