REPRESENTAÇÃO DE FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS DE RAMPA

Represente, pelas suas projeções, um triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro.

Dados:

– o triângulo está contido num plano de rampa ρ;

– os pontos A(0;5) e B(3;1) são dois vértices do triângulo, estando A 2 cm à esquerda de B no eixo x.

1. Triângulo de rebatimento:

2. Rebatimento dos traços:

REBATIMENTO DO PLANO DE RAMPA

É dado um plano de rampa ρ, cujos traços horizontal e frontal medem, respetivamente, 3 de afastamento e 5 cm de cota, que contém o triângulo [ABC].

Considere uma reta r, pertencente ao plano, cuja projeção frontal faz um ângulo de 55⁰ (a.d.) com o eixo x. A reta r contém os pontos A com 1 cm de cota e B com 3,5 cm de cota.

Considere ainda uma reta r’, paralela à reta r e cujo traço frontal dista 5 cm no eixo x do mesmo traço da reta r. A reta r’ contém um ponto C com 2,5 cm de cota.

Determine a verdadeira grandeza (V.G.) do triângulo.

Triângulo de rebatimento:

Rebatimento dos traços do plano:

MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES - TRIÂNGULO DE REBATIMENTO

1

É dado um plano oblíquo β, cujos traços frontal e horizontal fazem, respetivamente, ângulos de  55⁰ e 35⁰, de abertura para a direita.

Considere um ponto A(2;3) pertencente ao plano.

Efetue o rebatimento do ponto A, para o plano horizontal de projeção, usando para isso como método o ‘triângulo de rebatimento’.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

1. Representa-se o plano e o ponto A, de acordo com os dados apresentados. Note que o ponto A pertence ao plano através de uma reta do plano (por opção a reta é horizontal de cota 3, mas poderia ser frontal de afastamento 2).

2. Foi definida a charneira de rebatimento, que por opção é o traço horizontal ao plano h_β, ficando h_β≡ h_βr.

3. Representou-se um plano projetante ortogonal à charneira de rebatimento, passando por A₁. Note que h_β fica 'perpendicular' a (h_θ).

4. A partir de A₁ e paralelo à charneira marca-se a distância que vai do ponto ao plano para o qual se pretende efetuar o rebatimento, obtendo 'A_r1'. Neste caso a distância corresponde à cota do ponto A, pois o rebatimento é feito para o plano horizontal de projeção.

5. Colocando o compasso no 'ponto de interseção de h_β com (h_θ)' e abrindo até 'A_r1'. efetua-se o rebatimento obtendo A_r.

2

É dado um plano oblíquo β, cujos traços frontal e horizontal fazem, respetivamente, ângulos de  55⁰ e 35⁰, de abertura para a direita.

Considere um ponto A(2;3) pertencente ao plano.

Efetue o rebatimento do ponto A, para o plano frontal de projeção, usando para isso como método o ‘triângulo de rebatimento’.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

1. Representa-se o plano e o ponto A, de acordo com os dados apresentados. Note que o ponto A pertence ao plano através de uma reta do plano (por opção a reta é horizontal de cota 3, mas poderia ser frontal de afastamento 2).

2. Foi definida a charneira de rebatimento, que por opção é o traço frontal ao plano f_β, ficando f_β≡ f_βr.

3. Representou-se um plano projetante ortogonal à charneira de rebatimento, passando por A₂. Note que f_β fica 'perpendicular' a (f_θ).

4. A partir de A₂ e paralelo à charneira marca-se a distância que vai do ponto ao plano para o qual se pretende efetuar o rebatimento, obtendo 'A_r1'. Neste caso a distância corresponde ao afastamento do ponto A, pois o rebatimento é feito para o plano frontal de projeção.

5. Colocando o compasso no 'ponto de interseção de f_β com (f_θ)' e abrindo até 'A_r1'. efetua-se o rebatimento obtendo A_r.

Nota: o triângulo de rebatimento é sempre um triângulo retângulo.

PARALELISMO - EXERCÍCIO

Determine os traços de dois planos paralelos, α e δ.

