VOTOS DE BOAS FESTAS e BOAS FÉRIAS

Caros alunos desejo que tenham umas BOAS FESTAS e BOAS FÉRIAS.

Em janeiro teremos um período de implementação do projeto, para o qual conto com a colaboração da turma.

Bom descanso a todos.

Saudações,

Prof. A.Costa

TESTE SUMATIVO Nº 2 DE 12.12.2011

Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine as projeções da reta s perpendicular à reta r.

Dados:

– a reta r é definida pelo ponto A(0;11;7) e pelo seu traço frontal F com 7 cm de abcissa e 2 de cota;

– a reta s, concorrente com a reta r, contém o ponto P(0;5;2).

2.       Determine as projeções e a verdadeira grandeza (V.G.) da distância do ponto P ao plano α .

Dados:

– o plano α contém as retas h e f concorrentes no ponto A;

– o ponto A tem 2 cm de afastamento e 3 cm de cota;

– a reta h é horizontal e forma, com o plano frontal de projeção, um ângulo de 45⁰, de abertura para a direita;

– a reta f é frontal e forma, com o plano horizontal de projeção, um ângulo de 30⁰, de abertura para a esquerda;

– o ponto P tem 3 cm de afastamento e 5 cm de cota, e a sua linha de chamada coincide com a linha de chamada do traço horizontal de reta f.

3.       Desenhe as projeções de um prisma triangular regular situado no1º diedro e com as bases contidas em planos oblíquos.

Dados:

– uma das bases do prisma é o triângulo [ABC], contido no plano α que interseta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa;

– os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 60⁰ (a.d.) e 45⁰ (a.d.) com o eixo x;

– o lado [AB] do triângulo é frontal e tem 1,5 cm de afastamento;

– o vértice A pertence ao β_1/3 e o vértice B tem 5 cm de cota;

– a altura do prisma mede 6 cm.

4.       Determine as projeções do ponto I de interseção da reta de perfil r com o plano de rampa ρ.

Dados:

– o plano ρ tem o seu traço horizontal com -7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;

        – a reta r contém o ponto P(2;6;3) e é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β_2/4).

EXERCÍCIO DE DISTÂNCIAS

Determine graficamente as projeções e a verdadeira grandeza do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados:

- o plano α contém os pontos A(0;4;7) e B do β_2/4, com 4 cm de abcissa e 2 cm de cota;

- o traço frontal do plano α faz um ângulo de 60⁰(a.e.) com o eixo x;

- o ponto P pertence ao plano frontal de projeção e tem -4 cm de abcissa e 5 cm de cota.

Determinaram-se os traços do plano α;
Pelo ponto P representou-se uma reta perpendicular ao plano α;
Determinou-se o ponto I de interseção de P com α;
Usando o plano vertical existente determinou-se a V.G. recorrendo ao rebatimento do ponto I para o plano frontal de projeção (o ponto P ficava imediatamente rebatido uma vez que pertence à charneira - fα).
O rebatimento dos pontos I e P poderia ser feito por outros métodos estudados e igualmente válidos.

TESTE SUMATIVO Nº 2 ... ESTRUTURA PARCIAL

O teste sumativo nº 2 de 12/12/2011 abordará, parcialmente, os seguintes conteúdos:

• Sólido com a base contida num plano não projetante;

• Distâncias;

• Um exercício de paralelismo/perpendicularidade;

• Natal .... quem sabe uma interseção.

Resolver os exercícios de exame pode ajudar. Bom trabalho.

QUESTÃO DE AULA º 2 - PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados:

– o plano oblíquo α contém o ponto A(0;2;4);

– o traço horizontal do plano α plano faz um ângulo de 30⁰ (a.d.) com o eixo x, intersetando-o no ponto de abcissa nula;

– o ponto P tem 8 cm de afastamento e pertence à reta de topo que contém o ponto A.

