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terça-feira, 30 de maio de 2017
domingo, 28 de maio de 2017
QUESTÃO DE AULA 3 - 11º AV1/CT2 - 2016/2017
11º AV1/CT2:
1.
Represente, em axonometria ortogonal, uma
forma tridimensional composta por dois prismas regulares.
Destaque, no
desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
– Sistema axonométrico:
– dimetria: a projeção
axonométrica do eixo z faz um ângulo de 1250 com as projeções
dos eixos x e y.
Nota – Considere
os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado
positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente,
da direita para a esquerda.
Prisma
hexagonal:
– as bases do prisma pertencem a
planos horizontais;
– o ponto A(5;0;3) e o
ponto B(10;0;3) são os vértices da aresta de menor afastamento de uma
das bases do prisma;
– a outra base está situada no
plano coordenado xy.
Prisma
triangular:
– as bases do prisma pertencem a
planos frontais;
– o segmento [AB] é a
aresta de menor cota de uma das bases deste prisma;
– a outra base pertence ao plano
que contém a face lateral de maior afastamento do prisma hexagonal.
2.
Represente, em axonometria ortogonal, uma
forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares oblíquas de
base regular.
Destaque,
no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
– Sistema axonométrico:
– trimetria: a projeção
axonométrica do eixo x faz um ângulo de 1100 com a projeção
do eixo z e um ângulo de 1300 com a projeção do eixo y.
Nota – Considere
os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado
positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente,
da direita para a esquerda.
Pirâmides:
– o ponto A(6;0;2) e o
ponto B(6;0;8) definem uma aresta que é comum às duas bases dos sólidos;
– as bases das pirâmides estão
contidas no plano coordenado xz;
– os vértices V e V’ das
pirâmides pertencem à reta de topo que contém o vértice A;
– o vértice V tem 10 de afastamento
e o vértice V’ tem 5 de afastamento;
– o vértice V’ pertence à pirâmide que tem a
aresta de base de maior abcissa.
segunda-feira, 20 de março de 2017
TESTE 4 - 11AV2 (2016/2017)
ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:
1. Determine os traços, horizontal e frontal, de um plano β paralelo à reta r.
Dados
– a reta r contém os pontos A (5; –4; 4)
e B (1; 5; –5);
– o plano β contém os pontos C (1; 0; 0) e D (–4; 2; 4).
2. Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.
Dados
– o plano δ é vertical,
contém o ponto M do eixo x com 3 de abcissa e faz um ângulo de
600, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção;
– o plano θ é de topo,
contém o ponto N do eixo x com –3 de abcissa e faz um ângulo de
600, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção.
3. Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção
de um cone de oblíquo com base frontal, situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do cone e o contorno da sua
sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte
ocultada do contorno da sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada,
preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao
eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções
da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados
– a base do cone tem 4 cm de
raio e pertence a um plano frontal com 1 de afastamento;
– a geratriz [AV] situada mais à esquerda é de topo, com 4 de
abcissa e 6 de cota;
– a geratriz [AV] mede 8 cm;
– a direção luminosa é a convencional.
4. Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção
de um cubo, situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do cubo e o contorno da sua
sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte
ocultada do contorno da sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada,
preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao
eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções
da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados
– a face [ABCD] do cubo é
paralela ao Plano Frontal de Projeção;
– os pontos A e B são vértices consecutivos do quadrado
da face [ABCD];
– o vértice A tem abcissa
nula, 2 de afastamento e 5 de cota;
– o vértice B tem 4 de
abcissa e 3 de cota;
– a direção luminosa é a convencional.
TESTE 4 - 11AV1/CT2 (2016/2017)
ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:
1. Determine os traços, horizontal e frontal, de um plano β paralelo ao plano oblíquo α.
Dados
– o plano α é definido pela reta frontal f e pelo ponto A (0; 3; 2);
– a reta f contém o ponto B (–4; –4; 4) e
faz um ângulo de 450 (a.e.) com o Plano Horizontal de Projeção;
– os traços do plano β são concorrentes no ponto C, com 2 de abcissa.
2. Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.
Dados
– o plano δ é vertical,
contém o ponto M do eixo x com –3 de abcissa e faz um ângulo de
600, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
– o plano θ é de topo,
contém o ponto N do eixo x com 3 de abcissa e faz um ângulo de
600, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de
Projeção.
3. Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção
de um cone de revolução com base frontal, situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do cone e o contorno da sua
sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte
ocultada do contorno da sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada,
preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao
eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções
da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados
– o ponto O (0; 9; 4) é o
centro da base do cone;
– a circunferência da base é tangente ao Plano horizontal de Projeção;
– o vértice V pertence ao
Plano Frontal de Projeção;
– a direção luminosa é a convencional.
4. Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção
de um cubo, situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do cubo e o contorno da sua
sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte
ocultada do contorno da sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada,
preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao
eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções
da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados
– a face [ABCD] do cubo é
paralela ao Plano Frontal de Projeção;
– os pontos A e B são vértices consecutivos do quadrado
da face [ABCD];
– o vértice A tem abcissa
nula, 2 de afastamento e 5 de cota;
– o vértice B tem 4 de
abcissa e 3 de cota;
– a direção luminosa é a convencional.
quinta-feira, 9 de março de 2017
SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA - PRISMA TRIANGULAR RETO
Considere
um prisma triangular regular,
situado no 1º diedro, com bases contidas em plano horizontais.
Dados
– o
ponto O(0;0;5) é o centro da base [ABC], inscrita numa circunferência de
raio igual a 3 cm;
– o
vértice A é o vértice de menor
afastamento e tem abcissa nula;
– a
pirâmide tem 8 cm de altura.
Determine
a
sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a
direção luminosa convencional.
Breves passos de resolução:
– Representou-se
o prisma de acordo com os dados indicados;
– Representaram-se
as retas tangentes à base de menor cota coma direção de um raio luminoso. Note
que pelo facto de ser um prisma reto não há lugar à determinação separada da
direção das retas tangentes, uma vez que as arestas laterais são verticais;
– As
retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona
iluminada – linha separatriz luz/sombra;
– A
sombra própria, simbolizada a vermelho, observa-se apenas na projeção frontal,
na faze lateral [ABB’C’]. A base de
maior cota encontra-se iluminada, pelo que em projeção horizontal do prisma não
existe sombra própria;
– Para
representar a sombra real projetada determinou-se a sombra dos vértices B, C,
B’, C’ e D’. Note que o vértice A
tem uma “sombra inútil”, pelo que não se determina;
– A
sombra real projetada, simbolizada a verde, existe nos dois planos de projeção
pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [CC’] e [BB’]. Recorreu-se ao paralelismo da parte das sombras das arestas que
estão no mesmo plano (plano frontal).
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terça-feira, 28 de fevereiro de 2017
SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR - BASE DE PERFIL
Considere
uma pirâmide quadrangular regular,
situado no 1º diedro, com a base contida num plano de perfil.
Dados
– os pontos
A(0;0;5) e B(2,5;1) são dois vértices consecutivos da base;
– o
vértice V tem –6 de abcissa;
Determine
a
sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a
direção luminosa convencional.
Breves passos de resolução:
– Representou-se
a pirâmide de acordo com os dados indicados. Note que houve necessidade de
rebater o quadrado da base;
– No
vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto
(I) de interseção do raio luminoso
com a base;
– Uma
vez que as retas tangentes à base são de perfil, rebateu-se o ponto I pelo quadrado anteriormente rebatido
representaram-se as retas tangentes;
– As
retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona
iluminada – linha separatriz luz/sombra;
–
Determinou-se a sombra dos vértices A,
B, C e D da base e do
vértice V da pirâmide;
– A
sombra própria, simbolizada a verde, observa-se em ambas as projeções. Na projeção horizontal a sombra própria existe
na face [ADV] e na projeção frontal a
sombra própria existe na face [BCV];
– A sombra real projetada,
simbolizada a vermelho, existe nos dois planos de projeção pelo que houve
necessidade de determinar os pontos de quebra entre [AB] e [CV]. Recorreu-se
à sombra virtual de B e de V, respetivamente.
SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR
Considere
uma pirâmide quadrangular regular,
situado no 1º diedro, com a base contida num plano.
Dados
– os pontos
A(2;8;7) e C(2;8;7) são dois vértices opostos da base;
– o
vértice V pertence ao plano
horizontal de projeção.
Determine
a
sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a
direção luminosa convencional.
Exercício resolvido por Inês Araújo, do 11AV1 (2016/2017)
Breves passos de resolução:
– Representou-se
a pirâmide de acordo com os dados indicados;
– No
vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto
(I) de interseção do raio luminoso
com a base;
–
Determinaram-se as retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de
sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;
–
Determinou-se a sombra dos vértices A,
B e D da base e do vértice V
da pirâmide;
– A
sombra própria não existe em nenhuma das projeções, pois as faces sombreadas
estão invisíveis;
– A sombra real projetada,
simbolizada a vermelho, existe nos dois planos de projeção pelo que houve
necessidade de determinar os pontos de quebra entre [DV] e [BV]. Recorreu-se
à sombra virtual de V que resolve as
duas situações em simultâneo.
SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR
Considere
uma pirâmide quadrangular regular,
situado no 1º diedro, com a base contida no plano horizontal de projeção.
Dados
– o
centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(2;5;0);
– o
vértice A tem 1 de abcissa e 2 de
afastamento;
– a
altura do cone mede 8 cm.
Determine
a
sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a
direção luminosa convencional.
Breves passos de resolução:
– Representou-se
a pirâmide de acordo com os dados indicados;
– No
vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto
(I) de interseção do raio luminoso
com a base;
–
Determinaram-se as retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de
sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;
–
Determinou-se a sombra dos vértices B,
C e D da base e do vértice V
da pirâmide;
– A
sombra própria, simbolizada a vermelho mais escuro, apenas se observa na
projeção horizontal das faces [ABV]
e [ADV];
– A sombra
real projetada, simbolizada a vermelho mais claro, existe nos dois planos de
projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [DV] e [BV]. Recorreu-se à sombra virtual de V que resolve as duas situações em simultâneo.
terça-feira, 21 de fevereiro de 2017
TESTE 3 DE 2016/2017 - 11AV2
ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:
1. Determine as projeções de um quadrado regular [ABCD] situado
num plano oblíquo β.
Dados
– o ponto A(–5,5;5;3) é um
dos vértices do quadrado;
– o vértice C tem 0 de
abcissa e 2,5 de afastamento;
– a diagonal [AC] pertence
a uma reta oblíqua passante p;
– o traço horizontal hβ do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 450, com abertura para a direita.
2. Determine graficamente a amplitude do ângulo entre o plano oblíquo θ
e o plano frontal de projeção.
Dados
– o plano θ é definido pela reta d, uma reta de maior
declive que contém o ponto P(0;4;2);
– a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 350,
de abertura para a esquerda, com o eixo x e a sua projeção frontal faz
um ângulo de 450, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo.
3. Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide pentagonal regular, de
base horizontal, situada no 1º diedro e, ainda, um plano de topo θ, de
acordo com os dados abaixo apresentados.
Represente as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide
pelo plano θ e determine a verdadeira grandeza da secção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.
Dados
– o ponto A(–5;9;1,5) é um dos vértices da base [ABCDE] da pirâmide;
– o vértice V da
pirâmide tem –5 de abcissa, 5 de afastamento e 7 de cota;
– o plano de topo θ faz um ângulo de 350, de
abertura para a direita, com o plano horizontal de projeção, e contém o vértice
mais à esquerda da base da pirâmide.
4.
Represente, pelas suas projecções, o sólido resultante
da secção produzida pelo plano de topo θ num
cone de revolução, de
acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, a
traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da
base.
Preencha a tracejado a
projecção visível da secção.
Dados
– a base está contida
num plano horizontal;
– o vértice V(0;6;10)
e o ponto A(5;6;2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno
aparente frontal;
– o plano de topo θ contém
o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].
TESTE 3 DE 2016/2017 - 11AV1/CT2
ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:
1. Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] situado
num plano de rampa θ.
Dados
– o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O(0;2;5);
– a reta de perfil p do plano θ contém o ponto O e
tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;
– o vértice A do pentágono é o traço frontal da reta p.
2. Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre o plano δ e
o Plano Horizontal de Projeção.
Dados
– o plano δ está definido pelas retas r e s concorrentes
no ponto P(3;4;2);
– a reta r é paralela ao bissetor dos diedros pares, β2,4,
e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 400, de abertura para a
esquerda, com o eixo x;
– a reta s é passante e a sua projeção horizontal faz um ângulo
de 200, de abertura para a esquerda, com o eixo x.
3. Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção
produzida por um plano vertical θ numa pirâmide quadrangular oblíqua de
base regular contida num plano frontal, situada no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, a parte da pirâmide delimitada pelo
plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido
resultante.
Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.
Dados
– o ponto A(5;8;3) e o ponto B(–1;8;1) são dois dos
vértices do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;
– o vértice V pertence à mesma reta de topo que contém o ponto A
e tem zero de afastamento;
– o plano θ contém um ponto do eixo x com –4 de abcissa
e o seu traço horizontal faz um ângulo de 450, de abertura para a
esquerda, com esse eixo.
4.
Represente pelas suas projecções uma pirâmide pentagonal obliqua com base contida no plano
horizontal de projecção e, ainda,
um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine as projecções
do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.
Identifique, a traço
interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da
secção.
Dados
– a base [ABCDE]
é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O(4;5;0) e
5 cm de raio;
– a face lateral [ABV]
é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B,
da base, são os de menor afastamento;
– o vértice V da
pirâmide tem 9 de cota;
– o traço horizontal do
plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.
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