DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS

Determine as projeções e a verdadeira grande da distância entre dois planos oblíquos paralelos α e β.

Dados

– o plano α situa-se 5 cm à esquerda do plano β;

– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 55⁰ (a.d.);

– o traço horizontal do plano β faz um ângulo de 45⁰ (a.d.).

Breves passos de resolução:
– Representaram-se os planos oblíquos paralelos α e β partir dos seus dados. Note que os traços frontais são paralelos entre si, tal como os traços horizontais;
– representa-se uma reta qualquer perpendicular p aos dois planos (p1 fica perpendicular as traços horizontais e p2 fica perpendicular aos traços frontais), numa localização aleatória;

– determina-se o ponto I de interseção da reta p o com o oblíquo α. Repete-se o raciocínio em reação ao plano β e determina-se o ponto I’;

– uma vez que o segmento [II’] é oblíquo efetuou-se o seu rebatimento através do plano vertical que contém a reta e determinou-se a sua V.G. (verdadeira grandeza). Existiam diversas opções para rebater o segmento;

– sublinharam-se a um tom mais escuro (na imagem a vermelho) as projeções e a V.G. da distância entre os dois planos.

SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS OBLÍQUOS

Represente, pelas suas projeções, um hexágono regular, com a base contida num plano de rampa ρ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o traço frontal do plano de ρ tem 4 de cota;

– os pontos A(0;5,5;0) e D são extremos de uma diagonal maior do hexágono;

– o ponto D tem 1 de abcissa e afastamento nulo;

Considerando que o hexágono [ABCDEF] é a base de menor cota de um prisma com 4 cm de altura, represente o sólido pelas suas projeções.

Breves passos de resolução:
– Representa-se o traço frontal do plano ρ a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e D, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula), pelo que hρ passa em A₁ e D pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo) com 1 de abcissa;

– rebatem-se os pontos A e D. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hρ;
– determinam-se os restantes vértices da base – B, C, E e F – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices  B, C, E e F;
– depois de representado o hexágono pelas suas projeções, representou-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hρ e p2 fica perpendicular a fρ), a passar no vértice B por opção (poderia ser em qualquer vértice) ;
– a reta p é de perfil, pelo que é necessário efetuar o seu rebatimento. Para isso inclui-se a reta p num plano de perfil. A reta p, passa em B e é perpendicular a todas as retas do plano de rampa que passam em B, pelo que se rebateu a reta i de interseção dos dois planos (rampa e perfil), o que permitiu representar a reta p rebatida perpendicular à reta i, no ponto B;

 – a partir de B rebatido marcou-se a altura de 4 cm do prisma e determinou-se o vértice B’ em verdadeira grandeza;

– inverteu-se o rebatimento de B’ e representou-se o ponto pelas suas projeções;

– Como as arestas laterais do prisma são todas iguais, copiou-se a aresta [BB’] na projeção frontal e “copiou-se” para os restantes vértices da base e repetiu-se o raciocínio na projeção horizontal;
– representa-se a pirâmide num tom mais escuro (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades, atendendo a que a base [A’B’C’D’E’F’] é visível em ambas as projeções. 

PIRÂMIDE REGULAR COM BASE CONTIDA NUM PLANO OBLÍQUO

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços horizontal e frontal do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 8 cm;

– o ponto A(1;6) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 10 cm de altura.

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

Passos de resolução:

– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;

– representou-se o ponto A, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao através de uma reta do plano – por opção a reta horizontal h;

– rebateu-se o ponto A. Note que se recorreu ao triângulo de rebatimento, escolhendo domo charneira o traço horizontal do plano – hα;

– determinam-se o vértice  C  a partir da medida da diagonal [AC]. Note que o vértice C se situa no traço horizontal do  plano – hα;

– determinam-se os restantes vértices da base – B e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices B e D, uma vez que C pertencendo à charneira fica de imediato "contra-rebatido", determinando as projeções dos três pontos. Note que, pelo facto de a base ser um quadrado, o centro O pode determinar-se diretamente nas projeções da base, a partir das diagonais do quadrado;

– pelo centro da base O representa-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hα e p2 fica perpendicular a fα) ;

– o eixo da pirâmide, contido na reta p, pertence a uma reta oblíqua, pelo que é necessário efetuar um 2º rebatimento, a partir de um plano projetante que contenha a reta. Optou-se por um plano de topo. Note que para rebater a reta p foi usado o rebatimento de O e o ponto da reta que pertence à charneira de rebatimento;
– a partir de Or marca-se a altura da pirâmide – 10 cm – obtendo-se Vr (vértice do sólido rebatido);
– inverte-se o rebatimento de V e representa-se o mesmo pelas suas projeções;
– representa-se a pirâmide (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades. Note que o vértice é visível em ambas as projeções e o contorno aparente (horizontal e frontal) fica sempre a traço contínuo.

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QUESTÃO DE AULA 1 - 11º AV2 - 2015/2016

Desenhe as projeções de um quadrado [ABCD], situado no 1º diedro e contido num plano oblíquo β.

Dados

– o lado [AB] está contido numa das retas de maior inclinação do plano;

– os pontos A(0;1,5;3) e B(–4;4,5;1) são dois vértices consecutivos do quadrado.

Extra

Desenhe as projeções de um quadrado [ABCD], situado no 1º diedro e contido num plano oblíquo β.

Dados

– os  traços horizontal e frontal do plano β fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ (a.d.) e 45⁰ (a.d.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com 4 abcissa;

– os pontos  A(0;5) e B(5;2) são dois vértices opostos do quadrado.

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PRISMA REGULAR COM BASES CONTIDAS EM PLANOS OBLÍQUOS

Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrangular regular, contido num plano oblíquo α e situado no 1º diedro.

Dados:

– a base inferior é o quadrado [FGHI], que está contido num plano oblíquo α, cujos traços horizontal e frontal fazem com o eixo x, respetivamente, ângulos de 30⁰ e 45⁰ (a.d.);

– o plano α corta o eixo x num ponto com 2 de abcissa;

– uma das diagonais do da base inferior é o segmento de reta [FH], em que F e H são os traços nos planos de projeção da uma reta de perfil com –3 de abcissa;

– o prisma tem 7 cm de altura.

Passos de resolução:

– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;

– representa-se a reta de perfil com –3 de abcissa  e com ela determinam-se os pontos F e H.

– rebatem-se os pontos F e H. Note que o ponto H fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα);

– determinam-se os restantes vértices da base – G e I – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices G e I. Note que, pelo facto de a base ser um quadrado, bastavam as projeções de três dos quatros vértices, mas optou-se pela determinação das projeções dos quatro vértices;

– a partir de um dos vértices representou-se uma reta p, perpendicular ao plano, tendo sido escolhido o ponto F. Trata-se necessariamente de uma reta oblíqua, pelo que foi necessário rebater a reta para representar a altura do prisma;

– o rebatimento da reta p foi feito através de um plano de topo (mas poderia ter sido vertical). Este rebatimento permitiu determinar as projeções da vértice F’ da outra base. Note que todas as arestas laterais do prisma são iguais, pelo que se “copiou” a aresta [FF’] e foram representadas as restantes arestas (que incluem os restantes vértices da outra base, G’, H’ e I’);

– representou-se o prisma pelas suas projeções (na imagem a vermelho) e foram representadas a traço descontínuo as invisibilidades.

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PIRÂMIDE COM A BASE CONTIDA NUM PLANO OBLÍQUO

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro, cuja base está assente num plano .

Dados:

 – a base do sólido é o quadrado [ABCD] contido num plano oblíquo α, cujos traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 60⁰ e 45⁰, ambos com abertura para a esquerda;

– os pontos A(4;0) e B(0;3) são dois vértices consecutivos do quadrado da base;

– a pirâmide mede 6 cm de altura.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula) e B pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo);
– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα;
– determinam-se os restantes vértices da base – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D. Note que, pelo facto de a base ser um quadrado, o centro O pode determinar-se diretamente nas projeções da base, a partir das diagonais do quadrado;
– depois de representado o quadrado pelas suas projeções, determinou-se o centro da base, necessário à representação do eixo da pirâmide;
– pelo centro da base O representa-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hα e p2 fica perpendicular a fα) ;
– o eixo da pirâmide, contido na reta p, pertence a uma reta oblíqua, pelo que é necessário efetuar um 2º rebatimento, a partir de um plano projetante que contenha a reta. Optou-se por um plano de topo. Note que para rebater a reta p foi usado o rebatimento de O e o ponto da reta que pertence à charneira de rebatimento;
– a partir de Or marca-se a altura da pirâmide – 7 cm – obtendo-se Vr (vértice do sólido rebatido);
– inverte-se o rebatimento de V e representa-se o mesmo pelas suas projeções;
– representa-se a pirâmide (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades. Note que o vértice é visível em ambas as projeções e o contorno aparente (horizontal e frontal) fica sempre a traço contínuo.

 p_ρ.

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MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES - TRIÂNGULO DE REBATIMENTO

MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES - TRIÂNGULO DE REBATIMENTO

Notas:

* A charneira de rebatimento é o traço horizontal. Se fosse o traço frontal o raciocínio seria o mesmo.

* A distância referida é coincidente com a cota do ponto, uma vez que o rebatimento é feito para o plano horizontal de projeção.

SITES INDICADOS PARA O TRABALHO AUTÓNOMO

Caros alunos, no âmbito de uma melhor preparação do exame de 2014 indico os seguintes sites:

http://www.aproged.pt/examesgeometria.html


http://veraviana.net/


http://www.paraescolar.pt/geometria-descritiva-11-ano/guia-de-estudo-geometria-descritiva-a-11-ano?id=9571736&idAno=9026&indep=0&tema=tex

http://www.portoeditora.pt/sites/geometriadescritiva

http://bi.iave.pt/exames/exames/eSecundario/754/?listProvas


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Bom estudo.

TESTE SUMATIVO Nº 1_2015_2016 - 11AV1/CT2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções do plano de rampa θ ortogonal ao plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(3;3;4) e a reta r;

– a reta r contém os pontos R(0;5;–5) e S(–4;–4;4);

– o plano de rampa θ contém o ponto A. 

2.       Determine os traços do plano θ paralelo ao plano α.

Dados

– o plano α é definido pelos pontos A, B e C;

– o ponto A, com 3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_1,3, bissetor dos diedros ímpares;

– o ponto B, com –6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_2,4, bissetor dos diedros pares;

– ponto C(–8;4;–4);

– o plano θ contém o ponto P(–2;2;–6).

3.       Determine as projeções do ponto I resultante da intersecção da reta fronto-horizontal g com o plano α.

Dados

– a reta g, com 6 de afastamento, pertence ao β_1,3, bissetor dos diedros ímpares;

– o plano α é definido pelo ponto K do eixo x com 4 de abcissa e pela reta frontal f;

– a reta f contém o ponto P(0;4;3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

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TESTE SUMATIVO Nº 1_2015_2016 - 11AV2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções da reta p perpendicular ao plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(3;3;4) e a reta r;

– a reta r contém os pontos R(0;5;–5) e S(–4;–4;4);

–  a reta p contém o ponto A.

  

2.       Determine os traços do plano μ paralelo ao plano θ.

Dados

– o plano θ contém a reta h e o ponto M(5;0;0);

– a reta h é horizontal e contém o ponto A pertencente ao bissetor dos diedros pares, β_2,4, com 4 de abcissa e 2 de cota;

– a projeção horizontal da reta h faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano μ contém o ponto P(–4;2;6).

  

3.       Determine as projeções da reta i resultante da intersecção entre os planos δ e α.

Dados

− o plano δ é de rampa e está definido pelo ponto A(–4;4;2) e pela reta g;

− a reta g é fronto-horizontal com 2 de afastamento e 4 de cota;

− o plano α contém o ponto K do eixo x com 5 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com este eixo;

− o plano α é oblíquo e perpendicular ao β_2,4, bissetor dos diedros pares.

