FIGURAS PLANAS - QUADRADO CONTIDO NUM PLANO PASSANTE

Represente, pelas suas projeções, um quadrado [ABCD] contido num plano passante ρ.

Dados:

– o centro do quadrado é o ponto O(0;3;4);

– o ponto A é um dos vértices do quadrado, tem 3 de abcissa e 2 de afastamento.

Breves passos de resolução:
– representa-se o plano, definido pelos seus traços, coincidente com o eixo x e pelo ponto O;
– representa-se a projeção horizontal de uma reta (r), que passa por O₁ e A₁;
–  como a reta (r) é necessariamente passante, define-se, a partir da sua projeção frontal a cota de A;

– rebate-se o ponto O (podia ser o ponto A) e obtém-se a reta (r) rebatida;

– no plano rebatido, determinam-se os restantes vértices, B, C e D. Note que o vértice C pertence à mesma reta de A, o que facilita a inversão do rebatimento e a determinação das suas projeções;

– para inverter o rebatimento dos vértices B e D, utilizou-se a reta s, que contem os dois pontos e o ponto O. Dado que a reta s é passante, esta opção facilita a representação dos vértices B e D pelas suas projeções;

– representou-se o quadrado pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.


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TRIÂNGULO DE REBATIMENTO - PLANO OBLÍQUO

Considere um plano oblíquo, cujos traços horizontal e frontal, fazem, respetivamente,  ângulos de 35⁰ e 55⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x.

Represente um ponto M(2;2), pertencente ao plano e faça o seu rebatimento, utilizando o método do “triângulo de rebatimento”.

PLANOS DE RAMPA PERPENDICULARES ENTRE SI

É dado um plano de rampa ρ, cujos traços, horizontal e frontal, têm respetivamente  6 de afastamento e 4 de cota.

Determine as projeções de um plano de rampa β, perpendicular ao plano rampa ρ que contém o ponto P(6;4;3).

Notas:

* Optou-se pela 3ª projeção, onde é possível verificar a perpendicularidade entre os traços de perfil dos dois planos de rampa.

* O traço de perfil do plano de rampa β, passa em A3 e é perpendicular ao traço de perfil do plano rampa ρ.

* A vermelho está o objetivo do exercício, que simbolicamente é sublinhado desta forma.

ORTOGONALIDADE ENTRE PLANOS

CASO GERAL

É dado um plano oblíquo α, cujos traços, horizontal e frontal, fazem ângulos de 60⁰ (a.d.) e 45⁰ (a.e.) com o eixo x. É dado, ainda, um ponto P(3;3;) que se situa 1 cm à esquerda dos traços do plano no eixo x.

Averigue os planos ortogonais ao plano oblíquo α que são passíveis de representação.

1. O plano β é oblíquo e o seu traço frontal faz um ângulo de 60⁰ (a.d.) com o eixo x.

2. O plano π é oblíquo e os seus traços são coincidentes.

3. O plano ρ é de rampa.

4. O plano θ é de topo.

5. O plano δ é vertical.

QUESTÃO DE AULA 1 - 11AV2

Determine os traços do plano μ paralelo ao plano δ.

Dados

– o plano δ contém as retas fronto-horizontais a e b;

– a reta a tem 3 de afastamento e 5 de cota;

– a reta b tem 7 de afastamento e 2 de cota;

– o plano μ contém o ponto P (6; 2; 2).

Nota: a resolução foi feita com base na escolha pela 3ª projeção. Poder-se-ia ter escolhido o método de retas paralelas ou mesmo o rebatimento das retas de perfil.

QUESTÃO DE AULA 1 - 11AV1/CT2

Determine os traços do plano μ paralelo ao plano θ.

Dados

– o plano θ contém a reta h e o ponto M(1,5;0;0);

– a reta h é horizontal e contém o ponto A pertencente ao bissetor dos diedros pares, β_2/4, com 0 de abcissa e 2 de cota;

– a projeção horizontal da reta h faz um ângulo de 40⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano μ contém o ponto P(0;3;3).

PARALELISMO - PLANOS DE RAMPA PARALELOS

Considere um plano de rampa α, definido por duas retas fronto-horizontais, a e b.

A reta a tem 5 de afastamento e 3 de cota.

A reta b tem –3 de afastamento e –5 de cota.

Represente, pelos seus traços, um plano β paralelo ao plano α, que contenha o ponto P(2;4).

Optou-se pelo recurso à projeção de perfil. 

Note que:

– os traços de perfil são paralelos entre si, o que garante o paralelismo entre os dois planos;

– as projeções de perfil das retas  fronto-horizontais, a e b (a₃ e b₃) são reduzidas a um ponto.

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Perpendicularidade - Retas ortogonais/perpendiculares a planos de rampa

O plano de rampa ρ, definidos pelos seus traços, horizontal e frontal, com 4 de afastamento e 2,4 de cota.

Determine as projeções de uma reta p, perpendicular ao plano de rampa ρ e que contém o ponto P(3;4).

Processo 1 - Rebatimento

Processo 2 - 3ª projeção

LIVRO DE PREPARAÇÃO DE EXAMES DE GD A 2017

Olá a todos.

Sugiro como livro de preparação do exame de Geometria Descritiva A o seguinte:


Preparação para o Exame Final Nacional - Geometria Descritiva A - 11.º Ano
de Maria João Müller

Edição/reimpressão:10-2016

Editor:Porto Editora
Dimensões:215 x 285 x 15 mm

Encadernação: Capa mole
Páginas:384
Coleção: Preparação Para o Exame Nacional
Tipo de Produto: Livro

http://gda11esms.blogspot.pt/

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EXAME DE GEOMETRIA DESCRITIVA A - 2ª FASE DE 2016

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.  Determine os traços do plano θ, perpendicular ao plano α.

