TESTE SUMATIVO Nº 5 - 2014/2015

Estrutura do teste sumativo nº 5:

Tendo em conta que este teste se aproxima (dentro do possível) do exame nacional, a estrutura do teste é a seguinte:

1. Pode  incluir: interseções; paralelismo; perpendicularidade; relações de pertença (pontos ou retas pertencentes a planos.

2. Pode sair: figuras planas (em planos não projetantes); ângulos; distâncias.

3. Este item podia conter: secções, sombras e sólidos (com bases de rampa ou oblíquas). Atendendo a que as sombras ainda não foram avaliadas de modo conveniente, este conteúdo tem elevada probabilidade de sair (estudem bem os sólidos oblíquos),

4. Axonometria ortogonal (pode ser isometria, dimetria ou trimetria). O item inclui a representação de um sólido apenas.

Bom trabalho.

Trimetria - Pirâmide com base de perfil

Considere uma axonometria trimétrica em que o eixo x faz um ângulo de 120º com z e o eixo y faz um ângulo de 110º com z.
Represente uma pirâmide quadrangular regular com a base [ABCD] contida no plano coordenado yz.
Dados:
- o centro da base é o ponto Q(0;4;5);
- o vértice A tem 2 cm de afastamento e 2 cm de cota;
- o vértice V da pirâmide tem 9 cm de abcissa.

Processo usado: método dos cortes.

Breve passos de resolução:

* Representara-se os três eixos a partir dos dados;

* Rebateram-se os planos coordenados yz que contém a base e o plano xy para reduzir a abcissa de V; 

* Determinou-se a perspetiva da base;

* Representou-se a pirâmide.

Note que surgem as invisibilidades para melhor compreensão do exercício, o que não acontecerá nos momentos de avaliação nem na representação de sólidos compostos. 

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA - CILINDRO OBLÍQUO

Considere um cilindro oblíquo, situado no 1º diedro, com bases horizontais.

Dados

– os centros das bases são os pontos O(0;5;1) e O’(–3,5;7;7);

– o raio das base mede 4 m.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada do cone, considerando a direção luminosa convencional. 

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA - CILINDRO DE REVOLUÇÃO

Considere um cilindro de revolução, situado no 1º diedro, com bases horizontais.

Dados

– o centro da base de menor cota é o ponto O(2;5,5;2);

– o raio das base mede 3 m;

– a altura do sólido é de 7 cm.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada do cone, considerando a direção luminosa convencional. 

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA - CONE OBLÍQUO

Considere um cone oblíquo, situado no 1º diedro, com a base contida num plano horizontal.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(0;5;6) e o raio mede 4 cm;

– o vértice V do cone tem 2 de abcissa, 5 de afastamento e 1 de cota.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada do cone, considerando a direção luminosa convencional. 

Proposta de resolução:

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA - CONE DE REVOLUÇÃO

Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro, com a base contida num plano horizontal.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(2;5;1,5) e o raio mede 3 cm;

– a altura do cone mede 8 cm.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada do cone, considerando a direção luminosa convencional. 

Proposta de resolução:

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE - BASE DE PERFIL

Considere uma pirâmide regular, cuja base está contida num plano de perfil e situada no 1º diedro.
Dados
- a base é o pentágono regular [ABCDE] cujo centro é o ponto O(5;4);
- o raio de circunferência circunscrita ao pentágono mede 3 cm;
- o vértice A é o de maior afastamento e o vértice B o de maior cota;
- o lado [CD], oposto a A, é vertical;
- a pirâmide mede 6 cm de altura.
Considerando a direção luminosa convencional determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

- Representa-se o pentágono[ABCD] da base a partir dos seus dados.  Note que a figura plana está contida num plano perfil, pelo que é necessário rebater para encontrar os vértices da base.

- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.

- Determina-se a interseção do raio luminoso l com o plano (de perfil) que contém a base. Note que  I₁ e  I₂ se situam no plano de perfil, pelo que é necessário efetuar o rebatimento do ponto I para determinar as retas tangentes à base, também rebatidas (as projeções de t e t' estão situadas no plano de perfil).

- A partir de I_r representam-se as retas tangentes à base, rebatidas, que passam nos pontos A e C.

- A linha separatriz luz/sombra é desta forma a linha quebrada formada pelos pontos [A,V,C,D,E,A].

- Em projeção horizontal não existem faces visíveis com sombra própria e na projeção frontal apenas a face [AEV] apresenta sombra própria, simbolizada pelo vermelho mais escuro, que corresponde a uma mancha de grafite uniforme mais escura ou linhas paralelas ao eixo x. 

- Os pontos de quebra foram determinados com recurso à sombra virtual de V (Vv₂) e de D(Dv₂).

