TESTE SUMATIVO Nº 3 - 11ºAV2 - 2015/2016

1.       Desenhe as projeções do quadrado [ABCD], contido no plano oblíquo α.

Dados

– o traço frontal do plano α interseta o eixo x num ponto com 3 de abissa e faz, com esse mesmo eixo, um  ângulo de 60⁰ (a.d.);

– o quadrado está inscrito numa circunferência com centro no ponto O(–2;4;3);

– a circunferência é tangente ao traço horizontal do plano oblíquo α;

– o vértice A tem cota nula.

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo α, formado pela reta passante s e pelo plano oblíquo θ.

Dados

– o plano θ contém os pontos F(–5;0;7), G(–9;0;0) e H(–6;2;0);

– a reta s cruza o eixo x no ponto M(7;0;0);

– as projeções, horizontal e frontal, da reta s fazem, respetivamente, ângulos de 30⁰ e de 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x.

3.   Represente pelas suas projecções uma piramide pentagonal obliqua com base contida no plano horizontal de projecção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Determine as projecções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

Dados

– a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O(5;5;0) e 5 cm de raio;

– a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;

– o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;

– o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

4.      Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo θ num cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da base.

Preencha a tracejado (paralelo ao eixo x) a projeção visível da secção.

Dados

– a base está contida num plano horizontal;

– o vértice V(0;6;10) e o ponto A(5;6;2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno aparente frontal;

– o plano de topo θ contém o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].

SECÇÕES - CILINDRO OBLÍQUO - PLANO SECANTE DE TOPO

Represente pelas suas projeções um cilindro oblíquo, de bases circulares esituado no 1º diedro.

Dados

– as bases do cilindro são paralelas ao Plano Horizontal de Projeção;

 – o centro de uma das bases é o ponto O(0;3,5;3) e o ponto A, com 3,5 de abcissa e 3,5 de afastamento é um dos pontos da circunferência dessa base;

– o centro da outra base é o ponto O’(0;7;9).

Determine o as projeções da figura da secção produzida no cilindro por um de topo, que faz um ângulo de 50⁰ (a.d.) e contém o ponto A.

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se o cilindro em função dos seus dados. Note que o eixo do cilindro está contido numa reta de perfil, pelo que as geratrizes também são necessariamente de perfil;

– representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados, contendo o ponto A;

– determinam-se os 2 pontos da figura da secção produzida pelo plano secante na base de maior cota e de maior afastamento;

– determinaram-se mais 6 potos da figura da secção, recorrendo ao método dos planos paralelos às bases.  Note que sendo o eixo de perfil houve necessidade de efetuar o seu rebatimento para determinar o centro das diversas circunferências utilizadas na sua projeção horizontal.

– Poder-se-ia efetuar o rebatimento dos 9 pontos da secção de modo a determinar a sua verdadeira grandeza, o que não era pedido no exercício.

– Sublinham-se as projeções da figura da secção determinada (na imagem a vermelho).

SECÇÕES - CONE DE REVOLUÇÃO - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro e com a base contida num plano horizontal.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(–3;3,5;2) e o raio mede 3,5 cm;

– a altura do cone mede 7 cm.

Determine o as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida na pirâmide por um de topo, que corta o eixo x num ponto com 2 de abcissa e faz um ângulo de 40⁰ (a.e.).

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se o cone em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida pelo plano secante na base e o ponto do contorno aparente frontal;

– é necessário determinar (pelo menos) mais quatro pontos da secção. Optou-se pelo “método das geratrizes”, que permitiu a determinação dos quatro pontos em falta;

– efetuou-se o rebatimento dos sete pontos  da figura da secção, de modo a determinar a verdadeira grandeza da figura da secção;
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÕES - CILINDRO DE REVOLUÇÃO - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere um cilindro de revolução, situado no 1º diedro.

Dados

– uma das bases do cilindro está contida no Plano Horizontal de Projeção e o seu centro é o ponto O(–3;4;0);

– o raio das bases mede 2,5 cm;

– a altura do sólido mede 7 cm.

Determine o as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida no cilindro por um de topo, que faz um ângulo de 40⁰ (a.d.) e contém o ponto P com 3 de cota, pertencente ao eixo do cilindro.

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se o cilindro em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se 8 os pontos da figura da secção produzida pelo plano secante, que permitem efetuar o seu rebatimento de modo a determinar graficamente a verdadeira grandeza (V.G.). Note que em projeção horizontal a figura da secção é um círculo e em V.G. é uma elipse;
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE REGULAR - PLANO SECANTE: DE TOPO

Considere uma pirâmide hexagonal regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida num Plano frontal, é o hexágono regular [ABCDEF];

– o centro da base é o ponto O(1;2;4) e o ponto A(4;2;4) é um vértice do hexágono da base;

– a pirâmide tem 7 cm de altura.

