TESTE SUMATIVO Nº 6 - 2013-2014

  À semelhança dos testes anteriores cada uma das questões terá a cotação de 50 pontos, num total de 200 

  pontos. Os critérios de classificação são iguais aos dos exames nacionais.

Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine as projeções da reta passante s, perpendicular à reta r no ponto A.

Dados

– a reta r é passante e está definida pelo ponto A com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o eixo x. 

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre a reta horizontal h e o plano ω.

Dados

– o plano ω está definido por uma das suas retas de maior declive d;

– o traço horizontal da reta d tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;

– a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o traço frontal da reta d tem – 4 de cota;

– a reta h contém o ponto P (0; –1; 7) e faz um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção. 

3.       Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num prisma triangular oblíquo de bases regulares horizontais, situado no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pelo plano secante e pelo Plano Horizontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

Dados

– o ponto A (7; 4; 0) e o ponto B (1; 5; 0) são dois dos vértices do triângulo [ABC] de uma das bases do prisma;

– a aresta lateral [AA’] tem as suas projeções horizontal e frontal a fazerem, respetivamente, ângulos de 25⁰, de abertura à esquerda, e 45⁰, de abertura à direita, com o eixo x;

– o vértice A’ pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– o plano θ contém um ponto do eixo x com 6 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a direita, com este mesmo eixo. 

4.       Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140⁰ com a projeção do eixo z e um ângulo de 130⁰ com o eixo x;

– a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 50⁰.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

– as bases do prisma pertencem a planos frontais;

– o ponto A (12; 6; 0) e o ponto B (6; 6; 0) são os vértices da aresta de menor cota da base de maior afastamento do prisma;

– o prisma tem 2 cm de altura.

Prisma triangular:

– o ponto R (6; 2; 6) e o ponto S (6; 8; 6) são os vértices da aresta de maior abcissa da base de maior cota do prisma;

– a outra base do prisma pertence ao plano coordenado xy. 

TESTE Nº 5 – GD A – 2013–2014 – ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

  À semelhança dos testes anteriores cada uma das questões terá a cotação de 50 pontos, num total de 200 

  pontos. Os critérios de classificação são iguais aos dos exames nacionais.

Enunciado e proposta de resolução

 1.   Determine os traços do plano μ paralelo ao plano θ.

Dados

– o plano θ contém a reta h e o ponto M(5;0;0);

– a reta h é horizontal e contém o ponto A pertencente ao bissetor dos diedros pares, β_2,4, com 4 de abcissa e 2 de cota;

– a projeção horizontal da reta h faz um ângulo de 35º, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano μ contém o ponto P(–4;2;6). 

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.

Dados

– o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projecção, são coincidentes;

– o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;

– o plano θ é de topo, contém o ponto R (–5;6;5) e faz um diedro de 50⁰, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeção. 

3.       Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cilindro oblíquo, de bases circulares situadas em planos frontais, e situado no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, as projeções do cilindro e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados

– o ponto O (0;4;7,5) é o centro da circunferência com 3,5 cm de raio de uma das bases do cilindro;

– as geratrizes do cilindro são horizontais e fazem um ângulo de 60°, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;

– a outra base do cilindro pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– a direção luminosa é a convencional. 

4.  Represente, numa axonometria oblíqua (clinogonal) em perspetiva cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas triangulares regulares de bases frontais.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– o eixo y faz em projeção axonométrica um ângulo de 135º com os eixos x e z;

– a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 50°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma triangular 1:

– o ponto S(8;4;0) e o ponto T(2;4;0) são dois dos vértices da base [STU] de menor afastamento do prisma;

– o vértice U tem cota positiva;

– o prisma tem 2 cm de altura.

Prisma triangular 2:

– a aresta [SR] de uma das bases do prisma é vertical;

– o vértice R tem 8 de cota;

– os vértices S e R dessa base são os de maior abcissa;

– a outra base está contida no plano coordenado xz.