- A sombra da pirâmide projetada  nos planos de projeção inclui a sombra dois pontos A, C (pontos de tangência), D e E da base, além do vértice do sólido V.  O Ponto B situa-se na zona de sombra elo que se pode considerar uma 'sombra inútil', não sendo por isso necessária a sua determinação.

- A sombra projetada simbolizada pelo vermelho mais claro ou menos denso, que corresponde a uma mancha de grafite uniforme mais clara ou linhas perpendiculares aos raios luminosos.

TESTE SUMATIVO Nº 4 - 2014/2015

Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, α e β.

 Dados

– o traço frontal do plano α interseta o eixo x no ponto com 10 de abcissa e faz um ângulo de 60°, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;

– o plano β contém os pontos M (–6; 2; 3) e N (–10; 7; –3).

2.       Desenhe as projeções de um hexágono regular [ABCDEF], situado no 1º diedro.

Dados

– o hexágono está contido num plano horizontal com 4 de cota;

– o vértice A pertence ao Plano Frontal de Projeção e tem abcissa nula;

– os lados do hexágono medem 3,5 cm e dois lados são de topo.

Considerando a direção luminosa convencional, determine a sombra projetada do hexágono nos planos de projeção.

3.       Represente pelas suas projeções uma pirâmide pentagonal obliqua com base contida no plano horizontal de projeção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Determine as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

Dados

– a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O (5; 5; 0) e 5 cm de raio;

– a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;

– o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;

– o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

4.       Represente, pelas suas projeções, um prisma triangular regular, situado no 1º diedro.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

– as bases do prisma estão situadas em planos oblíquos, perpendiculares ao plano bissetor dos diedros ímpares (β_1,3);

– a base [ABC] está contida no plano α, cujo traço horizontal faz um ângulo de 40⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– o ponto A(–1;3;0) é um dos vértices da base referida;

– o ponto O’(–3;10;9) é o centro da outra base.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE REGULAR

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.
Dados
- O quadrado da base [ABCD] tem como centro o ponto O(2;5;2) e está contido num plano horizontal;
- O ponto A tem 1 cm de abcissa e 2 cm de afastamento;
- A pirâmide tem 8 cm de altura.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

- Representa-se o quadrado [ABCD] da base a partir dos seus dados.  Note que a figura plana está contida num plano horizontal, pelo que A tem a mesma cota de O, e dos restantes vértices da base.

- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.

- Determina-se a interseção do raio luminoso l com o plano (horizontal) que contém a base.

- A partir de V₁ representam-se as retas tangentes à base. Note que (f_ν)≡t₂≡ t’₂ e que t₁ e t'₁ passam por V₁ e pelos pontos mais exteriores da base, D e B (em D₁  e B₁).

- A linha separatriz luz/sombra é desta forma a linha quebrada formada pelos pontos [B,C,D,V,B].

- Em projeção horizontal as faces [CDV] e [BCV] encontram-se iluminadas e as faces [ADV] e [ABV] apresentam sombra própria, simbolizada pelo vermelho mais escuro, que corresponde a uma mancha de grafite uniforme mais escura ou linhas paralelas ao eixo x. Na projeção frontal as faces em sombra estão invisíveis, pelo que não existe sombra própria para representar.

- Os pontos de quebra Q e Q' foram determinados com recurso à sombra virtual de V (Vv₁).

- A sombra da pirâmide projetada  nos planos de projeção inclui a sombra dois pontos B, D (pontos de tangência) e C da base, além do vértice do sólido V.  O Ponto A situa-se na zona de sombra pelo que se pode considerar uma 'sombra inútil', não sendo por isso necessária a sua determinação.

- A sombra projetada simbolizada pelo vermelho mais claro ou menos denso, que corresponde a uma mancha de grafite uniforme mais clara ou linhas perpendiculares aos raios luminosos.

BOM ESTUDO !!!

SOMBRAS - SOMBRA DE FIGURAS PLANAS - TRIÂNGULO, RETÂNGULO E PENTÁGONO

 1.
Considere o triângulo definido pelos pontos A(2;3;9), B(-1;5;3) e C(4;7;2).
Determine a sombra projetada do triângulo nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional.

Breves passos de resolução:

- Representa-se o triângulo a partir dos seus dados.  Note que não é relevante definir o plano que contém a figura plana.

- Determina-se a sombra real dos 3 pontos.
- A sombra real do segmento [BC] encontra-se no PHP (Plano Horizontal de Projeção), não existindo ponto de quebra, ao passo que  [AC] e  [AB] apresentam ponto de quebra na sua sombra real.

- Para determinação dos pontos de quebra referidos, recorreu-se, por opção, à sombra virtual do ponto A. Note que este ponto A liga a B e C, justificando a escolha.

- A sombra projetada, nos dois planos de projeção, é representada recorrendo a uma mancha uniforme, aqui simbolizada pela mancha vermelha do desenho.