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção, produzida na pirâmide por um plano de topo θ, com 5 de abcissa e que faz um ângulo de 55⁰ (a.e.).

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se a pirâmide em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida. Existem 2 pontos (K e L) que pertencem às arestas laterais da pirâmide e 2 pontos (J e M) que pertencem à base. Note que devido ao facto de o plano ser projetante os pontos são diretamente determinados;
– Rebatem-se os pontos da figura da secção para determinar a sua verdadeira grandeza (V.G.);
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE REGULAR - PLANO SECANTE: VERTICAL

Considere uma pirâmide hexagonal regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida num Plano frontal, é o hexágono regular [ABCDEF];

– o centro da base é o ponto O(1;2;4) e o ponto A(4;2;4) é um vértice do hexágono da base;

– a pirâmide tem 7 cm de altura.

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção, produzida na pirâmide por um plano vertical θ, com –3 de abcissa e que faz um ângulo de 45⁰ (a.e.). 

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se a pirâmide em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante vertical, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida. Existem 5 pontos (A’, B’, C‘, E’ e F’) que pertencem às arestas laterais da pirâmide e 2 pontos (M e N) que pertencem à base. Note que devido ao facto de o plano ser projetante os pontos são diretamente determinados;
– Rebatem-se os pontos da figura da secção para determinar a sua verdadeira grandeza (V.G.);
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE OBLÍQUA - PLANO SECANTE: FRONTAL

Considere uma pirâmide hexagonal oblíqua, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida no Plano frontal de Projeção, é o hexágono regular [ABCDEF];

– o centro da base é o ponto O(1;0;4) e o ponto A(4;0;4) é um vértice do hexágono da base;

– o vértice da pirâmide é o ponto V(–3;7;5).

Determine o sólido resultante da secção produzida na pirâmide por um plano frontal ϑ, com 3 de afastamento, considerando a parte do sólido compreendida entre o plano secante e a base.

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se a pirâmide em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante frontal, com 3 de afastamento;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida, que pertencem às arestas laterais da pirâmide. Note que devido ao facto de o plano ser projetante os pontos são diretamente determinados;
– Rebatem-se os pontos da figura da secção para determinar a sua verdadeira grandeza (V.G.);
– Sublinha-se o sólido resultante (na imagem a vermelho). 

QUESTÃO DE AULA Nº 2 - 2015/2016

11AV2

Determine a amplitude do ângulo entre as direções das retas a e b.

Dados

– a reta a contém o ponto P(2;6;3);

– as projeções horizontal e frontal da reta a fazem ângulos de 60⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a reta b é horizontal, contém o ponto S(–6;5;2) e forma um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

11AV1/CT2 - Versão A

Determine a amplitude do ângulo entre o Plano Frontal de Projeção e o plano oblíquo ω.

Dados

– o plano ω é definido pelo ponto A(–4;6;5) e por uma reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto B(0;4;2) e forma um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção.

11AV1/CT2 - Versão A

Determine a amplitude do ângulo entre o Plano Horizontal de Projeção e o plano oblíquo ω.

Dados

– o plano ω é definido pelo ponto A(–4;6;5) e por uma reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto B(0;4;2) e forma um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção.

https://www.facebook.com/GeometriaDescritivaA/

ÂNGULO ENTRE UMA RETA E UM PLANO – MÉTODO DO ÂNGULO COMPLEMENTAR

Determine a verdadeira grandeza do ângulo entre um plano oblíquo α e uma reta oblíqua r.

Dados

– O traço frontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 40⁰ (a.d.) e o traço horizontal faz um ângulo de 35⁰ (a.d.);

 – A projeção frontal da reta r faz um ângulo de 25⁰ (a.e.) e o traço horizontal (H) situa-se 12 cm à direita do plano α;

– A projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 30⁰ (a.e.) e o traço frontal (F) situa-se 1 cm à esquerda do traço horizontal (H). 

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representam-se a reta r e o plano oblíquo α em função dos seus dados;

– Num ponto aleatório da reta r (ponto P no exercício) representou-se uma reta p, perpendicular ao plano; 

– Rebateram-se as duas retas, r e p, segundo a charneira escolhida, que é o plano horizontal β de cota aleatória;
– O ângulo determinado é posteriormente subtraído a 90⁰ de modo a determinar o ângulo α, na imagem representado a vermelho.

https://www.facebook.com/GeometriaDescritivaA/

http://gda11esms.blogspot.pt/

ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS (ENVIESADAS)

Determine a verdadeira grandeza do ângulo entre duas retas oblíquas, m e n.