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ORTOGONALIDADE ENTRE DUAS RETAS OBRLÍQUAS

Represente, pelas suas projeções, uma reta p ortogonal à reta r.

Dados

– a reta r está definida pelos pontos A(–3;1; –2) e B(2;5;4);

– a reta p passa no ponto P(–1;2;3) e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 60⁰ (a.e.).

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

* Representa-se a reta r (a passar por A e B) de acordo com os dados fornecidos; 

* Representa-se o ponto P e por ele uma reta horizontal h ortogonal à reta r (poderia ter sido frontal);

* A reta horizontal h permite, a partir do seu traço frontal F, representar o plano pelos seus traços, que são perpendiculares às projeções da reta r no mesmo plano de projeção;

* Representa-se a projeção horizontal da reta p, a passar em P e com o ângulo 60⁰ (a.e.);

* Determinam-se os traços da reta p, que permitem determinar a sua projeção frontal. 

Note que a reta p pertence ao plano que é ortogonal à reta r pelo que p é ortogonal a r.

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INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS

Determine as projeções da reta de intersecção, i, dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

Dados

– os traços do plano α intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60⁰, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;

– o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela reta b;

– o traço horizontal faz um ângulo de 20⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a reta b é de perfil passante e contém o ponto B(2;6).

Breves passos de resolução:

* Representou-se o plano α pelos seus dados;

* Representou-se o traço horizontal do plano β e a reta b pelos seus dados. Note-se que a reta b é passante, pelo que também tem abcissa -1;

* Através da reta r horizontal (por opção, pois poderia ser frontal) determinou-se o traço frontal do plano β;

* Poder-se-ia determinar a reta i sem o traço frontal do plano β, mas esta não foi a opção;

* A reta i é passante, uma vez que os 2 planos contêm o mesmo ponto do eixo x, pelo que houve necessidade de determinar um segundo ponto da reta - o ponto I. Este ponto foi determinado através da determinação da interseção de 3 planos, uma vez que foi incluída a reta r num plano horizontal;

* Unido o ponto A do eixo x com o ponto I representou-se a reta i.


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QUESTÃO DE AULA 1 DE 2015/2016 - 11AV1/CT2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

Determine os traços do plano μ paralelo ao plano θ.

Dados

– o plano θ contém a reta h e o ponto M(5;0;0);

– a reta h é horizontal e contém o ponto A pertencente ao bissetor dos diedros pares, β_2/4, com 4 de abcissa e 2 de cota;

– a projeção horizontal da reta h faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano μ contém o ponto P(–4;2;6).

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PERPENDICULARIDADE E INTERSEÇÕES

Considere o plano oblíquo δ.
a) Determine as projeções da reta b perpendicular ao plano oblíquo δ.
b) Determine o ponto I de interseção da reta b com o plano oblíquo δ.

Dados
- O  plano δ contém o ponto A(3;5;-1); B(1;2;2); C(-4;-1;3).
- A reta b contém o ponto P(6;2;2).

Breves passos de resolução:

- Pelos três pontos (A, B e C) representaram-se duas retas paralelas (por opção).

- Determinaram-se os traços das duas retas, que permitiram determinar os traços do oblíquo δ.

- Pelo ponto P representou-se a reta b, cuja projeção frontal é ortogonal ao traço frontal do plano e cuja projeção horizontal é ortogonal ao traço horizontal do plano.

- Para determinar o ponto I, de interseção da reta b com o plano  oblíquo δ, recorreu-se ao "método geral de interseção de retas com planos (1. Incluir a reta b num plano projetante; 2. Determinar a reta i de interseção dos dois planos; 3. Determinar o ponto de interseção da reta b com a reta i).

Nota: A preto surgem os passos relativos à determinação dos traços oblíquo δ e a vermelho os passos de determinação do ponto I.