 2.
Considere o retângulo contido num plano frontal, definido pelos pontos A(2;4;0) e B. O ponto B pertence ao β_1,3 e tem 4 cm de abcissa. Os lados maiores do retângulo medem 6 cm.
Determine a sombra projetada do retângulo nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional. 

Breves passos de resolução:

- Representa-se o retângulo a partir dos seus dados.  Note que a figura plana está contida num plano frontal.

- Determina-se a sombra real dos 4 pontos. Observe que a sombra do ponto B pertence ao eixo x.

- A sombra do retângulo inclui pontos de quebra, que se determinaram, por opção, recorrendo à sombra virtual do ponto C. Note que, pelo facto de o retângulo estar contido num plano frontal, a parte da sombra projetada no plano frontal de projeção é paralela à projeção frontal do retângulo, nos lados correspondentes, a saber: [BsCs2] na sua totalidade e [Cs2Ds1] na parte que está no PFP.

- A sombra projetada, nos dois planos de projeção, é representada recorrendo a uma mancha uniforme, aqui simbolizada pela mancha vermelha do desenho. 

 3.
Considere o pentágono [ABCDE] contido num plano frontal. O centro do pentágono é o ponto O(2;4;5) e circunferência circunscrita mede 4 cm. o raio da B. O lado de menor cota do pentágono é fronto-horizontal. Determine a sombra projetada do retângulo nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional. 

Breves passos de resolução:

- Representa-se o pentágono a partir dos seus dados.  Note que a figura plana está contida num plano frontal.

- Determina-se a sombra real dos 5 pontos. A sombra real dos pontos C e D está no plano horizontal de projeção e dos restantes pontos A, B e E.

- A sombra do retângulo inclui pontos de quebra, que se determinaram, por opção, recorrendo à sombra virtual dos pontos B e D. Note que, pelo facto de o pentágono estar contido num plano frontal, a parte da sombra projetada no plano frontal de projeção é paralela à projeção frontal do pentágono, nos lados correspondentes, a saber: [Es2As2] e [As2Bs2] na sua totalidade; [Es2Ds1] e  [Bs2Cs1] na parte que está no PFP. Estes conceitos evitavam a determinação de  qualquer sombra virtual neste exercício, apesar de surgirem determinadas para melhor compreensão. 

- A sombra projetada, nos dois planos de projeção, é representada recorrendo a uma mancha uniforme, aqui simbolizada pela mancha vermelha do desenho. 

- A parte da sombra que se encontra por trás do pentágono é invisível e representa-se  traço interrompido.

SECÇÃO DE UM CONE OBLÍQUO - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere um cone oblíquo, situado no 1º diedro.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(2;4;1) e o raio mede 3 cm;

– o vértice do cone é o ponto V(–5;2;4).

Determine o sólido resultante da secção produzida na pirâmide por um de topo, que corta o eixo x num ponto com 3,5 de abcissa e passa no vértice V do sólido. Considere a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o plano da base.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

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SECÇÃO DE UM CONE DE REVOLUÇÃO - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro e com a base contida no Plano Horizontal de Projeção.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(3;4,5;0) e o raio mede 3,5 cm;

– a altura do cone mede 7 cm.

Determine o as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida na pirâmide por um de topo, que corta o eixo x num ponto com –1 de abcissa e faz um ângulo de 45⁰ (a.e.).

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

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SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE - PLANO SECANTE DE RAMPA

Considere uma pirâmide quadrangular oblíqua, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida no Plano Horizontal de Projeção, é o quadrado regular [ABCD];

– os pontos A(3;7;0) e C(1;1;0) pertencem a uma diagonal do quadrado da base;

– o vértice B situa-se à direita de A;

– a pirâmide mede 8 cm de altura, sendo a aresta lateral [BV] frontal e a aresta lateral [AV] de perfil;

Determine o sólido resultante da secção produzida na pirâmide por um plano de rampa ρ, cujos traços horizontal de frontal, têm respetivamente 8 de afastamento e 6 de cota, considerando a parte do sólido compreendida entre o plano secante e a base. 

USO DA 3ª PROJEÇÃO:

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SECÇÃO PRODUZIDA POR UM PLANO VERTICAL - PIRÂMIDE REGULAR

Considere uma pirâmide pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida num plano frontal, é o quadrado regular [ABCD], inscrito numa circunferência com 3 cm de raio, cujo centro é o ponto O(2;8;3)

– o vértice A pertence ao Plano Horizontal de Projeção; do pentágono, de menor abcissa, é de topo;

– o vértice V da pirâmide tem 1 cm de afastamento.

Determine as projeções e a verdadeira grandeza (V.G.) da figura da secção produzida por um plano vertical δ que faz um diedro de 45⁰ (a.e.) com o Plano Frontal de Projeção e  interseta o eixo x num ponto com –2,5 de abcissa.