Dados:

- o plano α contém o ponto A(2;5;2);

- o plano α contém uma reta r, paralela ao β_2,4, cuja projeção frontal faz um ângulo de 60⁰ com o eixo x, de abertura para a direita;

- o plano δ contém o ponto B(-3;2;4) e uma reta s, paralela ao β_1,3, cuja projeção frontal faz um ângulo de 30⁰ com o eixo x, de abertura para a direita.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

1. Representaram-se as retas r e s, que passam nos pontos respetivamente

2. Pelo ponto B fizemos passar uma reta r' paralela à reta r e que é concorrente com a reta s (logo é complanar). Poder-se-ia ter optado por passar pelo ponto A uma reta paralela à reta s e concorrente com a reta r 

3. Os traços das retas (complanares) s e r' permitem representar o plano pelos seus traços δ

4. Pelos traços da reta r fizemos passar os traços do plano α, que são paralelos aos do plano δ.

QUESTÃO DE AULA Nº 1 - 2014_2015

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α paralelo à reta r.

Dados

– a reta r contém o ponto  R(4;1,5;2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 35⁰ (a.e.) e 50⁰ (a.d.) com o eixo x;

– o plano α contém a reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto A(–2;2;3) e faz um ângulo de 60⁰ (a.d.) com o plano frontal de projeção.

Proposta de resolução:

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α paralelo à reta r.

Dados

– a reta r contém o ponto  R(-4;1,5;2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 35⁰ (a.d.) e 50⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o plano α contém a reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto A(2;2;3) e faz um ângulo de 60⁰ (a.e.) com o plano frontal de projeção.

Proposta de resolução:

Passos de resolução:

1. Representa-se a reta r, de acordo com os dados fornecidos

2. Representa-se a reta h de acordo com os dados apresentados, que passa pelo ponto A

3. Pelo ponto A passa-se uma reta paralela à reta r e que é concorrente com a reta h

4. Determinam-se os traços das duas retas concorrentes no ponto A (que pertencem ao mesmo plano pedido)

5. Representam-se os traços do plano  α solicitado. Note que o plano  α é paralelo à reta r uma vez que contém uma reta paralela à reta r.

ORTOGONALIDADE ENTRE RETAS NÃO PARALELAS AOS PLANOS DE PROJEÇÃO

É dada uma reta oblíqua r e um ponto P(3;2). A projeção frontal da reta r faz um ângulo de 55⁰ (a.e.) com o eixo x e corta esse mesmo eixo 3 cm à direita da linha de chamada de P e a projeção horizontal faz um ângulo de 45⁰ (a.e.), cortando o eixo das abcissas 2 cm à direita da projeção frontal.

Represente pelas suas projeções uma reta p, ortogonal à reta r, sabendo que passa por P e que a sua projeção horizontal faz um ângulo de 30⁰ (a.e.).

Proposta de resolução:

Breves passos:

1- Representa-se a reta r a partir dos seus dados

2- Representa-se o ponto P e a projeção horizontal da reta p, de acordo com os dados indicados

3- Inclui-se a o ponto P numa reta horizontal (poderia ser frontal)

4- Determina-se o traço frontal da reta (ponto F), que permite representar os traços do plano, perpendiculares às projeções homónimas da reta r

5- Determina-se o traço horizontal da reta p, que permite representar p₂. Note que não foi necessário determinar o traço frontal (F) da reta p, uma vez que já são conhecidos 2 pontos da reta (P e H).

ORTOGONALIDADE - PLANO ORTOGONAL A UMA RETA OBLÍQUA

Considere uma reta r, definida pelos pontos M(1;3;4) e N(-2;-1;2) e um dado um ponto P(1;2;3).

Determine os traços de um ortogonal à reta r e que contenha o ponto P.

Proposta de resolução:

Breves passos:

1- Representa-se a reta através dos pontos M e N

2- Inclui-se o ponto P numa reta horizontal (poderia ser frontal). Este passo garante que o ponto P pertence ao plano através de uma reta do plano (recorde-se que o plano não é projetante). Note que a projeção horizontal da reta h é perpendicular à projeção horizontal da reta r

3- Determina-se o traço frontal da reta (ponto F)

4- Pelo ponto F passa o traço frontal do plano, perpendicular a r₂

5- O traço horizontal do plano cruza com o traço frontal no eixo x e é perpendicluar a r₁

. Note que hα é paralelo a h₁.

ORTOGUNALIDADE ENTRE PLANOS - EXERCÍCIO E RESOLUÇÃO

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α perpendicular ao plano vertical β.