     Dados

     – o plano α é definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A(0;2;4);

         – o traço frontal do plano α contém o ponto B do eixo x, com abcissa nula, e faz um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

         – o plano θ contém o ponto P(0;4;2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

2.  Determine as projeções de um retângulo [ABCD] situado num plano oblíquo δ e no 1.º diedro.

     Dados

   – o plano δ é definido pelo ponto M do eixo x, com 4 de abcissa, e por uma reta horizontal h;
     – a reta horizontal h contém o vértice A(0;3;2) e define um ângulo de 55º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
     – o lado [AB] do retângulo mede 9 cm e o vértice B tem cota nula;
     – os lados menores do retângulo medem 6 cm.

3.   Determine as projeções de uma pirâmide oblíqua de base regular triangular [ABC] situada num plano horizontal e das suas sombras própria e projetada nos planos de projeção.

Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados

– o vértice A, com 6 de abcissa e 8 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– a aresta [AB] define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;

– o vértice B tem 2 de abcissa;

– o vértice C tem abcissa positiva;

– o vértice V da pirâmide é um ponto do eixo x com abcissa nula;

– a direção luminosa é a convencional.

4.   Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares.

Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 130° com a projeção axonométrica do eixo z;

– a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

– os dois prismas são iguais e têm 3 cm de altura;

– os prismas têm as bases paralelas ao plano coordenado xz.

Prisma 1:

– o vértice A(4;9;7) e o vértice B(10;9;7) definem uma aresta da base com maior afastamento;

– o outro vértice dessa base é o de menor cota.

Prisma 2:

– o vértice R(13;9;7) é o de maior abcissa da aresta, paralela ao eixo x, da base com maior afastamento;

– o outro vértice dessa base é o de maior cota.

EXAME DE GEOMETRIA DESCRITIVA A - 1ª FASE DE 2016

Enunciado e proposta de resolução:

1.  Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta r com o plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(5;–2;3) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;

– o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 35º, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a reta r contém o ponto P(–7;0;0);

– a projeção horizontal da reta r é perpendicular ao traço horizontal do plano α;

– a projeção frontal da reta r é paralela ao traço frontal do plano α.

Nota: o plano projetante de topo (por opção) poderia ser vertical.

2.  Determine a amplitude do ângulo definido entre os planos π e θ.

Destaque, a traço mais forte, as semirretas que definem o ângulo.

Dados

– o plano π é de perfil com –4 de abcissa;

– o plano θ é definido pela reta de maior declive d, que contém o ponto A(0;3;2);

– as projeções horizontal e frontal da reta d fazem, respetivamente, um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, e um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o eixo x.

Nota: Poder-se-ia ter optado por rabater as duas retas para o plano frontal que contivesse a reta p.

3.  Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide oblíqua de base quadrada, situada no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, a aresta invisível do sólido resultante.

Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, as projeções visíveis da secção.

Dados

– a base da pirâmide [ABCD] pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– o vértice A é um ponto do eixo x com 6 de abcissa;

– a aresta [AB] define um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção;

– o vértice B tem abcissa nula;

– a aresta lateral [AV] é de topo e o vértice V tem 8 de afastamento;

– o plano ρ está definido pelos seus traços horizontal e frontal com, respetivamente, 6 de afastamento e 7 de cota.

  

Notas: 

- optou-se pela projeção (três) de perfil, mas poder-se-ia ter resolvido o exercício pelo médoto geral de interseção de retas com planos;

- a projeção de perfil do sólido resultante surge a vemelho (que simboliza o traço mais escuro) apenas para mais fácil leitura do desenho.

4.  Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadradas.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

dimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com as projeções axonométricas dos eixos y e z.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para   cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

os dois prismas são iguais, com arestas paralelas aos eixos coordenados, e têm 2 cm de altura;

o vértice A(8;8;0) e o vértice B(8;8;7) definem a aresta de maior abcissa e de maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz;

o outro prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xz, e o vértice B é o de maior abcissa da aresta de menor cota da base de maior afastamento.

FIM

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TESTE SUMATIVO Nº 6 - 2015/2016

1.      Determine os traços do plano α perpendicular ao plano de rampa δ.

Dados

– o plano δ é definido pelo seu traço horizontal com 6 de afastamento e pelo ponto A;

– o ponto A, com 6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, β13;

– o plano α contém o ponto P(0;9;8);

– o traço frontal do plano α forma um ângulo de 45⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x..

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas p e f, concorrentes no ponto B.

Dados

– a reta p de perfil é definida pelo ponto A(2;4;2) e pelo ponto B com 2 de afastamento e 5 de cota;

– a reta f é frontal e faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção.

  

3.   Determine a sombra própria e a sombra real de uma pirâmide triangular regular de base frontal, nos planos de projeção, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projeção, quer as projeções do prisma.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.  

Dados

– o ponto A(4;7;3) é um dos vértices da base [ABC]

– o vértice V da pirâmide tem 0 de abcissa, 1,5 de afastamento e 4,5 de cota.

4.    Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140⁰ com a projeção do eixo z e um ângulo de 130⁰ com o eixo x;

– as projetantes fazem ângulos de 50⁰ com o plano axonométrico.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

– as bases do prisma pertencem a planos frontais;

– o ponto A(12;6;0) e o ponto B(6;6;0) são os vértices da aresta de menor cota da base de maior afastamento do prisma;

– o prisma tem 2 cm de altura.

Prisma triangular:

– o ponto R(6;2;6) e o ponto S(6;8;6) são os vértices da aresta de maior abcissa da base de maior cota do prisma;

– a outra base do prisma pertence ao plano coordenado xy.