TESTE 4 - 11AV2 (2016/2017)

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine os traços, horizontal e frontal, de um plano β paralelo à reta r.

Dados

– a reta  r contém os pontos A (5; –4; 4) e B (1; 5; –5);

– o plano β contém os pontos C (1; 0; 0) e D (–4; 2; 4).

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.

Dados

– o plano δ é vertical, contém o ponto M do eixo x com 3 de abcissa e faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção;

– o plano θ é de topo, contém o ponto N do eixo x com –3 de abcissa e faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção.  

3.       Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cone de oblíquo com base frontal, situado no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, as projeções do cone e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte ocultada do contorno da sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados

–  a base do cone tem 4 cm de raio e pertence a um plano frontal com 1 de afastamento;

– a geratriz [AV] situada mais à esquerda é de topo, com 4 de abcissa e 6 de cota;

– a geratriz [AV] mede 8 cm;

– a direção luminosa é a convencional.

4.       Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cubo, situado no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, as projeções do cubo e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte ocultada do contorno da sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados

– a face [ABCD] do cubo é paralela ao Plano Frontal de Projeção;

– os pontos A e B são vértices consecutivos do quadrado da face [ABCD];

– o vértice A tem abcissa nula, 2 de afastamento e 5 de cota;

– o vértice B tem 4 de abcissa e 3 de cota;

– a direção luminosa é a convencional.

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TESTE 4 - 11AV1/CT2 (2016/2017)

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine os traços, horizontal e frontal, de um plano β paralelo ao plano oblíquo α.

Dados

– o plano α é definido pela reta frontal f e pelo ponto A (0; 3; 2);

– a reta  f contém o ponto B (–4; –4; 4) e faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o Plano Horizontal de Projeção;

– os traços do plano β são concorrentes no ponto C, com 2 de abcissa.

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.

Dados

– o plano δ é vertical, contém o ponto M do eixo x com –3 de abcissa e faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;

– o plano θ é de topo, contém o ponto N do eixo x com 3 de abcissa e faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção. 

 3.       Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cone de revolução com base frontal, situado no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, as projeções do cone e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte ocultada do contorno da sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados

– o ponto O (0; 9; 4) é o centro da base do cone;

– a circunferência da base é tangente ao Plano horizontal de Projeção;

– o vértice V pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– a direção luminosa é a convencional.

4.       Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cubo, situado no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, as projeções do cubo e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte ocultada do contorno da sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados

– a face [ABCD] do cubo é paralela ao Plano Frontal de Projeção;

– os pontos A e B são vértices consecutivos do quadrado da face [ABCD];

– o vértice A tem abcissa nula, 2 de afastamento e 5 de cota;

– o vértice B tem 4 de abcissa e 3 de cota;

– a direção luminosa é a convencional.

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SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA - PRISMA TRIANGULAR RETO

Considere um prisma triangular regular, situado no 1º diedro, com bases contidas em plano horizontais.

Dados

– o ponto O(0;0;5) é o centro da base [ABC], inscrita numa circunferência de raio igual a 3 cm;

– o vértice A é o vértice de menor afastamento e tem abcissa nula;

– a pirâmide tem 8 cm de altura.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a direção luminosa convencional.

Breves passos de resolução:

– Representou-se o prisma de acordo com os dados indicados;

– Representaram-se as retas tangentes à base de menor cota coma direção de um raio luminoso. Note que pelo facto de ser um prisma reto não há lugar à determinação separada da direção das retas tangentes, uma vez que as arestas laterais são verticais;

– As retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;

– A sombra própria, simbolizada a vermelho, observa-se apenas na projeção frontal, na faze lateral [ABB’C’]. A base de maior cota encontra-se iluminada, pelo que em projeção horizontal do prisma não existe sombra própria;

– Para representar a sombra real projetada determinou-se a sombra dos vértices B, C, B’, C’ e D’. Note que o vértice A tem uma “sombra inútil”, pelo que não se determina;

– A sombra real projetada, simbolizada a verde, existe nos dois planos de projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [CC’] e [BB’]. Recorreu-se ao paralelismo da parte das sombras das arestas que estão no mesmo plano (plano frontal).

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SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR - BASE DE PERFIL

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1º diedro, com a base contida num plano de perfil.

Dados

– os pontos A(0;0;5) e B(2,5;1) são dois vértices consecutivos da base;

– o vértice V tem –6 de abcissa;

Determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a direção luminosa convencional.

Breves passos de resolução:

– Representou-se a pirâmide de acordo com os dados indicados. Note que houve necessidade de rebater o quadrado da base;

– No vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto (I) de interseção do raio luminoso com a base;

– Uma vez que as retas tangentes à base são de perfil, rebateu-se o ponto I pelo quadrado anteriormente rebatido representaram-se as retas tangentes;

– As retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;

– Determinou-se a sombra dos vértices A, B, C e D da base e do vértice V da pirâmide;

– A sombra própria, simbolizada a verde, observa-se em ambas as projeções.  Na projeção horizontal a sombra própria existe na face [ADV] e na projeção frontal a sombra própria existe na face [BCV];

– A sombra real projetada, simbolizada a vermelho, existe nos dois planos de projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [AB] e [CV]. Recorreu-se à sombra virtual de B e de V, respetivamente.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1º diedro, com a base contida num plano.

Dados

– os pontos A(2;8;7) e C(2;8;7) são dois vértices opostos da base;

– o vértice V pertence ao plano horizontal de projeção.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a direção luminosa convencional.

Exercício resolvido por Inês Araújo, do 11AV1 (2016/2017)

Breves passos de resolução:

– Representou-se a pirâmide de acordo com os dados indicados;

– No vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto (I) de interseção do raio luminoso com a base;

– Determinaram-se as retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;

– Determinou-se a sombra dos vértices A, B e D da base e do vértice V da pirâmide;

– A sombra própria não existe em nenhuma das projeções, pois as faces sombreadas estão invisíveis;

– A sombra real projetada, simbolizada a vermelho, existe nos dois planos de projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [DV] e [BV]. Recorreu-se à sombra virtual de V que resolve as duas situações em simultâneo.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1º diedro, com a base contida no plano horizontal de projeção.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(2;5;0);

– o vértice A tem 1 de abcissa e 2 de afastamento;

– a altura do cone mede 8 cm.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a direção luminosa convencional.

Breves passos de resolução:

– Representou-se a pirâmide de acordo com os dados indicados;

– No vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto (I) de interseção do raio luminoso com a base;

– Determinaram-se as retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;

– Determinou-se a sombra dos vértices B, C e D da base e do vértice V da pirâmide;

– A sombra própria, simbolizada a vermelho mais escuro, apenas se observa na projeção horizontal das faces [ABV] e [ADV];

– A sombra real projetada, simbolizada a vermelho mais claro, existe nos dois planos de projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [DV] e [BV]. Recorreu-se à sombra virtual de V que resolve as duas situações em simultâneo.

TESTE 3 DE 2016/2017 - 11AV2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções de um quadrado regular [ABCD] situado num plano oblíquo β.

Dados

– o ponto A(–5,5;5;3) é um dos vértices do quadrado;

– o vértice C tem 0 de abcissa e 2,5 de afastamento;

– a diagonal [AC] pertence a uma reta oblíqua passante p;

– o traço horizontal h_β do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 45⁰, com abertura para a direita.

2.       Determine graficamente a amplitude do ângulo entre o plano oblíquo θ e o plano frontal de projeção.

Dados

– o plano θ é definido pela reta d, uma reta de maior declive que contém o ponto P(0;4;2);

– a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x e a sua projeção frontal faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo.

3.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide pentagonal regular, de base horizontal, situada no 1º diedro e, ainda, um plano de topo θ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Represente as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano θ e determine a verdadeira grandeza da secção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.

Dados

– o ponto A(–5;9;1,5) é um dos vértices da base [ABCDE] da pirâmide;

– o vértice V da pirâmide tem –5 de abcissa, 5 de afastamento e 7 de cota;

– o plano de topo θ faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projeção, e contém o vértice mais à esquerda da base da pirâmide.

4.       Represente, pelas suas projecções, o sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo θ num

cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da

base.

Preencha a tracejado a projecção visível da secção.

Dados

– a base está contida num plano horizontal;

– o vértice V(0;6;10) e o ponto A(5;6;2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno aparente frontal;

– o plano de topo θ contém o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].

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TESTE 3 DE 2016/2017 - 11AV1/CT2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de rampa θ.

Dados

– o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O(0;2;5);

– a reta de perfil p do plano θ contém o ponto O e tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;

– o vértice A do pentágono é o traço frontal da reta p.

  

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre o plano δ e o Plano Horizontal de Projeção.

Dados

– o plano δ está definido pelas retas r e s concorrentes no ponto P(3;4;2);

– a reta r é paralela ao bissetor dos diedros pares, β_2,4, e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 40⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– a reta s é passante e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 20⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

3.       Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical θ numa pirâmide quadrangular oblíqua de base regular contida num plano frontal, situada no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte da pirâmide delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

Dados

– o ponto A(5;8;3) e o ponto B(–1;8;1) são dois dos vértices do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;

– o vértice V pertence à mesma reta de topo que contém o ponto A e tem zero de afastamento;

– o plano θ contém um ponto do eixo x com –4 de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a esquerda, com esse eixo.

4.       Represente pelas suas projecções uma pirâmide pentagonal obliqua com base contida no plano

horizontal de projecção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Determine as projecções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

Dados

– a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O(4;5;0) e 5 cm de raio;

– a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;

– o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;

– o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

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QUESTÃO DE AULA N 2 11AV2

Determine, graficamente, as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados

– o ponto P pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β_1,3), tem 6 de abcissa e 8 de afastamento;

– o plano α é definido pelo ponto A (–1; 4; 2) e pela reta r;

– a reta r contém o ponto M (6; –6; 9);

– o ponto F, traço frontal da reta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

TESTE 2 - 11AV2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções da reta passante s, perpendicular à reta r no ponto A.

Dados

– a reta r é passante e está definida pelo ponto A com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 50°, de abertura para a direita, com o eixo x.

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s.

Dados

– a reta r é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β_2,4);

– a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– o ponto F, traço frontal da reta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;

– a reta s é concorrente com a reta r no ponto P, com 3 de cota;

– as projeções da reta s são perpendiculares às projeções homónimas da reta r.

3.      Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 8 cm;

– o ponto A(1;6) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 10 cm de altura.

4.      Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrangular regular situado no 1º diedro.

Dados

– uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], contido no plano de rampa ρ, cujo traço horizontal tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 6 de cota;

– o vértice A tem 2 de abcissa e afastamento nulo;

– a diagonal [AC] do quadrado mede 7 cm e pertence a uma reta oblíqua r;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o prisma tem 6 cm de altura.