Dados:

- o plano β faz um diedro de 40⁰ (a.e.) com o plano frontal de projeção e interseta o eixo x num ponto com -4 de abcissa;

- o plano α contém a reta r, pertencente ao β_2/4 e definida pelos pontos R(4;0;0) e S, com 2 cm de abcissa e 3 cm de cota.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

A reta r pertence ao β_2/4, pois tem as projeções coincidentes e contém os pontos R e S (pontos do β_2/4). 

Sendo a reta r passante determina de imediato o ponto do eixo x onde os traços do plano oblíquo se cruzam.

A reta h, horizontal, passa em S e é ortogonal ao plano β  e permite representar os traços do plano oblíquo α.

O traço frontal do plano passa em R e em F. O traço horizontal passa em R (inevitavelmente) e é paralelo a h₁.

Bom trabalho e muito estudo !!!

ORTOGUNALIDADE - PLANO ORTOGONAL A UMA RETA

Considere uma reta oblíqua r, cuja projeção frontal faz um diedro de 45º (a.d.) com o eixo x e a projeção horizontal um diedro de 60º com o mesmo eixo, cortando-o 1 cm à direita.
Determine os traços de um plano oblíquo ortogonal à reta r, que contenha o ponto P(2;3), sabendo que o ponto P cruza o eixo x 4 cm à direita de r_1.

Proposta de resolução:

Note que a reta h é ortogonal à reta r e contém o ponto P, pelo que o ponto P pertence ao plano através de uma reta do plano (a reta h).

EXAME GD A 2ª FASE 2014 - ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Exame Geometria Descritiva A 2ª Fase 2014 - Enunciado e proposta de resolução

1.    Determine as projeções do ponto I resultante da intersecção da reta fronto-horizontal g com o plano α.

Dados

– a reta g, com 6 de afastamento, pertence ao β_1,3, bissetor dos diedros ímpares;

– o plano α é definido pelo ponto K do eixo x com 4 de abcissa e pela reta frontal f;

– a reta f contém o ponto P(0;4;3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 60°, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

2.    Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pela reta oblíqua r e o plano de topo θ.

Dados

– a reta r é definida pelos pontos A(–4;2;5) e B(0;6;–1);

– o plano θ contém o ponto S do eixo x com 3 de abcissa e faz um diedro de 60°, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção.

3.    Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical δ numa pirâmide regular de base quadrangular [ABCD] situada num plano frontal.

Destaque, a traço mais forte, a parte da pirâmide delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

Dados

– o vértice A(0;9;0) é o de menor cota;

– a diagonal [AC] do quadrado da base é vertical e mede 10 cm;

– o vértice V do sólido pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– o plano δ contém o ponto M, ponto médio do eixo do sólido, e faz um diedro de 55⁰, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

4.    Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por um prisma regular de base quadrangular e por um cubo.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 135⁰ com as projeções dos eixos z e x;

– a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55⁰.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

– as bases do prisma pertencem a planos frontais;

– o ponto A(4;12;0) e o ponto C(9;12;5) são os vértices de uma das diagonais da base de maior afastamento do prisma;

– o prisma tem 11 cm de altura.

Cubo:

– as faces do cubo são paralelas aos planos coordenados;

– o vértice C é comum aos dois sólidos, sendo o vértice de menor abcissa, maior afastamento e maior cota do cubo;

– a aresta do cubo mede 3 cm.

EXAME DE GEOMETRIA DESCRITIVA A - 2ª FASE DE 2014

Aos meus 'discípulos' que vão fazer amanhã (18 de julho de 2014) o exame de Geometria Descritiva A desejo que sejam competentes e que a sorte os acompanhe.

Confiem no que sabem e oxalá o exame seja dentro do que foi duramente treinado.

1ª FASE 2014 - RESULTADOS

Decorreu a 1ª fase dos exames nacionais, onde uma parte dos meus alunos sentiu dificuldades e outra parte me deixou orgulhoso.

No global tiver vários bons resultados, mas podia ter sido melhor. Porém TRÊS VINTES alcançados são um resultado animador. Penso que alguns professores nunca terão ao longo da sua carreira este número, pelo que tenho motivos para estar satisfeito e ao mesmo ambicionar mais.

Aqueles cuja 1ª fase decorreu abaixo das expectativas ... têm agora nova chance, na 2ª fase.