Proposta de resolução:

Representa-se o ponto A e o traço horizontal do plano α.
Inclui-se o ponto A numa reta (horizontal ou frontal) do plano. Deteremina-se o traço da reta e o traço frontal do plano.
Representa-se o ponto P e por ele a reta (p) perpendicular ao plano α.
Determina-se o ponto I de interseção da reta perpendicular com o plano (método geral de interseção de retas com planos). Representa-se o segmento [IP] pelas suas projeções.
Rebate-se o segmento [IP], determinando-se a verdadeira grandeza (escolhendo-se o plano de rebatimento) da distância entre o ponto P e o plano α.

RECORDE OS REBATIMENTOS

Recorde de forma breve os rebatimentos:

Bom trabalho !!!

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA DE PERFIL

É dada uma reta P, de perfil, definida pelos pontos A(2;4;5) e B(2;3). Determine as projeções e a V.G. da distância do ponto P(-2;3;1) à reta p.

Propostas de resolução:

1) Mudança de diedro de projeção:

Representa-se a reta p (com os pontos A e B) e o ponto P.
Desenha-se um novo eixo X perpendicular à reta, que permite a mudança de diedro de projeção (optou-se por manter as cotas e alterar os afastamentos, mudando o plano 2 para 4).
A reta p foi transformada numa reta frontal, e por ela passou-se uma reta perpendicular em I e a passar em P. A representação das projeções do ponto I nos planos de projeção originais permite desenhar as projeções do segmento [IP], que representa a distância pretendida.
Efetuou-se o rebatimento do segmento para o plano horizontal que contém o ponto P (por opção), determinando-se assim a V.G. da distância entre o ponto P e a reta de perfil p.

2) Rebatimento

Representa-se a reta p (com os pontos A e B) e o ponto P.
Incluiu-se a reta p num plano de perfil e efetuou-se o seu rebatimento. Rebateu-se também um ponto P' com as mesmas coordenadas de P (com abcissa diferente, mas pertencente à mesma reta fronto-horizontal).
A reta p rebatida é perpendicular à reta i (de interseção do plano de perfil com o de rampa que contém o ponto P e é ortogonal à reta p) no ponto I.
O contra-rebatimento do ponto I permitiu desenhar de imediato o segmento [IP].
Efetuou-se o rebatimento do segmento [IP] para o plano horizontal que contém o ponto P (por opção), determinando-se assim a V.G. da distância entre o ponto P e a reta de perfil p.

QUESTÃO DE AULA Nº 2

Caros alunos, na próxima 2ª feira, 28 de novembro de 2011, será concretizada a questão de aula nº 2. Os conteúdos a avaliar são relacionados com as distâncias, dentro do capítulo dos problemas métricos.

Espero que façam muitos exercícios de modo a obterem bons resultados neste momento avaliativo.

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO DE RAMPA

Determine as projeções e a V.G. (Verdadeira Grandeza) da distância do ponto A(1;5) ao plano de rampa ρ.
Os traços, horizontal e frontal, do plano de rampa têm respetivamente 3 de afastamento e -4 cm de cota.
Proposta de resolução:

Representou-se o plano de rampa pelos seus traços e o ponto A pelas suas projeções.
Pelo ponto A desenhou-se uma reta (p) perpendicular ao plano ρ.
Determinou-se a interseção da reta p com o plano ρ (método geral de interseção de retas com planos). 
A reta p é perpendicular à reta i (reta de interseção do plano de rampa com o plano de perfil) no ponto I e é visível em rebatimento.  Entre Ir e Ar está a V.G. da distância de A ao plano de rampa ρ. Para representar as projeções do do segmento [AI] efetuou-se o contra-rebatimento de I para desenhar as suas projeções.

EXERCÍCIO DE DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO OBLÍQUO

Determine as projeções e a V.G da distância do ponto A(4;5) ao plano oblíquo α. Os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 45⁰ (a.e.) e 60⁰ (a.e.). O plano cruza o eixo x 1 cm à esquerda do ponto A.

Proposta de resolução:

 

Representa-se o plano  pelos seus traços e o ponto A em função dos dados.
No ponto A representa-se uma reta (p) ortogonal ao plano α.
Determina-se o ponto I de interseção da reta p com o plano α, pelos método geral de interseção de retas com planos.

O segmento [IA] corresponde à distância entre A e o plano oblíquo α. Porém sendo oblíquo não se encontra em V.G., pelo que é necessário efetuar o seus rebatimento por um dos métodos estudados, encontrando-se assim a V.G. da distância.
Note que o rebatimento do segmento [IA] poderia ser feita por outro processo.

QUESTÃO DE AULA Nº 1 E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo δ perpendicular ao plano α.

Dados:

– os traços horizontal e frontal, do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ (a.d.) e 45⁰ (a.d.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com 6 cm de abcissa;

– o plano δ contém a reta frontal f;

– a reta f contém  ponto P(-2;2;4) e faz um ângulo de 60⁰  (a.d.) com o plano horizontal de projeção.

Proposta de resolução:

Representa-se o plano α pelos seus traços.

Representa-se a reta frontal f que passa em P e o seu traço horizontal.

Pelo ponto P representa-se uma reta (p) perpendicular ao plano α e determinam-se os seus traços.

Com os traços das retas representa-se o plano δ pelos seus traços.

Repare que a reta p é ortogonal ao plano α e pertence ao plano α, pelo que os planos são ortogonais.

PERPENDICULARIDADE ... DESAFIO e RESOLUÇÃO

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α perpendicular ao plano vertical β.

Dados:

- o plano β faz um diedro de 40⁰ (a.e.) com o plano frontal de projeção e interseta o eixo x num ponto com -4 de abcissa;

- o plano α contém a reta r, pertencente ao β_2/4 e definida pelos pontos R(4;0;0) e S, com 2 cm de abcissa e 3 cm de cota.

Proposta de resolução:

A reta r pertence do β_2/4 pois tem as projeções coincidentes e contém os pontos R e S (do β_2/4).

A reta h, horizontal, passa em S e é ortogonal ao plano β  e permite representar os traços do plano oblíquo α.

Bom trabalho e muito estudo !!!

QUESTÃO DE AULA Nº 1

A questão de aula nº 1 fica marcada para 2ª feira, 14/11/2011 e inclui os conteúdos "paralelismo" e/ou "perpendicularidade".

Bom trabalho a todos.

O apoio de GD A é à 4ª feira às 14.35 horas na sala D1D1.

PARALELISMO ... DESAFIO

Determine os traços, horizontal e frontal, de um plano oblíquo α paralelo à recta r. 

Dados:

– a recta r contém os pontos A(5;-4;4) e B(1;5;-5);;

– o plano α contém os pontos C(-1;0;0) e D(-4;2;4).

Proposta de resolução:

A reta r contém os pontos A e B (pertence ao β_2/4).

A reta s passa no ponto D e é paralela a r (logo paralela ao β_2/4).
Determinados os traços da reta s e a passar em C (ponto do eixo x) representam-se os traços do plano α. 
Repare que s é paralela a r e pertence a α, logo α é paralelo a r.

TESTE SUMATIVO DE GD_A DE 31.10.2011

Cotações:

1.    50 pts.
2.     50 pts.
3.     50 pts.
4.    50 pts. 

Total       200 pts. 

Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine as projeções da reta de interseção, i, do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ.

Dados:

– o plano δ está definido por uma reta de maior declive, d;

– a reta d contém o ponto P(–2; 3; 4);

– as projeções, horizontal e frontal, da reta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, e de 50⁰, de abertura para a direita, respetivamente;

      – os traços horizontal e frontal do plano ρ têm –5 de afastamento e 7 de cota, respetivamente.

2.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados:

– a base [ABCD] está contida num plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 cm de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A(1;8) e C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 12 cm de altura.

3.       Desenhe as projeções de um cubo situado no1º diedro.

Dados:

– a face [ABCD] do sólido está contida num plano passante ρ;

– o centro dessa base é o ponto O(4; 6; 3);

– o vértice A tem 1 cm de abcissa e 4,5 cm de afastamento.

4.       Desenhe as projeções do pentágono regular [ABCDE], contido no plano oblíquo α.

Dados:

– o plano α é perpendicular ao β_1/3 e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o pentágono está inscrito numa circunferência com 3 cm de raio, cujo centro é o ponto O(3;3;4);

– o lado de menor cota da figura é horizontal.

