SECÇÕES - CONE DE REVOLUÇÃO - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro e com a base contida num plano horizontal.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(–3;3,5;2) e o raio mede 3,5 cm;

– a altura do cone mede 7 cm.

Determine o as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida na pirâmide por um de topo, que corta o eixo x num ponto com 2 de abcissa e faz um ângulo de 40⁰ (a.e.).

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se o cone em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida pelo plano secante na base e o ponto do contorno aparente frontal;

– é necessário determinar (pelo menos) mais quatro pontos da secção. Optou-se pelo “método das geratrizes”, que permitiu a determinação dos quatro pontos em falta;

– efetuou-se o rebatimento dos sete pontos  da figura da secção, de modo a determinar a verdadeira grandeza da figura da secção;
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÕES - CILINDRO DE REVOLUÇÃO - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere um cilindro de revolução, situado no 1º diedro.

Dados

– uma das bases do cilindro está contida no Plano Horizontal de Projeção e o seu centro é o ponto O(–3;4;0);

– o raio das bases mede 2,5 cm;

– a altura do sólido mede 7 cm.

Determine o as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida no cilindro por um de topo, que faz um ângulo de 40⁰ (a.d.) e contém o ponto P com 3 de cota, pertencente ao eixo do cilindro.

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se o cilindro em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se 8 os pontos da figura da secção produzida pelo plano secante, que permitem efetuar o seu rebatimento de modo a determinar graficamente a verdadeira grandeza (V.G.). Note que em projeção horizontal a figura da secção é um círculo e em V.G. é uma elipse;
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE REGULAR - PLANO SECANTE: DE TOPO

Considere uma pirâmide hexagonal regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida num Plano frontal, é o hexágono regular [ABCDEF];

– o centro da base é o ponto O(1;2;4) e o ponto A(4;2;4) é um vértice do hexágono da base;

– a pirâmide tem 7 cm de altura.

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção, produzida na pirâmide por um plano de topo θ, com 5 de abcissa e que faz um ângulo de 55⁰ (a.e.).

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se a pirâmide em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida. Existem 2 pontos (K e L) que pertencem às arestas laterais da pirâmide e 2 pontos (J e M) que pertencem à base. Note que devido ao facto de o plano ser projetante os pontos são diretamente determinados;
– Rebatem-se os pontos da figura da secção para determinar a sua verdadeira grandeza (V.G.);
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE REGULAR - PLANO SECANTE: VERTICAL

Considere uma pirâmide hexagonal regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida num Plano frontal, é o hexágono regular [ABCDEF];

– o centro da base é o ponto O(1;2;4) e o ponto A(4;2;4) é um vértice do hexágono da base;

– a pirâmide tem 7 cm de altura.

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção, produzida na pirâmide por um plano vertical θ, com –3 de abcissa e que faz um ângulo de 45⁰ (a.e.). 

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se a pirâmide em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante vertical, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida. Existem 5 pontos (A’, B’, C‘, E’ e F’) que pertencem às arestas laterais da pirâmide e 2 pontos (M e N) que pertencem à base. Note que devido ao facto de o plano ser projetante os pontos são diretamente determinados;
– Rebatem-se os pontos da figura da secção para determinar a sua verdadeira grandeza (V.G.);
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE OBLÍQUA - PLANO SECANTE: FRONTAL

Considere uma pirâmide hexagonal oblíqua, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida no Plano frontal de Projeção, é o hexágono regular [ABCDEF];

– o centro da base é o ponto O(1;0;4) e o ponto A(4;0;4) é um vértice do hexágono da base;

– o vértice da pirâmide é o ponto V(–3;7;5).

Determine o sólido resultante da secção produzida na pirâmide por um plano frontal ϑ, com 3 de afastamento, considerando a parte do sólido compreendida entre o plano secante e a base.

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se a pirâmide em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante frontal, com 3 de afastamento;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida, que pertencem às arestas laterais da pirâmide. Note que devido ao facto de o plano ser projetante os pontos são diretamente determinados;
– Rebatem-se os pontos da figura da secção para determinar a sua verdadeira grandeza (V.G.);
– Sublinha-se o sólido resultante (na imagem a vermelho). 

QUESTÃO DE AULA Nº 2 - 2015/2016

11AV2

Determine a amplitude do ângulo entre as direções das retas a e b.

Dados

– a reta a contém o ponto P(2;6;3);

– as projeções horizontal e frontal da reta a fazem ângulos de 60⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a reta b é horizontal, contém o ponto S(–6;5;2) e forma um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

11AV1/CT2 - Versão A

Determine a amplitude do ângulo entre o Plano Frontal de Projeção e o plano oblíquo ω.