AXONOMETRIA OBLÍQUA - PERSPETIVA MILITAR

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva militar, de um sólido,
situado no 1.º triedro, composto por um prisma hexagonal regular e um cone de revolução, de acordo com
os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico z faz ângulos de 135º com os eixos axonométricos x e y;
– as projectantes fazem ângulos de 50º com o plano axonométrico.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma hexagonal regular:
– uma das bases está contida no plano coordenado horizontal xy;
– os pontos R(0;5;3) e S(0;10;3) definem uma aresta da base de maior cota.

Cone de revolução:
– o eixo do cone mede 10 cm e situa-se na recta que contém o eixo do prisma;
– a base, situada na base superior do prisma, tem 2 cm de raio.

Proposta de resolução:

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva militar, de um sólido,
situado no 1.º triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com
os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico z faz um ângulo de 125º com o eixo axonométrico y;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma 1:
– os pontos A(3,5;2;7) e S(3,5;8;7) são os vértices de maior cota de uma das bases do prisma.
– a outra base está contida no plano coordenado horizontal yz;

Prisma 2:
– os pontos P(3,5;2;0) e Q(3,5;8;0) são dois vértices de uma base do prisma;
– a outra base do prisma tem 7 cm de abcissa.

Proposta de resolução:

QUESTÃO DE AULA Nº 3 - 11º ANO - 09-05-2014

QUESTÃO DE AULA Nº 3 - A

Leia atentamente para que não tenha dúvidas quanto ao que se pede e tenha muito cuidado na interpretação dos enunciados. Tenha cuidado na apresentação do trabalho proposto.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular, um prisma hexagonal regular e uma pirâmide quadrangular regular.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– trimetria: a projeção axonométrica do eixo y faz ângulos de 140⁰ e de 100⁰ com as projeções dos eixos x e z, respetivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Sólidos:

– têm um eixo comum contido numa reta vertical com 5 cm de abcissa e 5 cm de afastamento.

Prisma quadrangular regular:

– uma das bases está contida no plano coordenado xy e a outra base tem 6 cm de cota;

– as arestas das bases medem 3 cm;

– as faces laterais do prisma são paralelas aos planos coordenados xz e yz.

Prisma hexagonal regular:

– o ponto A(6;1,5;6) é um dos vértices da base de menor cota do prisma;

– a altura do prisma mede 2 cm;

Pirâmide quadrangular regular:

– a base pertence ao plano da face de maior cota do prisma hexagonal;

– os lados da base medem 3 cm e são paralelos aos planos coordenados xz e yz;

– a altura da pirâmide mede 6 cm.

BOM TRABALHO!!!!

Proposta de resolução

QUESTÃO DE AULA Nº 3 - B

Leia atentamente para que não tenha dúvidas quanto ao que se pede e tenha muito cuidado na interpretação dos enunciados. Tenha cuidado na apresentação do trabalho proposto.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular, um prisma hexagonal regular e uma pirâmide quadrangular regular.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– trimetria: a projeção axonométrica do eixo y faz ângulos de 120⁰ e de 130⁰ com as projeções dos eixos x e z, respetivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Sólidos:

– têm um eixo comum contido numa reta de topo com 5 cm de abcissa e 5 cm de cota.

Prisma quadrangular regular:

– uma das bases está contida no plano coordenado xz e a outra base tem 6 cm de afastamento;

– as arestas das bases medem 3 cm;

– as faces laterais do prisma são paralelas aos planos coordenados xy e zy.

Prisma hexagonal regular:

– o ponto A(6;5,5;1,5) é um dos vértices da base de menor afastamento do prisma;

– a altura do prisma mede 2 cm;

Pirâmide quadrangular regular:

– a base pertence ao plano da face de maior afastamento do prisma hexagonal;

– os lados da base medem 3 cm e são paralelos aos planos coordenados xy e zy;

– a altura da pirâmide mede 6 cm.

BOM TRABALHO!!!!

Proposta de resolução

No segundo exercício alguns enunciados tinham o ponto A com 6 cm de abcissa, o que rodava ligeiramente o prisma hexagonal.

