TETRAEDRO COM UMA FACE ASSENTE NUM PLANO OBLÍQUO

Represente um tetraedro pela suas projeções, assente num plano oblíquo e contido no 1º diedro.
Dados
- O triângulo equilátero [ABC] é uma das faces do sólido e está contido num plano oblíquo α;
- O plano α é ortogonal ao β_1,3 e o seu traço frontal faz um diedro de 45⁰ com o eixo x;
- O triângulo [ABC] inscreve-se numa circunferência de raio igual a 4 cm, que é tangente aos dois planos de projeção;
- O lado [AB]é horizontal e o vértice C tem cota nula.

Proposta de resolução:

Passos de resolução:

* Representa-se o plano pelos seus traços. O ângulo é igual nos dois planos de porjeção, uma vez que é ortogonal ao β_1,3;
* Rebatem-se os traços do plano. Note que o traço horizontal foi escolhido para charneira, pelo que fica imediatamente rebatido. O rebataimento do traço frontal foi feito com recurso a um ponto qualquer (ponto F) do traço frontal;
* Determinou-se a bissetriz e sobre ela marcou-se (perpendicular so traços) o raio de 4cm, descobrindo o centro O;
* Uma vez que o ponto C tem cota nula pertence ao traço horizontal, pelo que a perpendicular ao traço horizontal que passa no centro O dá Cr (coincidente com C1 e C2 fica no eixo x);
* Os pontos B e C (com a mesma cota) determinaram-se e fez-se em seguida o contra rebatimento dos mesmos pontos, bem como do centro O, determinando as suas projeções,
* A partir de O fez-se uma reta perpendicular ao plano (reta p) e rebateu-se a reta através de um plano vertical. Note que o plano vertical contém o vértice C, pelo que permitiu o (segundo) rebatimento deste vértice;
* A partir de Cr marcou-se a V.G. das arestas do tetraedro (na imagem tal como os lados do triângulo equilátero da base contida no plano oblíquo) e determinou-se o 4º vértice do sólido - vértice D;
* Através do rebatimento do ponto D este ficou representado pelas suas projeções e permitiu a representação do sólido, atendendo às suas invisibilidades (a face [ABC] fica invisível nas duas projeções).

PRISMA COM BASES CONTIDAS EM PLANOS OBLÍQUOS

Represente, pelas suas projeções, um prisma triangular regular com bases contidas em planos oblíquos e situado no 1º diedro.
Dados

- O plano oblíquo interseta o eixo x num ponto K com -3 cm de abcissa;

- Os traços, horizontal e frontal, do plano oblíquo fazem, respetivamente, ângulos de 60⁰ e 45⁰ como eixo X;

- Os pontos A(-1;0;3) e B(1;3;0) são dois vértices do triângulo da base de menor cota [ABC] do prisma;

- O prims mede 8 cm de altura.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

- Representação dos pontos A, B e K, e do plano oblíquo pelos seus traços. Note que  A tem afastamento pelo que pertence a f_α e B tem cota nula pelo que pertence a h_α; 

- Definimos o traço horizontal (h_α), pelo que B, que pertence à charneira fica de imediato rebatido (B1≡Br);

- Através do triângulo de rebatimento rebatemos o ponto A e representámos em seguida o triângulo em VG.;

- Através do triângulo de rebatimento representámos o ponto C pelas suas projeções;

- Efetuámos em seguida a representação da aresta da pirâmide [CC'] (reta p), que podia ter sido uma das outras duas arestas, perpendicular ao plano. Assim p₁ é perpendicular a h_α e p₂ é perpendicular a f_α;

- Rebatemos o eixo através de uma plano projetante vertical θ (podia ser de topo);

- A partir de Cr determinámos C'r (vértice da outra base do sólido) com a medida de 8 cm (altura do prisma);

- Efetuámos o contra rebatimento de C' e representámos as suas projeções;

- Representámos o sólido pelas suas projeções. Note que o vértice A é invisível em projeção frontal e o vértice B é invisível em projeção horizontal.

PIRÂMIDE REGULAR COM BASE CONTIDA NUM PLANO OBLÍQUO

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular com base contida num plano oblíquo e situada no 1º diedro.
Dados

- Os traços, horizontal e frontal, do plano oblíquo fazem, respetivamente, ângulos de 60⁰ e 45⁰ como eixo x;

- Os pontos A(4;0) e B(0;3) são dois vértices do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;

- A pirâmide mede 7 cm de altura.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

- Representação do plano oblíquo pelos seus traços;

- Representação dos pontos A e B. Note que A tem cota nula pelo que pertence a h_α e B tem afastamento nulo pelo que pertence a f_α;

- Definimos o traço horizontal (h_α), pelo que A, que pertence à charneira fica de imediato rebatido (A1≡Ar);

- Através do triângulo de rebatimento rebatemos o ponto B e representámos em seguida o quadrado em VG;

- Através do triângulo de rebatimento representámos os pontos C e D pelas suas projeções;