Dados

– o plano ω é definido pelo ponto A(–4;6;5) e por uma reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto B(0;4;2) e forma um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção.

11AV1/CT2 - Versão A

Determine a amplitude do ângulo entre o Plano Horizontal de Projeção e o plano oblíquo ω.

Dados

– o plano ω é definido pelo ponto A(–4;6;5) e por uma reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto B(0;4;2) e forma um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção.

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ÂNGULO ENTRE UMA RETA E UM PLANO – MÉTODO DO ÂNGULO COMPLEMENTAR

Determine a verdadeira grandeza do ângulo entre um plano oblíquo α e uma reta oblíqua r.

Dados

– O traço frontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 40⁰ (a.d.) e o traço horizontal faz um ângulo de 35⁰ (a.d.);

 – A projeção frontal da reta r faz um ângulo de 25⁰ (a.e.) e o traço horizontal (H) situa-se 12 cm à direita do plano α;

– A projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 30⁰ (a.e.) e o traço frontal (F) situa-se 1 cm à esquerda do traço horizontal (H). 

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representam-se a reta r e o plano oblíquo α em função dos seus dados;

– Num ponto aleatório da reta r (ponto P no exercício) representou-se uma reta p, perpendicular ao plano; 

– Rebateram-se as duas retas, r e p, segundo a charneira escolhida, que é o plano horizontal β de cota aleatória;
– O ângulo determinado é posteriormente subtraído a 90⁰ de modo a determinar o ângulo α, na imagem representado a vermelho.

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ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS (ENVIESADAS)

Determine a verdadeira grandeza do ângulo entre duas retas oblíquas, m e n.

Dados

– A reta m contém o ponto A(4;4;2) e o seu traço frontal tem 0 de abcissa e 4 de cota;

 – A reta n é paralela ao β_2,4, o seu traço horizontal tem –3 de abcissa e 4 de afastamento;

– A projeção horizontal da reta n faz um ângulo de 60⁰ (a.d.) com o eixo x.

Proposta de resolução

Breves passos de resolução

– Representa-se uma reta n’ paralela à reta n e concorrente com a reta m. Poder-se-ia ter optado por uma reta paralela à reta m e concorrente com a reta n;

– Rebateram-se as duas retas para o plano horizontal de projeção, cuja charneira (escolhida) foi o traço horizontal do plano definido pelas duas retas m e n’;
– O ângulo surge na imagem representado a vermelho.

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TESTE SUMATIVO Nº 2 - 11AV1/CT2 - 2015/2016

1.       Determine os traços do plano μ paralelo ao plano δ.

Dados

– o plano δ contém as retas fronto-horizontais a e b;

– a reta a tem 3 de afastamento e 8 de cota;

– a reta b pertence ao bissetor dos diedros pares, β_2/4, e tem 4 de cota;

– o plano μ contém o ponto P(6;5;6). 

2. Determine, graficamente, as projeções e a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, α e β.

 Dados

– o traço frontal do plano α interseta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;

– o plano β contém os pontos M(6;2;3) e N(10;7;–3). 

3.       Represente pelas suas projeções o triangulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo α.

Dados

– o ponto A(5;1;8) é um dos vértices do triângulo;

– o lado [BC] pertence à reta s;

– o ponto F, traço frontal da reta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;

– as projeções, horizontal e frontal, da reta s fazem, ambas, ângulos de 30⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm. 

4.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base triangular [ABC] situada num plano de rampa ω.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados

–  A(5;3;6) é um vértice da base;

– o traço horizontal do plano ω tem 9 de afastamento;

– o vértice B tem 3 de abcissa e 8 de afastamento;

– o vértice C tem abcissa negativa;

– o vértice V do sólido pertence ao Plano Horizontal de Projeção.

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TESTE SUMATIVO Nº 2 - 11 AV2 -2015/2016

1.       Determine as projeções da reta b paralela ao plano oblíquo δ.

Dados

– a reta  b contém o ponto P(–7;7;–2);

– a projeção horizontal da reta b faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano δ está definido pelos pontos R(3;6;3), S(0;6;5) e T(–3;1;5).

2.       Determine, graficamente, as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados

– o ponto P pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β_1,3), tem 2 de abcissa e 8 de afastamento;

– o plano α contém o ponto A(2;2;2) e corta o eixo x no ponto com 9 de abcissa;

– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a direita, com o eixo x.

  

3.       Represente o quadrado [ABCD], situado no 1º diedro.

Dados

– o quadrado está contido num plano de rampa ρ.

– os pontos A(1;1;7) e C(–1;4;2) definem uma das diagonais do quadrado.

4.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados

– a base [ABCD] está contida num plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A(1;6) e C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 10 cm de altura.

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DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO DE RAMPA

Determine as projeções e a verdadeira grande da distância entre o ponto P e o plano de rampa ρ.

Dados

– o ponto P pertence ao β_1/3 e tem 4 de cota;

– o plano de rampa tem 2,5 de afastamento e 6 de cota.

Breves passos de resolução:
– Representaram-se o ponto P e o plano ρ partir dos seus dados;
– representa-se, pelo ponto P, uma reta qualquer perpendicular p ao plano, que é necessariamente uma reta de perfil;

– a reta p é de perfil, pelo que é necessário efetuar o seu rebatimento. Para isso inclui-se a reta p num plano de perfil. A reta p, passa em P e é perpendicular a todas as retas do plano de rampa que passam em P, pelo que se rebateu a reta i de interseção dos dois planos (rampa e perfil), o que permitiu representar a reta p rebatida perpendicular à reta i, no ponto P;

– com a duas retas rebatidas determinou-se o ponto I de interseção das duas retas (i e p) em verdadeira grandeza, o que dá de imediato a V.G. da distância. Note que a distância entre P e I é e distância entre P e o plano de rampa ρ;

– inverte-se o rebatimento do segmento [PI] e determinam-se as suas projeções;

– sublinharam-se a um tom mais escuro (na imagem a vermelho) as projeções e a V.G. da distância entre os o ponto P e o plano.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS

Determine as projeções e a verdadeira grande da distância entre dois planos oblíquos paralelos α e β.

Dados

– o plano α situa-se 5 cm à esquerda do plano β;

– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 55⁰ (a.d.);

– o traço horizontal do plano β faz um ângulo de 45⁰ (a.d.).

Breves passos de resolução:
– Representaram-se os planos oblíquos paralelos α e β partir dos seus dados. Note que os traços frontais são paralelos entre si, tal como os traços horizontais;
– representa-se uma reta qualquer perpendicular p aos dois planos (p1 fica perpendicular as traços horizontais e p2 fica perpendicular aos traços frontais), numa localização aleatória;

– determina-se o ponto I de interseção da reta p o com o oblíquo α. Repete-se o raciocínio em reação ao plano β e determina-se o ponto I’;

– uma vez que o segmento [II’] é oblíquo efetuou-se o seu rebatimento através do plano vertical que contém a reta e determinou-se a sua V.G. (verdadeira grandeza). Existiam diversas opções para rebater o segmento;

– sublinharam-se a um tom mais escuro (na imagem a vermelho) as projeções e a V.G. da distância entre os dois planos.

SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS OBLÍQUOS

Represente, pelas suas projeções, um hexágono regular, com a base contida num plano de rampa ρ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o traço frontal do plano de ρ tem 4 de cota;

– os pontos A(0;5,5;0) e D são extremos de uma diagonal maior do hexágono;

– o ponto D tem 1 de abcissa e afastamento nulo;

Considerando que o hexágono [ABCDEF] é a base de menor cota de um prisma com 4 cm de altura, represente o sólido pelas suas projeções.

Breves passos de resolução:
– Representa-se o traço frontal do plano ρ a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e D, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula), pelo que hρ passa em A₁ e D pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo) com 1 de abcissa;

– rebatem-se os pontos A e D. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hρ;
– determinam-se os restantes vértices da base – B, C, E e F – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices  B, C, E e F;
– depois de representado o hexágono pelas suas projeções, representou-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hρ e p2 fica perpendicular a fρ), a passar no vértice B por opção (poderia ser em qualquer vértice) ;
– a reta p é de perfil, pelo que é necessário efetuar o seu rebatimento. Para isso inclui-se a reta p num plano de perfil. A reta p, passa em B e é perpendicular a todas as retas do plano de rampa que passam em B, pelo que se rebateu a reta i de interseção dos dois planos (rampa e perfil), o que permitiu representar a reta p rebatida perpendicular à reta i, no ponto B;

 – a partir de B rebatido marcou-se a altura de 4 cm do prisma e determinou-se o vértice B’ em verdadeira grandeza;

– inverteu-se o rebatimento de B’ e representou-se o ponto pelas suas projeções;

– Como as arestas laterais do prisma são todas iguais, copiou-se a aresta [BB’] na projeção frontal e “copiou-se” para os restantes vértices da base e repetiu-se o raciocínio na projeção horizontal;
– representa-se a pirâmide num tom mais escuro (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades, atendendo a que a base [A’B’C’D’E’F’] é visível em ambas as projeções.