MATERIAIS DE APOIO A GD A

Caros alunos, conforme combinado indico abaixo dois livros de apoio a GD A. Relembro que não existe nenhum caráter obrigatório na sua aquisição.

Preparação para o Exame Nacional 2012 - Geometria Descritiva A - 11.º Ano

de Maria João Müller

Guia de Estudo - Geometria Descritiva A - 11.º ano
de Maria João Müller

Relembro que o blogue continua a ser um suporte fundamental no complemento ao ensino presencial.

Bom trabalho a todos.

EXERCÍCIOS ... DESAFIOS

   

    Desenhe as projecções da recta i, de intersecção do plano oblíquo α com o plano de rampa ρ.

Dados:

– o plano oblíquo α é ortogonal ao β_1,3, intersecta o eixo x num ponto de abcissa nula e o seu traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45⁰ de abertura para a esquerda;

– o plano ρ é definido pelas rectas fronto-horizontais a e b;

– a recta a tem 2 cm de afastamento e 4 cm de cota;

– a recta b contém o ponto B(-5;4;3).

      Desenhe as projecções de uma pirâmide quadrangular regular situada no 1º diedro.

Dados:

– o quadrado [ABCD] da base está contido no plano oblíquo α;

– o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 50⁰ (a.d.) com o eixo x, intersectando-o num ponto com 2 cm de abcissa;

– a lado [AB] do quadrado pertence ao plano horizontal de projecção e o vértice A tem abcissa nula;

– o vértice D, extremo do lado [AD], pertence ao plano frontal de projecção;

– os lados do quadrado medem 6 cm;

– a altura da pirâmide mede 8 cm.

Solução:

Represente pelas suas projeções, horizontal e frontal, o quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo β.

Dados:

– o ponto A(-5,5;5;3) é um dos vértices do quadrado;

– o vértice C tem 0 de abcissa e 2,5 de afastamento;

  – a diagonal [AC] pertence a uma reta oblíqua passante;

  – o traço horizontal h_β do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 45⁰, com abertura para a direita.

TESTE SUMATIVO DE 24/10/2011

Alguns dos conteúdos a abordar no teste de GDA de 24/10/2011:

• Interseções (entre planos e/ou entre retas e planos)
• Figuras planas contidas em planos não projetantes
• Sólidos com bases contidas em planos não projetantes

Bom  trabalho.

Agradeço que quem abrir o blogue deixe a mensagem (nome pelo menos) conforme combinado. Sem falta por favor.
Se alguém quiser usar este espaço para colocar dúvidas pode fazê-lo. Tentarei ver em tempo útil.

Não esquecer de efetuar o registo como SEGUIDOR do blogue.

SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS NÃO PROJETANTES

Depois de sabida, espero que com sucesso, a representação de figuras planas em planos oblíquos, de rampa e/ou passantes, é altura de representar sólidos com bases assentes nos mesmos planos.

Plano oblíquo:

Considerremos os pontos A(4;0) e B(0;3) contidos num plano oblíquo α e que são dois vértices de um quadrado [ABCD]. O traço frontal do plano faz um diedro de 45⁰(a.e.) e o traço horizontal faz um diedro de 60⁰(a.e.).

Considerando que o quadrado [ABCD] é a base de uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro,com 6 cm de altura, represente as projeções do sólido.

Passos resumidos:

. Representado o plano e os pontos A e B, estes são rebatidos de forma a permitir a determinação do quadrado da base (a charneira de rebatimento escolhida é o traço horizontal);

- O contra-rebatimento dos pontos C e D permitem representar o quadrado [ABCD] pelas suas projeções;

- Em V.G ou nas projeções do quadrado determina-se o centro da base (esta situação é permitida dado que as diagonais podem determinar-se sem ser em VG). Pelo centro da base passamos uma reta ortogonal ao plano (reta p);

- Uma vez que a reta p é oblíqua é necessário efetuar o seu rebatimento através de uma plano projetante (foi escolhido um plano de topo). A reta rebatida permite marcar o eixo da pirâmide em VG entre o centro O e o vértice V do sólido;

- O contra-rebatimento do ponto V permite desenhar as suas projeções, o que  possibilita representar a pirâmide (objetivo do exercício). Devemos atender às invisibilidades de acordo com os conhecimentos anteriormente adquiridos.

DESAFIO AOS ALUNOS DO 11 AV1

Determine as projecções do triângulo [LMN].
Dados
– o triângulo está situado no 1.º diedro;
– o ponto L (4; 2; 4) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;
– o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50º com o plano horizontal de projecção;
– o lado [LN] mede 8 cm;
– o ponto N é o vértice de menor cota.

Bom trabalho. E muita dedicação, que vai ser preciso.

Métodos Geométricos Auxiliares - REBATIMENTO DO PLANO DE RAMPA

O rebatimento do plano de rampa será feito através de:

- Triângulo de rebatimento, usando como charneira de rebatimento um dos traços do plano (horizontal ou frontal). A opção deverá ter em conta as coordenadas dos pontos de modo a evitar alguns traços e a simplificar a execução gráfica dos exercícios. Os triângulos de rebatimento (um por cada ponto) serão semelhantes, onde os catetos serão paralelos entre si e as hipotenusas também;


- Rebatimento do plano através do rebatimento dos seus traços. Devermos escolher uma charneira de rebatimento, que será um dos traços e que fica imediatamente rebatido. A seguir rebate-se o outro traço e teremos a V.G. onde resolveremos o exercício de forma a criar condições para o contra-rebatimento e as projeções da figura plana a representar em cada exercício.

INÍCIO DO PROJETO

Caros alunos do 11AV1, neste ano letivo de 2011/2012 concretizaremos o estudo formal sobre a utilização do blogue no ensino de Geometria Descritiva A.

Conto convosco e para isso já obtive a aprovação unânime dos pais/encarregados de educação presentes na reunião com a Diretora de Turma.

Ao trabalho "meus Senhores". A tarefa é árdua.

Exame de GD A - 2ª fase de 2011

1. Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ.

Dados

−− o plano δ está definido por uma recta de maior declive, d;

−− a recta d contém o ponto P (–2; 3; 4);

−− as projecções, horizontal e frontal, da recta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30º, de abertura para a

esquerda, e de 50º, de abertura para a direita, respectivamente;

−− os traços horizontal e frontal do plano ρ têm –5 de afastamento e 7 de cota, respectivamente.

2. Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.
Dados
−− o ponto P pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3), tem 6 de abcissa e 8 de afastamento;
−− o plano α é definido pelo ponto A (–1; 4; 2) e pela recta r;
−− a recta r contém o ponto M (6; –6; 9);
−− o ponto F, traço frontal da recta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.

3. Determine a sombra própria e a sombra real nos planos de projecção, de um cilindro oblíquo de bases
circulares, situado no 1.º diedro.
Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projecção, quer as projecções do
cilindro.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da
sua sombra projectada nos planos de projecção.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma
mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com
linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.
Dados
−− o cilindro tem bases frontais cujo raio mede 4,5 cm;
−− o ponto O (0; 0; 8) é o centro de uma das bases;
−− o ponto O’, centro da outra base, tem 4,5 de cota;
−− o eixo do cilindro é de perfil e faz um ângulo de 70º com o plano frontal de projecção;
−− a direcção luminosa é a convencional.

4. Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por uma
pirâmide hexagonal regular e um cubo.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
−− trimetria: a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 140º e de 100º com as projecções dos
eixos x e z, respectivamente.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para
cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Sólidos:
−− têm um eixo comum contido numa recta vertical.
Pirâmide hexagonal regular:
−− o ponto C (5,5; 5,5; 6) é o centro da base;
−− duas arestas da base são paralelas ao eixo x;
−− um vértice da base pertence ao plano coordenado de perfil yz;
−− o vértice da pirâmide pertence ao plano coordenado horizontal xy.
Cubo:
−− as faces estão contidas em planos paralelos aos planos coordenados;
−− a face de menor cota pertence ao plano da base da pirâmide;
−− as arestas medem 2 cm.