EXAME DE GD A – 1ª FASE 2014 – ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

EXAME DE GD A – 1ª FASE 2014

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.    Determine os traços do plano θ paralelo ao plano α.

Dados

– o plano α é definido pelos pontos A, B e C;

– o ponto A, com 3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_1,3, bissetor dos diedros ímpares;

– o ponto B, com –6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_2,4, bissetor dos diedros pares;

– ponto C (–8;4;–4);

– o plano θ contém o ponto P(–2;2;–6).

Note que poder-se-ia ter optado por não determinar os traços do plano α, representando este plano apenas pelas duas retas e fazendo depois uma reta paralela a uma das retas a passa em P, o que permitia representar os traços do plano θ.

2.    Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas p e f, concorrentes no ponto B.

Dados

– a reta p de perfil é definida pelo ponto A(2;4;2) e pelo ponto B com 2 de afastamento e 5 de cota;

– a reta f é frontal e faz um ângulo de 45°, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção. 

a)

b)

3.    Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base triangular [ABC] situada num plano de rampa ω.

      Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados

– vértice A(5;3;6);

– o traço horizontal do plano ω tem 9 de afastamento;

– o vértice B tem 3 de abcissa e 8 de afastamento;

– o vértice C tem abcissa negativa;

– o vértice V do sólido pertence ao Plano Horizontal de Projeção. 

4.   Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de       
      bases quadrangulares.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 150° com a projeção do eixo z e um ângulo de 120° com a projeção do eixo x;

– a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas quadrangulares regulares:

– os dois prismas são iguais e têm 8 cm de altura;

Prisma 1:

– as bases do prisma são frontais;

– o ponto R(9;10;8) e o ponto S(5;10;8) definem a aresta de maior cota, da base com maior afastamento.

Prisma 2:

– as bases do prisma são horizontais;

– o ponto S e o ponto T(1;10;8) definem a aresta de maior afastamento, da base com maior cota.

Os critérios de classificação podem ser vistos em http://www.aproged.pt/examesgda708/20141fcriterios.pdf  ou em   http://cdn.gave.min-edu.pt/files/557/EX-GDA708-F1-2014-CC.pdf.

EXAME DE GD A - 2014

Caros alunos, desejo que sejam competentes e tenham muita sorte no exame de GD A - 2014, no dia 27 de junho de 2014.

Acreditem em vocês e nas Vossas competências.

TESTE SUMATIVO Nº 6 - 2013-2014

  À semelhança dos testes anteriores cada uma das questões terá a cotação de 50 pontos, num total de 200 

  pontos. Os critérios de classificação são iguais aos dos exames nacionais.

Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine as projeções da reta passante s, perpendicular à reta r no ponto A.

Dados

– a reta r é passante e está definida pelo ponto A com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o eixo x. 

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre a reta horizontal h e o plano ω.

Dados

– o plano ω está definido por uma das suas retas de maior declive d;

– o traço horizontal da reta d tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;

– a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o traço frontal da reta d tem – 4 de cota;

– a reta h contém o ponto P (0; –1; 7) e faz um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção. 

3.       Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num prisma triangular oblíquo de bases regulares horizontais, situado no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pelo plano secante e pelo Plano Horizontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

Dados

– o ponto A (7; 4; 0) e o ponto B (1; 5; 0) são dois dos vértices do triângulo [ABC] de uma das bases do prisma;

– a aresta lateral [AA’] tem as suas projeções horizontal e frontal a fazerem, respetivamente, ângulos de 25⁰, de abertura à esquerda, e 45⁰, de abertura à direita, com o eixo x;

– o vértice A’ pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– o plano θ contém um ponto do eixo x com 6 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a direita, com este mesmo eixo. 

4.       Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140⁰ com a projeção do eixo z e um ângulo de 130⁰ com o eixo x;

– a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 50⁰.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

– as bases do prisma pertencem a planos frontais;

– o ponto A (12; 6; 0) e o ponto B (6; 6; 0) são os vértices da aresta de menor cota da base de maior afastamento do prisma;

– o prisma tem 2 cm de altura.

Prisma triangular:

– o ponto R (6; 2; 6) e o ponto S (6; 8; 6) são os vértices da aresta de maior abcissa da base de maior cota do prisma;

– a outra base do prisma pertence ao plano coordenado xy.