TESTE 3 DE 2016/2017 - 11AV1/CT2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de rampa θ.

Dados

– o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O(0;2;5);

– a reta de perfil p do plano θ contém o ponto O e tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;

– o vértice A do pentágono é o traço frontal da reta p.

  

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre o plano δ e o Plano Horizontal de Projeção.

Dados

– o plano δ está definido pelas retas r e s concorrentes no ponto P(3;4;2);

– a reta r é paralela ao bissetor dos diedros pares, β_2,4, e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 40⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– a reta s é passante e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 20⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

3.       Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical θ numa pirâmide quadrangular oblíqua de base regular contida num plano frontal, situada no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte da pirâmide delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

Dados

– o ponto A(5;8;3) e o ponto B(–1;8;1) são dois dos vértices do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;

– o vértice V pertence à mesma reta de topo que contém o ponto A e tem zero de afastamento;

– o plano θ contém um ponto do eixo x com –4 de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a esquerda, com esse eixo.

4.       Represente pelas suas projecções uma pirâmide pentagonal obliqua com base contida no plano

horizontal de projecção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Determine as projecções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

Dados

– a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O(4;5;0) e 5 cm de raio;

– a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;

– o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;

– o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

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QUESTÃO DE AULA N 2 11AV2

Determine, graficamente, as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados

– o ponto P pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β_1,3), tem 6 de abcissa e 8 de afastamento;

– o plano α é definido pelo ponto A (–1; 4; 2) e pela reta r;

– a reta r contém o ponto M (6; –6; 9);

– o ponto F, traço frontal da reta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

TESTE 2 - 11AV2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções da reta passante s, perpendicular à reta r no ponto A.

Dados

– a reta r é passante e está definida pelo ponto A com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 50°, de abertura para a direita, com o eixo x.

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s.

Dados

– a reta r é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β_2,4);

– a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– o ponto F, traço frontal da reta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;

– a reta s é concorrente com a reta r no ponto P, com 3 de cota;

– as projeções da reta s são perpendiculares às projeções homónimas da reta r.

3.      Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 8 cm;

– o ponto A(1;6) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 10 cm de altura.

4.      Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrangular regular situado no 1º diedro.

Dados

– uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], contido no plano de rampa ρ, cujo traço horizontal tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 6 de cota;

– o vértice A tem 2 de abcissa e afastamento nulo;

– a diagonal [AC] do quadrado mede 7 cm e pertence a uma reta oblíqua r;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o prisma tem 6 cm de altura.

TESTE 2 - 11AV1/CT2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.      Determine as projeções da reta s perpendicular à reta r.

Dados

– a reta r é definida pelo ponto A(0;11;7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;

– a reta s, concorrente com a reta r, contém o ponto P(0;5;2).

  

2.      Determine graficamente a amplitude, α, do ângulo das duas retas enviesadas n e f.

Dados

– a reta n é horizontal, interseta o plano frontal de projeção no ponto F(–4;0;4) e faz, com este, um ângulo de 60⁰ de abertura para a direita;

– a reta f é frontal, interseta o plano horizontal de projeção no ponto H(4;4;0) e faz, com este, um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda.

3.      Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A(1;8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 12 cm de altura.

4.      Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrangular regular situado no 1º diedro.

Dados

– uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], contido no plano de rampa ρ, cujo traço horizontal tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 6 de cota;

– o vértice A tem 2 de abcissa e afastamento nulo;

– a diagonal [AC] do quadrado mede 7 cm e pertence a uma reta oblíqua r;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o prisma tem 9 cm de altura.

SÓLIDOS III - CUBO NUM PLANO PASSANTE

Represente, pelas suas projeções, um cubo contido num plano passante ρ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o centro é o ponto O(4;6;3);

– o vértice A, com 1 de abcissa e 4,5 de afastamento, pertence à face [ABCD].