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA TRIÉDRICA - MÉTODO DOS CORTES

MÉTODO DOS CORTES

Considere uma axonometria triédrica  em que o eixo z faz com o eixo x um diedro de 130º e com o eixo y um diedro de 110º.
Represente uma pirâmide quadrangular regular situada no 1º triedro, com 6 cm de altura.
O quadrado [ABCD], contido no plano coordenado xy, é a base do sólido.  O ponto A, com 1 cm de abcissa e 2 cm de afastamento é um dos vértices do quadrado. Os lados do quadrado medem 4 cm e são paralelos aos eixos.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

- Representa-se o eixo z e a partir deste marcam-se os ângulos indicados, representando os eixos x e y. Note que os eixos são identificados por letra minúsculas, tal como sucedia na representação diédrica.
- Usando o método dos cortes rebateram-se os planos coordenados xy e xz. Note que poderíamos ter optado por yz em alternativa a xz.
- Representou-se a projeção horizontal (A1r) e frontal (A2r) em rebatimento.
- Representaram-se os restantes vértices, B, C e D em rebatimento, igualmente nas duas projeções usadas para o ponto A. Note que os lados são paralelos aos eixos x e y, como era indicado.
- A perspetiva dos vértices A, B, C e D do quadrado é obtida a partir do cruzamento das linhas de perpendiculares às charneiras usadas (lados do triângulo fundamental), feitas a partir de cada ponto.
- Representou-se o quadrado [ABCD] em perspetiva e através das suas diagonais determinou-se o centro da base.
- O eixo é paralelo ao eixo z e mede 6 cm reduzidos. A marcação da altura foi feita no eixo z rebatido e a redução foi feita perpendicularmente à charneira, diretamente para o eixo z original. Esta medida (6 cm reduzidos) foi transportada com o compasso, determinando-se deste modo o vértice V do sólido.
- A vermelho (que simboliza o sublinhado do traço mais escuro) representaram-se as arestas visíveis do sólido.

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA TRIÉDRICA - MÉTODO DOS CORTES

MÉTODO DOS CORTES

Considere uma axonometria triédrica  em que o eixo z faz com o eixo x um diedro de 130º e com o eixo y um diedro de 110º.
Represente o quadrado [ABCD], contido no 1º triedro e assente no plano coordenado xy. O ponto A, com 1 cm de abcissa e 2 cm de afastamento é um dos vértices do quadrado. Os lados do quadrado medem 4 cm e são paralelos aos eixos.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

- Representa-se o eixo z e a partir deste marcam-se os ângulos indicados, representando os eixos x e y. Note que os eixos são identificados por letra minúsculas, tal como sucedia na representação diédrica.
- Usando o método dos cortes rebateram-se os planos coordenados xy e xz. Note que poderíamos ter optado por yz em alternativa a xz.
- Representou-se a projeção horizontal (A1r) e frontal (A2r) em rebatimento.
- Representaram-se os restantes vértices, B, C e D em rebatimento, igualmente nas duas projeções usadas para o ponto A. Note que os lados são paralelos aos eixos x e y, como era indicado.
- A perspetiva dos vértices A, B, C e D do quadrado é obtida a partir do cruzamento das linhas de perpendiculares às charneiras usadas (lados do triângulo fundamental), feitas a partir de cada ponto.
- A vermelho representou-se o quadrado [ABCD] em perspetiva.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJETADA DE CILINDROS OBLÍQUOS

1
Considere um cilindro oblíquo, situado no 1º diedro.

Dados
– Os círculos das bases medem 3 cm;
– Uma das bases está contida no plano horizontal de projeção, cujo centro é o ponto O(0;5;0);
– As geratrizes do cilindro fazem ângulos de 60º(a.d.) e 45º(a.d.) com o eixo x, respetivamente em projeção horizontal e em projeção frontal;
– O sólido mede 3 cm de altura.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada do prisma nos planos de projeção.


Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:
– Representa-se o cilindro a partir dos seus dados. Note que o eixo [OO'] é paralelo às geratrizes, pelo que se representam as duas bases facilmente.
– Num ponto aleatório representa-se um raio luminoso l e uma reta g, paralela às geratrizes do cilindro.
– Determina-se a reta i de interseção do plano definido pelas duas retas com o plano de menor cota (neste caso é o plano horizontal de projeção).

– Na base de menor cota desenha-se um diâmetro perpendicular à reta i que nos define os dois pontos de tangência, T e S. Por estes pontos representam-se as retas tangentes t e t', paralelas à reta i.
– Na base de maior cota desenha-se uma diâmetro paralelo ao diâmetro da reta de menor cota (perpendicular à reta i) que nos define os pontos de tangência T' e S'.

– Os pontos T e T' permitem representar uma geratriz, invisível em projeção frontal, que pertence à linha separatriz luz/sombra e pelos pontos S e S' desenha-se a outra geratriz, invisível em projeção horizontal, da linha separatriz luz/sombra.
– A geratriz definida pelos pontos S e S' permite representar a sombra própria em projeção frontal e a geratriz definida pelos pontos T e T' permite representar a sombra própria em projeção horizontal. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada a azul, simbolizando a mancha uniforme de grafite mais escura do desenho.
– A sombra projetada do cilindro nos planos de projeção começa na base inferior, uma vez que esta tem cota nula. Determina-se a sombra real dos pontos de tangência T' e S' da base superior, bem como do seu centro O'.
– Uma vez que a sombra se projeta apenas no plano onde as bases estão em verdadeira grandeza, a sombra projetada, unem-se as sombras dos pontos de tangência T e T' e de S e S'.  A sombra termina no semicírculo desenhado com o compasso a partir da sombra de centro O' e com o raio das bases. 

- A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha uniforme mais clara. 

2

Considere um cilindro oblíquo, situado no 1º diedro.

Dados
– As bases circulares são horizontais e medem 4 cm de raio;
– Os centros das bases são os pontos O(0;5;1) e O'(–3,5;7;7).
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada do prisma nos planos de projeção.


Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:
– Representa-se o cilindro a partir dos seus dados. Os centros das bases com a medida do raio permitem representar as bases do cilindro. Note que o eixo [OO'] é paralelo às geratrizes, pelo que se representa o cilindro facilmente.
– Num ponto aleatório representa-se um raio luminoso l e uma reta g, paralela às geratrizes do cilindro.
– Determina-se a reta i de interseção do plano definido pelas duas retas com o plano de menor cota (neste caso é um plano horizontal com 1 cm de cota).

– Na base de menor cota desenha-se um diâmetro perpendicular à reta i que nos define os dois pontos de tangência, T e S. Por estes pontos representam-se as retas tangentes t e t', paralelas à reta i.
– Na base de maior cota desenha-se uma diâmetro paralelo ao diâmetro da reta de menor cota (perpendicular à reta i) que nos define os pontos de tangência T' e S'.

– Os pontos T e T' permitem representar uma geratriz, invisível em projeção frontal, que pertence à linha separatriz luz/sombra e pelos pontos S e S' desenha-se a outra geratriz, invisível em projeção horizontal, da linha separatriz luz/sombra.
– A geratriz definida pelos pontos S e S' permite representar a sombra própria em projeção frontal e a geratriz definida pelos pontos T e T' permite representar a sombra própria em projeção horizontal. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada a azul, simbolizando a mancha de grafite uniforme de grafite mais escura do desenho.
– Para determinar a sombra projetada do cilindro nos planos de projeção determina-se a sombra real dos pontos de tangência T e S, bem como do centro O, que permitem representar o semicírculo da base inferior onde começa a sombra projetada. Em seguida determina-se a sombra real dos pontos de tangência T' e S' da base superior, bem como do seu centro O'. A sombra real dos pontos S e S' permite determinar a sombra da geratriz que passa nestes pontos. A sombra real de T e a sombra virtual de T' permitem representar a sombra da geratriz que passa nos mesmos pontos até ao eixo x, determinando um ponto de quebra, de onde se une até T’_s2. A curva aproximada da sombra projetada entre T’_s2 e o eixo x é feita com recurso à sombra de 3 pontos do arco.
- A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha de grafite uniforme mais clara.