TESTE SUMATIVO Nº 1 DE GD A - 05-11-2013

Enunciado e proposta de resolução:

1.    Determine as projeções da reta de interseção, i, dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

Dados:

– os traços do plano α intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60⁰, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;

– o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela reta b;

– o traço horizontal faz um ângulo de 20⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a reta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

2.  a    Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α paralelo à reta r.

Dados

– a reta r contém o ponto  R(4;1,5;2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 35⁰ (a.e.) e 50⁰ (a.d.) com o eixo x;

– o plano α contém a reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto A(–2;2;3) e faz um ângulo de 60⁰ (a.d.) com o plano frontal de projeção.

2.  b  Determine os traços, nos planos de projeção, do plano β paralelo ao plano α. 
 Dados

– o plano α contém os pontos A(4;1;6), B(1;5;3) e C(7;1;3);

– o plano β contém o ponto P(–7;3;6).

 3.    Represente pelas suas projeções o triângulo isósceles [JKL] situado no 1º diedro.

Dados

– o triângulo está contido num plano oblíquo α cujos traços, horizontal e frontal, são concorrentes num ponto com 5,5 cm de abcissa;

– J(0;1;3) e K, com –3 de abcissa e 5 de afastamento e que pertence ao traço horizontal do plano α, são dois vértices do triângulo;

– os lados [JL] e [KL] do triângulo medem 7,5 cm.

4.   Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide triangular regular, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados:

– a base é o triângulo equilátero [ABC];

– o triângulo está contido no  plano oblíquo α, cujos traços horizontal e frontal são concorrentes num ponto com –4,5 cm de abcissa;

– o vértice A tem 1 cm de abcissa, 1 cm de afastamento e 3 cm de cota;

– o vértice B tem 4,5 cm de abcissa e 5 cm de afastamento e pertence ao traço horizontal do plano α;

        – a pirâmide tem 10 cm de altura.

Nota: Cada exercício vale 50 pontos, num total de 200 pontos.

TESTE SUMATIVO Nº 1 (2013-2014) - 05-11-2013

Teste sumativo º 1 do 11º ano de Geometria Descritiva A da Escola Secundária Martins Sarmento - 05-11-2013.

Conteúdos a avaliar:

- PARALELISMO;

- INTERSEÇÕES,

- FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS NÃO PROJETANTES;

- SÓLIDOS III - BASES CONTIDAS EM PLANOS NÃO PROJETANTES.

TRIÂNGULO CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO

Determine as projecções do triângulo [LMN].

Dados

– o triângulo está situado no 1.º diedro;

– o ponto L (4;2;4) é um dos vértices do triângulo;

– o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;

– o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50⁰ com o plano horizontal de projecção;

– o lado [LN] mede 8 cm;

– o ponto N é o vértice de menor cota.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

* Representa-se o ponto L, pelas suas projeções;

* Representa-se a reta de perfil (p) que nos dá a abcissa do ponto M, do qual já era conhecido o afastamento de 2 cm visto que [LM] pertence a uma reta frontal. A partir de L2 marca-se a distância de 7 cm até à reta p determinando M2;

* Rebate-se a reta p. Para isso rebate-se o ponto M, através do plano de perfil que contém o ponto M e a reta p. Note que o rebatimento feito para o plano horizontal de projeção poderia ter sido feito para o plano frontal de projeção. A reta p rebatida, fazendo com o plano horizontal permite determinar os seus traços (F e H), o que se revela importante para descobrir os traços do plano oblíquo (note que as retas f e p são concorrentes no ponto M, pelo que o plano só poderia ser oblíquo);

* Representa-se o plano oblíquo pelos seus traços. Observe que o traço frontal  f_α é paralelo a f2 (dado que f que é uma reta frontal do plano). h_α passa nos traços horizontais (H) das retas f e p;

* Rebatemos a reta f. Para tal bastou rebater o ponto L uma vez que o ponto H (traço horizontal) pertence à charneira e fica de imediato rebatido. Por H e L rebatidos obtivemos a reta f rebatida;

* Rebatemos a reta p. Para tal bastou rebater o ponto M uma vez que o ponto H (traço horizontal) pertence à charneira e fica de imediato rebatido. Por H e M rebatidos obtivemos a reta f rebatida;

* Com as retas f e p rebatidas, determina-se o ponto N, marcando 8 cm de L até à reta p rebatida. Note que N deve ter menor cota, pelo que fica mais próximo de h_α;

* Efetua-se o contra rebatimento de N e a partir das projeções dos pontos L, M e N representa-se o triângulo pelas suas projeções;

* Por fim deve sublinhar as projeções do triângulo, o que na imagem surge a vermelho, dado que é o objetivo do exercício.

DESAFIOS 11º ANO

Represente, pelas suas projeções, a pirâmide quadrangular regular situada no 1º diedro.

Dados: 
– a base é o quadrado [ABCD], contida num plano passante θ;
– o centro da base é o ponto O(0;3;4); 
– o ponto A tem 3 cm de abcissa, 2 cm de afastamento e é um vértice da base; 
– o vértice V da pirâmide pertence ao plano horizontal de projeção.

Represente, pelas suas projeções, o triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro.

Dados:

– o triângulo está contido no  plano oblíquo α, cujos traços horizontal e frontal são concorrentes num ponto com -4,5 cm de abcissa;

– o vértice A tem 1 cm de abcissa, 1 cm de afastamento e 3 cm de cota;

– o vértice B tem 4,5 cm de abcissa e 5 cm de afastamento e pertence ao traço horizontal do plano α ;
– Considerando que o triângulo [ABC] é a base de uma pirâmide regular com 5 cm de altura, representa a pirâmide pelas suas projeções. 

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados:

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 12 cm de altura.

PIRÂMIDE REGULAR COM BASE CONTIDA NUM PLANO DE RAMPA

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular com base contida num plano de rampa e situada no 1º diedro.
Dados

- Os vértices A(1;3) e C(5;0), estando A 3 cm à esquerda de C, são dois vértices do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;

- A pirâmide mede 8 cm de altura.

 

Proposta de resolução

 

 

 

 Breves passos de resolução

* Representam-se os vértices A e C pelas suas projeções;

* Pelos pontos A e C representa-se uma reta que permite determinar o traço frontal do plano, uma vez que o traço horizontal passa por C1;

*A charneira escolhida é o traço horizontal do plano, pelo que h_ρ≡h_ρr.  Assim C₁≡C_1r;

* Determinou-se o quadrado em V.G. e representaram-se os pontos Be D pelas suas projeções (através do triângulo de rebatimento. Note que bastam as projeções de 3 pontos para determinar as projeções de um quadrado;

* A partir do centro O, determinado através das diagonais do quadrado, representa-se uma reta perpendicular ao plano, que é necessariamente uma reta de perfil p;

* Para rebater a reta de perfil p é necessário incluir num plano projetante - neste caso um plano de perfil. Note que a reta p rebatida é perpendicular à reta i (reta de interseção dos planos de rampa e de perfil);

* A partir de Or marcou-se a medida de 8 cm, correspondente à altura da pirâmide, determinando Vr. A inversão do rebatimento do vértice V permite representar as projeções da pirâmide;

* Representou-se a pirâmide pelas suas projeções, atendendo às invisibilidades. Note que a base, aseente no plano de rampa, é invísível em ambas as projeções.