Passos de resolução:

– Representa-se o plano a partir dos seus dados, que fica definido pelo eixo x e pelo ponto O;

– representa-se a abcissa e o afastamento do ponto A e determina-se a sua cota, através de uma reta passante do plano;

– rebatem-se os pontos A e O e determinam-se os restantes vértices da face – B, C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices B, C e D;

– depois, representou-se o traço de perfil do plano (p_ρ) e a terceira projeção do ponto A, por onde passa, em seguida a reta p, perpendicular ao plano, que permite representar a “altura” do cubo em VG e determinar A’₃. Note todas as arestas de um cubo são iguais e que p₃ fica perpendicular a p_ρ;

– representou-se o vértice A’ da pirâmide pelas suas projeções (1 e 2). Note que as outras arestas, que permitem determinar B’, C’ e D’ são iguais a [AA’], pelo que basta copiar as suas projeções.

– representou-se o cubo, num tom mais escuro, atendendo às invisibilidades observadas.

Desenho de Inês Mendes, do 11AV1.

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SÓLIDOS III - PIRÂMIDE COM BASE CONTIDA NUM PLANO PASSANTE

Represente, pelas suas projeções, um hexágono regular, com a base contida num plano de passante ρ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o centro da base é o ponto O(3,5;5;3);

– os arestas da base medem 3,5 m.

Considerando que o hexágono [ABCDEF] é a base de uma pirâmide com 7 cm de altura, represente o sólido pelas suas projeções.

Breves passos de resolução:
– Representa-se o plano ρ a partir dos seus dados, que fica definido pelo eixo x e pelo ponto O;
– rebate-se o ponto O, usando o triângulo de rebatimento. A charneira escolhida foi o traço horizontal do plano – h_ρ;
– determinam-se os restantes vértices da base – A, B, C, D, E e F – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices A, B, C, D, E e F. Note que os pontos B e E têm o mesmo afastamento e a mesma cota do centro O, o que facilita a sua representação através das suas projeções. Os pontos A e D têm o mesmo afastamento e a mesma cota, passando-se o mesmo com os pontos C e D. Este conhecimento permite representar os seis vértices da base pelas suas projeções, usando apenas uma reta passante, para inverter o rebatimento da base, a passar (por opção) por A, O e D;
– depois, representou-se o traço de perfil do plano (p_ρ) e a terceira projeção do ponto O, por onde passa, em seguida a reta p, perpendicular ao plano, que permite representar a altura da pirâmide em VG e determinar V₃. Note que p₃ fica perpendicular a p_ρ;

– representou-se o vértice V da pirâmide pelas suas projeções (1 e 2) e representou-se a pirâmide, num tom mais escuro (na imagem a vermelho), atendendo às invisibilidades observadas.

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SÓLIDOS III - PIRÂMIDE COM BASE CONTIDA NUM PLANO OBLÍQUO

Considere um triângulo equilátero [ABC] contido num plano oblíquo α, que é a base de uma pirâmide triangular regular, situada no 1º diedro.

Dados:

– o traço frontal do plano faz um ângulo de 50⁰ (a.d.) com o eixo x e o traço horizontal faz um ângulo de 45⁰ (a.d.) com o mesmo eixo. Os traços são concorrentes num ponto com 4 de abcissa;

– o centro da base é o ponto O, com 3,5 de afastamento e 3 de cota;

– o vértice A tem 6 de afastamento e 1 de cota;

– a pirâmide mede 7 cm de altura.

Breves passos de resolução:

– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e O, em função das suas coordenadas. Note que os pontos necessitam de pertencer a uma reta do Plano para pertencerem ao plano, uma vez que as coordenadas afastamento e cota são diferentes de zero. A opção recaiu para duas retas horizontais, mas poderia ter sido por retas frontais;
– rebatem-se os pontos A e B.