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TESTE SUMATIVO Nº 3

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.       Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de rampa θ.

Dados

– o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (0; 2; 5);

– a reta de perfil p do plano θ contém o ponto O e tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;

– o vértice A do pentágono é o traço frontal da reta p.

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas p e f, concorrentes no ponto B.

Dados

– a reta p de perfil é definida pelo ponto A (2; 4; 2) e pelo ponto B com 2 de afastamento e 5 de cota;

– a reta f é frontal e faz um ângulo de 45°, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção.

   

3.       Determine as projeções e a verdadeira grandeza (V.G.) da figura da secção produzida por um plano vertical δ numa pirâmide regular de base quadrangular [ABCD] situada num plano frontal.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Dados

– o vértice A (0; 9; 0) é o de menor cota;

– a diagonal [AC] do quadrado da base é vertical e mede 10 cm;

– o vértice V do sólido pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– o plano δ contém o ponto M, ponto médio do eixo do sólido, e faz um diedro de 55°, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

4.       Desenhe as projeções de um prisma pentagonal oblíquo situado no 1º diedro.

Dados:

– uma das bases do prisma é o pentágono regular [ABCDE] contido no plano frontal de projeção;

– o centro dessa base é o ponto O(4;0;4) e o vértice A tem 4 cm de abcissa e 7 cm de cota;

– as arestas laterais do prisma são horizontais e fazem ângulos de 60⁰ (a.d.) com o Plano Frontal de Projeção;

– a altura do prisma mede 5,5 cm.

Determine as projeções do sólido resultante da secção produzida no prisma pelo plano oblíquo α cujos traços, horizontal e frontal, fazem ângulos de 25⁰ (a.e.) e 55⁰ (a.e.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com –6,5 cm de abcissa. Considere o sólido truncado que apresenta a figura da secção visível em ambas as projeções.

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QUESTÃO DE AULA Nº 2 - 11AV1/11CT2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre a reta horizontal h e o plano ω.

Dados

– o plano ω está definido por uma das suas retas de maior declive d;

– o traço horizontal da reta d tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;

– a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o traço frontal da reta d tem – 4 de cota;

– a reta h contém o ponto P(0;–1;7) e faz um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

SECÇÃO PRODUZIDA NUMA PIRÂMIDE - PLANO SECANTE OBLÍQUO

Considere uma pirâmide pirâmide pentagonal regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido é o pentágono regular [ABCDE], situada no plano horizontal de projeção;

– o lado [AB] do pentágono, de menor abcissa, é de topo;

– O centro da base é o ponto O(4,5;0) e o raio da circunferência circunscrita ao pentágono mede 3,5 cm;

– a altura da pirâmide mede 7 cm.

Determine o sólido resultante da secção produzida na pirâmide por um plano oblíquo, cujos traços horizontal de frontal fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambas de abertura para a esquerda, cortando o eixo x 5 cm à direita de [AB]. Considere o sólido truncado que apresenta a figura da secção visível em ambas as projeções.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

QUESTÃO DE AULA Nº 2 - 11AV2

Desenhe a verdadeira grandeza do ângulo formado pelos planos α e β.

Dados:

– os planos α e β têm os seus pontos de cota e afastamento nulos à distância de 10 cm;

– o plano β é perpendicular ao bissetor dos diedros ímpares; o seu traço frontal tem a abertura de 60⁰ para a esquerda e situa-se à direita de α;

– o plano α é perpendicular ao bissetor dos diedros pares e o seu traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30⁰ de abertura para a direita.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE - SÓLIDO RESULTANTE

Considere uma pirâmide pentagonal regular, cuja base está contida num plano horizontal e situada no 1º diedro.

Dados

– o centro do pentágono é o ponto O(4;1);

– o raio  da circunferência circunscrita ao pentágono mede 3,5 cm;

– o lado [AB], de menor abcissa do pentágono, é de topo;

– a pirâmide tem 6,5 cm de altura.

Determine as projeções do sólido resultante da secção produzida por um plano de topo, que faz um ângulo de 50⁰ (a.d.) e corta o eixo x na linha de chamada de D. Considere o sólido truncado entre o plano secante e a base e determine a verdadeira grandeza da figura da secção.

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere uma pirâmide pentagonal regular, cuja base está contida num plano horizontal.

Dados

– o centro do pentágono é o ponto O(4;8);

– o raio  da circunferência circunscrita ao pentágono mede 3,5 cm;

– o lado [AB], de maior abcissa do pentágono, é de topo;

– a pirâmide tem 7 cm de altura e o seu vértice V tem cota inferior à base.

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida por um plano de topo, que faz um ângulo de 50⁰ (a.d.) e corta o eixo x 1,5 cm à esquerda [AB].

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO