FIGURAS PLANAS III - PENTÁGONO CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO

Represente, pelas suas projeções, um pentágono [ABCDE] contido num plano oblíquo ψ.

Dados:

– o plano oblíquo ψ é perpendicular ao β_2,4 e o seu traço horizontal faz um diedro de 50⁰ (a.e.);

– os pontos A(0;3) e B(2;0) são um lado do pentágono.

Breves passos de resolução:
– representa-se o plano ψ, definido pelos seus traços, a partir dos seus dados. Sendo perpendicular ao β_2,4  os traços ficam coincidentes;

– representam-se os pontos A e B a partir dos seus dados. Note que o ponto A, tendo 0 de afastamento, pertence ao traço frontal do plano e o ponto B, tendo 0 de cota, pertence ao traço horizontal do plano;
–  não sendo dado o raio, nem o centro, houve necessidade de representar o pentágono a partir somente do seu lado [AB]. O ângulo interno entre dois lados do pentágono é 108⁰, resultante de 180⁰ – 72⁰ (360⁰ : 5 = 72⁰);

– rebatem-se os pontos A e B. O ponto B fica imediatamente rebatido por pertencer à charneira de rebatimento. Rebate-se o ponto A pelo método do triângulo de rebatimento, já estudado;

– para inverter o rebatimento dos pontos C, D e E, recorreu-se ao triângulo de rebatimento, já devidamente explicado;

– representou-se o pentágono pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.

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TRIÂNGULO DE REBATIMENTO - INVERSÃO DO REBATIMENTO DE UM PONTO

Considere um plano oblíquo, cujos traços horizontal e frontal, fazem, respetivamente,  ângulos de 35⁰ e 55⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x.

Represente um ponto M(2;2), pertencente ao plano e faça o seu rebatimento, utilizando o método do “triângulo de rebatimento”.

Determine um ponto N no plano rebatido e inverta o seu rebatimento, usando o método do triângulo de rebatimento.

Breves passos de resolução da inversão do rebatimento de N:

* No plano rebatido, já com o ponto M rebatido, determina-se o ponto N rebatido (N_r);

* Para inverter o ponto N, passa-se por N_r um plano projetante ortogonal à charneira (o plano θ’, representado pelo traço horizontal h_θ’);

* Quando o plano projetante θ’ cruza com a charneira de rebatimento representa-se uma hipotenusa paralela à hipotenusa do triângulo de rebatimento de M;

* Com o compasso, transporta-se a distância da charneira a N_r até à hipotenusa, obtendo N_1r;

* A partir N_1r de traça-se paralelo à charneira a distância d e obtém-se N₁, quando cruza com o plano θ’. Esta distância d corresponde à cota do ponto N, o que permite obter N₂.

FIGURAS PLANAS III - HEXÁGONO CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO

Represente, pelas suas projeções, um hexágono regular [ABCDEF] contido num plano oblíquo δ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o traço frontal do plano δ faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– os pontos A(0;3;0) e B(–3;5;0) são vértices consecutivos da hexágono.

Breves passos de resolução:
– representam-se os pontos A e B a partir dos seus dados;
– representa-se traço horizontal do plano δ que passa necessariamente em A₁ e B₁, uma vez que são pontos de cota nula;

– representa-se traço frontal do plano δ com o ângulo indicado;
–  os pontos A e B são pontos da charneira escolhida (o traço horizontal do plano) pelo que ficam imediatamente rebatidos;

– determinam-se os restantes vértices do hexágono, C, D E e F, em verdadeira grandeza, no plano rebatido. Note que o rebatimento foi feito pelo rebatimento dos traços do plano;

– inverteu-se o rebatimento dos vértices C, D E e F, de modo a representá-los pelas suas projeções. Note que os pontos C e F pertencem a uma reta horizontal, assim como os pontos D e E pertencem a outra reta horizontal, pelo que se inverteu o rebatimento das retas horizontais (h e h’), o que facilitou a representação dos pontos pelas suas projeções;

– representou-se o hexágono pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.

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FIGURAS PLANAS III - TRIÂNGULO EQUILÁTERO CONTIDO NUM PLANO DE RAMPA

Represente, pelas suas projeções, um triângulo equilátero [ABC] contido num plano de rampa ρ.

Dados:

– os traços, horizontal e frontal, do plano de rampa têm, respetivamente, 4 de afastamento e 6 de cota;

– os pontos A e B pertencem à reta r, que faz em projeção frontal um diedro de 55⁰ (a.d.) com o eixo x;

– o ponto A tem 1 de cota e o ponto B tem 4 de cota.

Breves passos de resolução:
– representa-se o plano, definido pelos seus traços, a partir dos seus dados;
– representa-se a projeção frontal da reta r, com o ângulo indicado, em qualquer ponto do eixo x;
–  através dos traços da reta r determina-se a sua projeção horizontal;

–  a partir das cotas indicadas representam-se os pontos A e B, que pertencem à reta r;

– rebate-se o ponto F da reta e obtém-se a reta r rebatida, uma vez que o ponto H ao pertencer à charneira fica imediatamente rebatido;

– representam-se os vértices A e B no plano rebatido de determina-se o vértice C;

– para inverter o rebatimento do vértice C utilizou-se a reta s, que contem os pontos B e C. Note que para representar a reta s pelas suas projeções, só foi necessário determinar o ponto H, uma vez que o ponto B já era conhecido;

– representou-se o triângulo pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.

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FIGURAS PLANAS - QUADRADO CONTIDO NUM PLANO PASSANTE

Represente, pelas suas projeções, um quadrado [ABCD] contido num plano passante ρ.

Dados:

– o centro do quadrado é o ponto O(0;3;4);

– o ponto A é um dos vértices do quadrado, tem 3 de abcissa e 2 de afastamento.

Breves passos de resolução:
– representa-se o plano, definido pelos seus traços, coincidente com o eixo x e pelo ponto O;
– representa-se a projeção horizontal de uma reta (r), que passa por O₁ e A₁;
–  como a reta (r) é necessariamente passante, define-se, a partir da sua projeção frontal a cota de A;

– rebate-se o ponto O (podia ser o ponto A) e obtém-se a reta (r) rebatida;

– no plano rebatido, determinam-se os restantes vértices, B, C e D. Note que o vértice C pertence à mesma reta de A, o que facilita a inversão do rebatimento e a determinação das suas projeções;

– para inverter o rebatimento dos vértices B e D, utilizou-se a reta s, que contem os dois pontos e o ponto O. Dado que a reta s é passante, esta opção facilita a representação dos vértices B e D pelas suas projeções;

– representou-se o quadrado pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.


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TRIÂNGULO DE REBATIMENTO - PLANO OBLÍQUO

Considere um plano oblíquo, cujos traços horizontal e frontal, fazem, respetivamente,  ângulos de 35⁰ e 55⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x.

Represente um ponto M(2;2), pertencente ao plano e faça o seu rebatimento, utilizando o método do “triângulo de rebatimento”.

PLANOS DE RAMPA PERPENDICULARES ENTRE SI

É dado um plano de rampa ρ, cujos traços, horizontal e frontal, têm respetivamente  6 de afastamento e 4 de cota.

Determine as projeções de um plano de rampa β, perpendicular ao plano rampa ρ que contém o ponto P(6;4;3).

Notas:

* Optou-se pela 3ª projeção, onde é possível verificar a perpendicularidade entre os traços de perfil dos dois planos de rampa.

* O traço de perfil do plano de rampa β, passa em A3 e é perpendicular ao traço de perfil do plano rampa ρ.

* A vermelho está o objetivo do exercício, que simbolicamente é sublinhado desta forma.

ORTOGONALIDADE ENTRE PLANOS

CASO GERAL

É dado um plano oblíquo α, cujos traços, horizontal e frontal, fazem ângulos de 60⁰ (a.d.) e 45⁰ (a.e.) com o eixo x. É dado, ainda, um ponto P(3;3;) que se situa 1 cm à esquerda dos traços do plano no eixo x.

Averigue os planos ortogonais ao plano oblíquo α que são passíveis de representação.

1. O plano β é oblíquo e o seu traço frontal faz um ângulo de 60⁰ (a.d.) com o eixo x.

2. O plano π é oblíquo e os seus traços são coincidentes.

3. O plano ρ é de rampa.

4. O plano θ é de topo.

5. O plano δ é vertical.

QUESTÃO DE AULA 1 - 11AV2

Determine os traços do plano μ paralelo ao plano δ.

Dados

– o plano δ contém as retas fronto-horizontais a e b;

– a reta a tem 3 de afastamento e 5 de cota;

– a reta b tem 7 de afastamento e 2 de cota;

– o plano μ contém o ponto P (6; 2; 2).

Nota: a resolução foi feita com base na escolha pela 3ª projeção. Poder-se-ia ter escolhido o método de retas paralelas ou mesmo o rebatimento das retas de perfil.

QUESTÃO DE AULA 1 - 11AV1/CT2

Determine os traços do plano μ paralelo ao plano θ.

Dados

– o plano θ contém a reta h e o ponto M(1,5;0;0);

– a reta h é horizontal e contém o ponto A pertencente ao bissetor dos diedros pares, β_2/4, com 0 de abcissa e 2 de cota;

– a projeção horizontal da reta h faz um ângulo de 40⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano μ contém o ponto P(0;3;3).

PARALELISMO - PLANOS DE RAMPA PARALELOS

Considere um plano de rampa α, definido por duas retas fronto-horizontais, a e b.

A reta a tem 5 de afastamento e 3 de cota.

A reta b tem –3 de afastamento e –5 de cota.

Represente, pelos seus traços, um plano β paralelo ao plano α, que contenha o ponto P(2;4).

Optou-se pelo recurso à projeção de perfil. 

Note que:

– os traços de perfil são paralelos entre si, o que garante o paralelismo entre os dois planos;

– as projeções de perfil das retas  fronto-horizontais, a e b (a₃ e b₃) são reduzidas a um ponto.