– determinam-se os restantes vértices da base – B e C – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices B e C;

– pelo centro da base O representa-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hα e p2 fica perpendicular a fα) ;
– o eixo da pirâmide, contido na reta p, pertence a uma reta oblíqua, pelo que é necessário efetuar um 2º rebatimento, a partir de um plano projetante que contenha a reta. Optou-se por um plano de topo. Note que para rebater a reta p foi usado o rebatimento de O e o ponto da reta que pertence à charneira de rebatimento (o ponto H, traço horizontal da reta p);
– a partir de Or marca-se a altura da pirâmide – 7 cm – obtendo-se Vr (vértice do sólido rebatido);
– inverte-se o rebatimento de V e representa-se o mesmo pelas suas projeções;
– representa-se a pirâmide (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades. Note que o vértice é visível em ambas as projeções e o contorno aparente (horizontal e frontal) fica sempre a traço contínuo.

SÓLIDOS III - PIRÂMIDE COM BASE CONTIDA NUM PLANO OBLÍQUO

Considere um quadrado [ABCD] contido num plano oblíquo α, que é a base de uma pirâmide quadrangular, situada no 1º diedro.

Dados:

 – os pontos A(4;0) e B(0;3) são dois vértices consecutivos do quadrado da base;

– o traço frontal do plano faz um ângulo de 40⁰ (a.e.) com o eixo x e o traço horizontal faz um ângulo de 60⁰ (a.e.) com o mesmo eixo;

– a pirâmide mede 7 cm de altura.

Breves passos de resolução:

– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula) e B pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo);
– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα;
– determinam-se os restantes vértices da base – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D. Note que, pelo facto de a base ser um quadrado, o centro O pode determinar-se diretamente nas projeções da base, a partir das diagonais do quadrado;
– depois de representado o quadrado pelas suas projeções, determinou-se o centro da base, necessário à representação do eixo da pirâmide;
– pelo centro da base O representa-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hα e p2 fica perpendicular a fα) ;
– o eixo da pirâmide, contido na reta p, pertence a uma reta oblíqua, pelo que é necessário efetuar um 2º rebatimento, a partir de um plano projetante que contenha a reta. Optou-se por um plano de topo. Note que para rebater a reta p foi usado o rebatimento de O e o ponto da reta que pertence à charneira de rebatimento;
– a partir de Or marca-se a altura da pirâmide – 7 cm – obtendo-se Vr (vértice do sólido rebatido);
– inverte-se o rebatimento de V e representa-se o mesmo pelas suas projeções;
– representa-se a pirâmide (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades. Note que o vértice é visível em ambas as projeções e o contorno aparente (horizontal e frontal) fica sempre a traço contínuo.

TESTE SUMATIVO Nº 1 - 11AV2 - 2016/2017

 ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções do plano de rampa θ ortogonal ao plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(3;3;4) e a reta r;

– a reta r contém os pontos R(0;5;–5) e S(–4;–4;4);

– o plano de rampa θ contém o ponto A.

  

2.       Determine os traços do plano μ paralelo ao plano θ.

Dados

– o plano θ contém a reta h e o ponto M(5;0;0);

– a reta h é horizontal e contém o ponto A pertencente ao bissetor dos diedros pares, β_2,4, com 4 de abcissa e 2 de cota;

– a projeção horizontal da reta h faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano μ contém o ponto P(–4;2;6).

3.      Represente o retângulo [ABCD], situado no 1º diedro.

Dados

– o retângulo está contido num plano oblíquo α;

– os traços, horizontal e frontal, do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ (a.e.) e 60⁰ (a.d.) com o eixo x e são concorrentes num ponto de abcissa nula;

– o vértice A do retângulo tem abcissa nula e 3 de cota;

– o vértice B, consecutivo de A, pertence ao traço horizontal do plano α, e tem 2,5 de   afastamento;

– o lado [AD] da figura mede 6 cm.

4.      Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no 1º diedro.

Dados

– o hexágono está contido num plano de rampa ρ;

– o traço horizontal do plano ρ tem 4 de afastamento;

– os pontos A(3;0;6) e D, com 3 de abcissa e 1 de cota, são extremos de uma diagonal maior do hexágono.

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