Dados

– A reta m contém o ponto A(4;4;2) e o seu traço frontal tem 0 de abcissa e 4 de cota;

 – A reta n é paralela ao β_2,4, o seu traço horizontal tem –3 de abcissa e 4 de afastamento;

– A projeção horizontal da reta n faz um ângulo de 60⁰ (a.d.) com o eixo x.

Proposta de resolução

Breves passos de resolução

– Representa-se uma reta n’ paralela à reta n e concorrente com a reta m. Poder-se-ia ter optado por uma reta paralela à reta m e concorrente com a reta n;

– Rebateram-se as duas retas para o plano horizontal de projeção, cuja charneira (escolhida) foi o traço horizontal do plano definido pelas duas retas m e n’;
– O ângulo surge na imagem representado a vermelho.

https://www.facebook.com/GeometriaDescritivaA/

http://gda11esms.blogspot.pt/

TESTE SUMATIVO Nº 2 - 11AV1/CT2 - 2015/2016

1.       Determine os traços do plano μ paralelo ao plano δ.

Dados

– o plano δ contém as retas fronto-horizontais a e b;

– a reta a tem 3 de afastamento e 8 de cota;

– a reta b pertence ao bissetor dos diedros pares, β_2/4, e tem 4 de cota;

– o plano μ contém o ponto P(6;5;6). 

2. Determine, graficamente, as projeções e a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, α e β.

 Dados

– o traço frontal do plano α interseta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;

– o plano β contém os pontos M(6;2;3) e N(10;7;–3). 

3.       Represente pelas suas projeções o triangulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo α.

Dados

– o ponto A(5;1;8) é um dos vértices do triângulo;

– o lado [BC] pertence à reta s;

– o ponto F, traço frontal da reta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;

– as projeções, horizontal e frontal, da reta s fazem, ambas, ângulos de 30⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm. 

4.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base triangular [ABC] situada num plano de rampa ω.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados

–  A(5;3;6) é um vértice da base;

– o traço horizontal do plano ω tem 9 de afastamento;

– o vértice B tem 3 de abcissa e 8 de afastamento;

– o vértice C tem abcissa negativa;

– o vértice V do sólido pertence ao Plano Horizontal de Projeção.

https://www.facebook.com/GeometriaDescritivaA/

TESTE SUMATIVO Nº 2 - 11 AV2 -2015/2016

1.       Determine as projeções da reta b paralela ao plano oblíquo δ.

Dados

– a reta  b contém o ponto P(–7;7;–2);

– a projeção horizontal da reta b faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano δ está definido pelos pontos R(3;6;3), S(0;6;5) e T(–3;1;5).

2.       Determine, graficamente, as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados

– o ponto P pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β_1,3), tem 2 de abcissa e 8 de afastamento;

– o plano α contém o ponto A(2;2;2) e corta o eixo x no ponto com 9 de abcissa;

– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a direita, com o eixo x.

  

3.       Represente o quadrado [ABCD], situado no 1º diedro.

Dados

– o quadrado está contido num plano de rampa ρ.

– os pontos A(1;1;7) e C(–1;4;2) definem uma das diagonais do quadrado.

4.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados

– a base [ABCD] está contida num plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A(1;6) e C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 10 cm de altura.

https://www.facebook.com/GeometriaDescritivaA/

DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO DE RAMPA

Determine as projeções e a verdadeira grande da distância entre o ponto P e o plano de rampa ρ.

Dados

– o ponto P pertence ao β_1/3 e tem 4 de cota;

– o plano de rampa tem 2,5 de afastamento e 6 de cota.

Breves passos de resolução:
– Representaram-se o ponto P e o plano ρ partir dos seus dados;
– representa-se, pelo ponto P, uma reta qualquer perpendicular p ao plano, que é necessariamente uma reta de perfil;

– a reta p é de perfil, pelo que é necessário efetuar o seu rebatimento. Para isso inclui-se a reta p num plano de perfil. A reta p, passa em P e é perpendicular a todas as retas do plano de rampa que passam em P, pelo que se rebateu a reta i de interseção dos dois planos (rampa e perfil), o que permitiu representar a reta p rebatida perpendicular à reta i, no ponto P;

– com a duas retas rebatidas determinou-se o ponto I de interseção das duas retas (i e p) em verdadeira grandeza, o que dá de imediato a V.G. da distância. Note que a distância entre P e I é e distância entre P e o plano de rampa ρ;

– inverte-se o rebatimento do segmento [PI] e determinam-se as suas projeções;

– sublinharam-se a um tom mais escuro (na imagem a vermelho) as projeções e a V.G. da distância entre os o ponto P e o plano.