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Perpendicularidade - Retas ortogonais/perpendiculares a planos de rampa

O plano de rampa ρ, definidos pelos seus traços, horizontal e frontal, com 4 de afastamento e 2,4 de cota.

Determine as projeções de uma reta p, perpendicular ao plano de rampa ρ e que contém o ponto P(3;4).

Processo 1 - Rebatimento

Processo 2 - 3ª projeção

LIVRO DE PREPARAÇÃO DE EXAMES DE GD A 2017

Olá a todos.

Sugiro como livro de preparação do exame de Geometria Descritiva A o seguinte:


Preparação para o Exame Final Nacional - Geometria Descritiva A - 11.º Ano
de Maria João Müller

Edição/reimpressão:10-2016

Editor:Porto Editora
Dimensões:215 x 285 x 15 mm

Encadernação: Capa mole
Páginas:384
Coleção: Preparação Para o Exame Nacional
Tipo de Produto: Livro

http://gda11esms.blogspot.pt/

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EXAME DE GEOMETRIA DESCRITIVA A - 2ª FASE DE 2016

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.  Determine os traços do plano θ, perpendicular ao plano α.

     Dados

     – o plano α é definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A(0;2;4);

         – o traço frontal do plano α contém o ponto B do eixo x, com abcissa nula, e faz um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

         – o plano θ contém o ponto P(0;4;2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

2.  Determine as projeções de um retângulo [ABCD] situado num plano oblíquo δ e no 1.º diedro.

     Dados

   – o plano δ é definido pelo ponto M do eixo x, com 4 de abcissa, e por uma reta horizontal h;
     – a reta horizontal h contém o vértice A(0;3;2) e define um ângulo de 55º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
     – o lado [AB] do retângulo mede 9 cm e o vértice B tem cota nula;
     – os lados menores do retângulo medem 6 cm.

3.   Determine as projeções de uma pirâmide oblíqua de base regular triangular [ABC] situada num plano horizontal e das suas sombras própria e projetada nos planos de projeção.

Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados

– o vértice A, com 6 de abcissa e 8 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– a aresta [AB] define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;

– o vértice B tem 2 de abcissa;

– o vértice C tem abcissa positiva;

– o vértice V da pirâmide é um ponto do eixo x com abcissa nula;

– a direção luminosa é a convencional.

4.   Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares.

Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 130° com a projeção axonométrica do eixo z;

– a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

– os dois prismas são iguais e têm 3 cm de altura;

– os prismas têm as bases paralelas ao plano coordenado xz.

Prisma 1:

– o vértice A(4;9;7) e o vértice B(10;9;7) definem uma aresta da base com maior afastamento;

– o outro vértice dessa base é o de menor cota.

Prisma 2:

– o vértice R(13;9;7) é o de maior abcissa da aresta, paralela ao eixo x, da base com maior afastamento;

– o outro vértice dessa base é o de maior cota.

EXAME DE GEOMETRIA DESCRITIVA A - 1ª FASE DE 2016

Enunciado e proposta de resolução:

1.  Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta r com o plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(5;–2;3) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;

– o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 35º, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a reta r contém o ponto P(–7;0;0);

– a projeção horizontal da reta r é perpendicular ao traço horizontal do plano α;

– a projeção frontal da reta r é paralela ao traço frontal do plano α.

Nota: o plano projetante de topo (por opção) poderia ser vertical.

2.  Determine a amplitude do ângulo definido entre os planos π e θ.

Destaque, a traço mais forte, as semirretas que definem o ângulo.

Dados

– o plano π é de perfil com –4 de abcissa;

– o plano θ é definido pela reta de maior declive d, que contém o ponto A(0;3;2);

– as projeções horizontal e frontal da reta d fazem, respetivamente, um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, e um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o eixo x.

Nota: Poder-se-ia ter optado por rabater as duas retas para o plano frontal que contivesse a reta p.

3.  Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide oblíqua de base quadrada, situada no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, a aresta invisível do sólido resultante.

Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, as projeções visíveis da secção.

Dados

– a base da pirâmide [ABCD] pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– o vértice A é um ponto do eixo x com 6 de abcissa;

– a aresta [AB] define um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção;

– o vértice B tem abcissa nula;

– a aresta lateral [AV] é de topo e o vértice V tem 8 de afastamento;

– o plano ρ está definido pelos seus traços horizontal e frontal com, respetivamente, 6 de afastamento e 7 de cota.

  

Notas: 

- optou-se pela projeção (três) de perfil, mas poder-se-ia ter resolvido o exercício pelo médoto geral de interseção de retas com planos;

- a projeção de perfil do sólido resultante surge a vemelho (que simboliza o traço mais escuro) apenas para mais fácil leitura do desenho.

4.  Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadradas.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

dimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com as projeções axonométricas dos eixos y e z.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para   cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

os dois prismas são iguais, com arestas paralelas aos eixos coordenados, e têm 2 cm de altura;

o vértice A(8;8;0) e o vértice B(8;8;7) definem a aresta de maior abcissa e de maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz;

o outro prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xz, e o vértice B é o de maior abcissa da aresta de menor cota da base de maior afastamento.

FIM

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