- Determinámos o centro do quadrado (ponto O) a partir das diagonais do quadrado nas suas projeções. Note que se a base fosse, por exemplo, triangular havia necessidade de determinar o centro da base na VG;

- Efetuámos em seguida a representação do eixo da pirâmide (reta p), perpendicular ao plano. Assim p₁ é perpendicular a h_α e p₂ é perpendicular a f_α;

- Rebatemos o eixo através de uma plano projetante de topo θ (podia ser vertical);

- A partir de Or determinámos Vr (vértice do sólido) com a medida de 7 cm (altura da pirâmide);

- Efetuámos o contra rebatimento de V e representámos as suas projeções;

- Representámos o sólido pelas suas projeções. Note que o vértice B é invisível em projeção frontal e o vértice A é invisível em projeção horizontal.

QUADRADO CONTIDO NUM PLANO PASSANTE

Desenhe as projeções de um quadrado [ABCD] contido no plano passante ρ.

Dados

-  o centro do quadrado é o ponto O(0;3;4);

- o vértice A tem 3 cm de abcissa e 2 cm de afastamento.

Proposta de resolução:

Passos de resolução:

*  Representou-se o plano, que tem os traços coincidentes com o eixo x, e o ponto O;

* Por O1 e por A1 fizemos passar a projeção horizontal de uma reta passante (reta r), que nos permitiu determinar a sua projeção frontal e, por consequência, a projeção frontal de A;

* Rebatemos o ponto O (optámos pelo triângulo de rebatimento) e com ele determinamos o rebatimento da reta r (que cruza o eixo x onde é passante e passa em Or). Determinou-se Ar, que pertence à reta r rebatida;

* Com centro em Or e abertura até Ar representamos a circunferência que contém o quadrado, o que nos dá de imediato o ponto C (da diagonal [AC]) rebatido;

* A mediatriz de [AC] dá a outra diagonal do quadrado, que nos permite localizar de imediato B e D rebatidos;

* O ponto C foi levado diretamente, na perpendicular à charneira, para a reta r, que suporta a diagonal [AC];

* A reta passante s, que contém B, O e D, permite-nos fazer as projeções dos pontos B e D;

* Representou-se o quadrado pelas suas projeções. Note que as projeções surgem a vermelho devem ser representadas num traço mais escuro que as destaque do restante desenho.

QUADRADO CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO

Desenhe as projeções de um quadrado [ABCD] contido no plano oblíquo α.

Dados

- o traço frontal do plano α interseta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz, com esse eixo, um ângulo de 60⁰ (a.d.);

-  o quadrado está inscrito numa circunferência com centro no ponto O(-2;4;3);

- a circunferência é tangente ao traço horizontal do plano α;

- o vértice A tem cota nula.

Proposta de resolução:

Passos de resolução:

* Representa-se o traço fronatl do plano α e o ponto O;

* Através de uma reta (horizontal ou frontal) do plano que contenha o ponto O determina-se o traço horizontal do plano α;

* Rebate-se o ponto O (optamos pelo triângulo de rebatimento) e com centro nesse ponto e abertura até ao traço horizontal do plano α representou-se a circunferência que circunscreve o quadrado;

* O ponto A pertence tem cota nula pelo que está contido no traço horizontal do plano α;

* Representou-se o quadrado em VG;

* Efetuou-se o 'contra-rebatimento' do ponto C;

* As projeções dos pontos B e D determinam-se diretamente, através de um plano perpendicular à charneira, uma vez que pertencem à reta horizontal que contém o ponto O ( a reta que contém O é o lugar geométrico do plano que tem 3 cm de cota);

* Representou-se o quadrado pelas suas projeções. Note que as projeções surgem a vermelho devem ser representadas num traço mais escuro que as destaque do restante desenho.

 

QUESTÃO DE AULA N 1 - 2013-2014

11 AV1/11 CT1

Represente pelas suas projeções o triângulo isósceles [ABC] situado no 1º diedro.

Dados

– o triângulo está contido num plano oblíquo α cujos traços, horizontal e frontal, são concorrentes num ponto com –5,5 cm de abcissa;

– A(0;1;3) e B, com 3 de abcissa e 5 de afastamento e que pertence ao traço horizontal do plano α, são dois vértices do triângulo;

– os lados [AC] e [BC] do triângulo medem 7 cm.

Proposta de resolução:

11 AV2

Desenhe as projeções do retângulo [ABCD], situado no 1º diedro e contido no plano de rampa ρ.

Dados:

– o traço horizontal do plano de ρ tem 6 cm de afastamento e o traço frontal tem 4 cm de cota;

– o vértice A pertence ao traço frontal do plano ρ e tem abcissa nula;

– a diagonal [AC] do retângulo faz um ângulo de 65⁰ com o traço frontal do plano e o vértice C tem cota nula e situa-se à direita de A;

– a diagonal [BD] da figura é paralela ao eixo x.

Proposta de resolução: