TESTE SUMATIVO Nº 1 - 11AV1/CT2 - 2016/2017

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine os traços do plano de rampa μ perpendicular ao plano de rampa α.

Dados

– os traços horizontal e frontal do plano α têm, respetivamente, –5 de afastamento e 7 de cota;

– o plano μ contém o ponto R pertencente ao plano bissetor dos diedros ímpares, β_1,3, com 0 de abcissa e 2 de cota.

2.       Determine os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

Dados

– o plano α é definido pelas retas a e b;

– a reta a contém o ponto S(3;5;3);

– as projeções, horizontal e frontal, da reta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45⁰, de abertura para a direita, e de 30⁰, de abertura para a esquerda, respetivamente;

– a reta b pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, β_1,3, e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30⁰ de abertura para a direita;

– o plano π contém o ponto P(– 6;3;– 4).

3.      Represente o pentágono regular [ABCDE], situado no 1º diedro.

Dados

– o pentágono está contido num plano oblíquo α;

– o plano α é perpendicular ao β_1,3 e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– o pentágono está inscrito numa circunferência  com 3 cm de raio e centro no ponto O(3;3;4);

– o lado de menor cota do pentágono é horizontal.

4.      Represente o retângulo [ABCD], situado no 1º diedro e contido num plano de rampa ρ.

Dados

– o vértice A pertence ao traço horizontal do plano ρ, tem –2 de abcissa e 5 de afastamento;

– o vértice B, consecutivo de A, pertence ao β_1,3, tem 2 de abcissa e 2 de afastamento;

– o vértice C tem afastamento nulo.

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FIGURAS PLANAS III – QUADRADO CONTIDO NUM PLANO DE RAMPA

Represente, pelas suas projeções, um quadrado [ABCD] contido num plano de rampa.

Dados:

– os pontos A(0;5;0) e C(–3;1;3)  pertencem a uma diagonal do quadrado.

Processo 1

Processo 2

Breves passos de resolução:

– representa-se os pontos A e C, pelas suas projeções, a partir dos seus dados;
– representa-se a uma reta r a passar por A e C, que permite determinar o traço frontal F. O traço horizontal do plano passa em A₁ e o traço frontal em F₂. Note que no processo 1, por opção, não se determinou o traço frontal do plano, nem o ponto F.

– escolhe-se como charneira o traço horizontal do plano, pelo que h_ρ Ξ h_ρr.

Processo 1 – triângulo de rebatimento:
–  rebate-se o ponto C, usando o triângulo de rebatimento, já devidamente explicado. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, por pertencer à charneira.;

–  no plano rebatido, determinam-se os vértices B e D do quadrado;

– inverte-se o rebatimento de B e D, recorrendo ao triângulo de rebatimento. Note que o processo é idêntico ao que foi usado para rebater o ponto B, mas em sentido contrário;

– poder-se-ia ter optado por inverter o rebatimento de um dos pontos (B ou D), uma vez que num quadrado seria suficiente, recorrendo aos lados paralelos dois a dois, mas a opção recaiu pelos dois pontos;

– representou-se o triângulo pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.

Processo 2 –rebatimento dos traços do plano:
–  rebate-se o ponto F, traço frontal da reta r, usando o compasso, com “centros” sucessivos  no eixo x e na charneira. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, por pertencer à charneira;

–  representou-se a reta r no plano rebatido, uma vez que A e F já estavam rebatidos;

–  no plano rebatido, determinam-se os vértices B e D do quadrado;

– inverte-se o rebatimento de B e D, recorrendo à reta s, que contém os dois pontos. Para desenhar as projeções da reta s apenas foi necessário determinar H, que pertence à charneira e F’, que se determina diretamente no traço frontal do plano;

– desenharam-se os pontos B e D, diretamente na reta s, puxando diretamente na perpendicular á charneira de rebatimento;

– representou-se o triângulo pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.

FIGURAS PLANAS III - PENTÁGONO CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO

Represente, pelas suas projeções, um pentágono [ABCDE] contido num plano oblíquo ψ.

Dados:

– o plano oblíquo ψ é perpendicular ao β_2,4 e o seu traço horizontal faz um diedro de 50⁰ (a.e.);

– os pontos A(0;3) e B(2;0) são um lado do pentágono.

Breves passos de resolução:
– representa-se o plano ψ, definido pelos seus traços, a partir dos seus dados. Sendo perpendicular ao β_2,4  os traços ficam coincidentes;

– representam-se os pontos A e B a partir dos seus dados. Note que o ponto A, tendo 0 de afastamento, pertence ao traço frontal do plano e o ponto B, tendo 0 de cota, pertence ao traço horizontal do plano;
–  não sendo dado o raio, nem o centro, houve necessidade de representar o pentágono a partir somente do seu lado [AB]. O ângulo interno entre dois lados do pentágono é 108⁰, resultante de 180⁰ – 72⁰ (360⁰ : 5 = 72⁰);

– rebatem-se os pontos A e B. O ponto B fica imediatamente rebatido por pertencer à charneira de rebatimento. Rebate-se o ponto A pelo método do triângulo de rebatimento, já estudado;

– para inverter o rebatimento dos pontos C, D e E, recorreu-se ao triângulo de rebatimento, já devidamente explicado;

– representou-se o pentágono pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.

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TRIÂNGULO DE REBATIMENTO - INVERSÃO DO REBATIMENTO DE UM PONTO

Considere um plano oblíquo, cujos traços horizontal e frontal, fazem, respetivamente,  ângulos de 35⁰ e 55⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x.

Represente um ponto M(2;2), pertencente ao plano e faça o seu rebatimento, utilizando o método do “triângulo de rebatimento”.

Determine um ponto N no plano rebatido e inverta o seu rebatimento, usando o método do triângulo de rebatimento.

Breves passos de resolução da inversão do rebatimento de N:

* No plano rebatido, já com o ponto M rebatido, determina-se o ponto N rebatido (N_r);

* Para inverter o ponto N, passa-se por N_r um plano projetante ortogonal à charneira (o plano θ’, representado pelo traço horizontal h_θ’);

* Quando o plano projetante θ’ cruza com a charneira de rebatimento representa-se uma hipotenusa paralela à hipotenusa do triângulo de rebatimento de M;

* Com o compasso, transporta-se a distância da charneira a N_r até à hipotenusa, obtendo N_1r;

* A partir N_1r de traça-se paralelo à charneira a distância d e obtém-se N₁, quando cruza com o plano θ’. Esta distância d corresponde à cota do ponto N, o que permite obter N₂.

FIGURAS PLANAS III - HEXÁGONO CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO

Represente, pelas suas projeções, um hexágono regular [ABCDEF] contido num plano oblíquo δ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o traço frontal do plano δ faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– os pontos A(0;3;0) e B(–3;5;0) são vértices consecutivos da hexágono.

Breves passos de resolução:
– representam-se os pontos A e B a partir dos seus dados;
– representa-se traço horizontal do plano δ que passa necessariamente em A₁ e B₁, uma vez que são pontos de cota nula;

– representa-se traço frontal do plano δ com o ângulo indicado;
–  os pontos A e B são pontos da charneira escolhida (o traço horizontal do plano) pelo que ficam imediatamente rebatidos;

– determinam-se os restantes vértices do hexágono, C, D E e F, em verdadeira grandeza, no plano rebatido. Note que o rebatimento foi feito pelo rebatimento dos traços do plano;

– inverteu-se o rebatimento dos vértices C, D E e F, de modo a representá-los pelas suas projeções. Note que os pontos C e F pertencem a uma reta horizontal, assim como os pontos D e E pertencem a outra reta horizontal, pelo que se inverteu o rebatimento das retas horizontais (h e h’), o que facilitou a representação dos pontos pelas suas projeções;

– representou-se o hexágono pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.

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FIGURAS PLANAS III - TRIÂNGULO EQUILÁTERO CONTIDO NUM PLANO DE RAMPA

Represente, pelas suas projeções, um triângulo equilátero [ABC] contido num plano de rampa ρ.

Dados:

– os traços, horizontal e frontal, do plano de rampa têm, respetivamente, 4 de afastamento e 6 de cota;

– os pontos A e B pertencem à reta r, que faz em projeção frontal um diedro de 55⁰ (a.d.) com o eixo x;

– o ponto A tem 1 de cota e o ponto B tem 4 de cota.

Breves passos de resolução:
– representa-se o plano, definido pelos seus traços, a partir dos seus dados;
– representa-se a projeção frontal da reta r, com o ângulo indicado, em qualquer ponto do eixo x;
–  através dos traços da reta r determina-se a sua projeção horizontal;

–  a partir das cotas indicadas representam-se os pontos A e B, que pertencem à reta r;

– rebate-se o ponto F da reta e obtém-se a reta r rebatida, uma vez que o ponto H ao pertencer à charneira fica imediatamente rebatido;

– representam-se os vértices A e B no plano rebatido de determina-se o vértice C;

– para inverter o rebatimento do vértice C utilizou-se a reta s, que contem os pontos B e C. Note que para representar a reta s pelas suas projeções, só foi necessário determinar o ponto H, uma vez que o ponto B já era conhecido;

– representou-se o triângulo pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.

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FIGURAS PLANAS - QUADRADO CONTIDO NUM PLANO PASSANTE

Represente, pelas suas projeções, um quadrado [ABCD] contido num plano passante ρ.

Dados:

– o centro do quadrado é o ponto O(0;3;4);

– o ponto A é um dos vértices do quadrado, tem 3 de abcissa e 2 de afastamento.

Breves passos de resolução:
– representa-se o plano, definido pelos seus traços, coincidente com o eixo x e pelo ponto O;
– representa-se a projeção horizontal de uma reta (r), que passa por O₁ e A₁;
–  como a reta (r) é necessariamente passante, define-se, a partir da sua projeção frontal a cota de A;

– rebate-se o ponto O (podia ser o ponto A) e obtém-se a reta (r) rebatida;

– no plano rebatido, determinam-se os restantes vértices, B, C e D. Note que o vértice C pertence à mesma reta de A, o que facilita a inversão do rebatimento e a determinação das suas projeções;

– para inverter o rebatimento dos vértices B e D, utilizou-se a reta s, que contem os dois pontos e o ponto O. Dado que a reta s é passante, esta opção facilita a representação dos vértices B e D pelas suas projeções;

– representou-se o quadrado pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.


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TRIÂNGULO DE REBATIMENTO - PLANO OBLÍQUO

Considere um plano oblíquo, cujos traços horizontal e frontal, fazem, respetivamente,  ângulos de 35⁰ e 55⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x.

Represente um ponto M(2;2), pertencente ao plano e faça o seu rebatimento, utilizando o método do “triângulo de rebatimento”.

PLANOS DE RAMPA PERPENDICULARES ENTRE SI

É dado um plano de rampa ρ, cujos traços, horizontal e frontal, têm respetivamente  6 de afastamento e 4 de cota.

Determine as projeções de um plano de rampa β, perpendicular ao plano rampa ρ que contém o ponto P(6;4;3).

Notas:

* Optou-se pela 3ª projeção, onde é possível verificar a perpendicularidade entre os traços de perfil dos dois planos de rampa.

* O traço de perfil do plano de rampa β, passa em A3 e é perpendicular ao traço de perfil do plano rampa ρ.

* A vermelho está o objetivo do exercício, que simbolicamente é sublinhado desta forma.

ORTOGONALIDADE ENTRE PLANOS

CASO GERAL

É dado um plano oblíquo α, cujos traços, horizontal e frontal, fazem ângulos de 60⁰ (a.d.) e 45⁰ (a.e.) com o eixo x. É dado, ainda, um ponto P(3;3;) que se situa 1 cm à esquerda dos traços do plano no eixo x.

Averigue os planos ortogonais ao plano oblíquo α que são passíveis de representação.

1. O plano β é oblíquo e o seu traço frontal faz um ângulo de 60⁰ (a.d.) com o eixo x.

2. O plano π é oblíquo e os seus traços são coincidentes.

3. O plano ρ é de rampa.

4. O plano θ é de topo.

5. O plano δ é vertical.

QUESTÃO DE AULA 1 - 11AV2

Determine os traços do plano μ paralelo ao plano δ.

Dados

– o plano δ contém as retas fronto-horizontais a e b;

– a reta a tem 3 de afastamento e 5 de cota;

– a reta b tem 7 de afastamento e 2 de cota;

– o plano μ contém o ponto P (6; 2; 2).

Nota: a resolução foi feita com base na escolha pela 3ª projeção. Poder-se-ia ter escolhido o método de retas paralelas ou mesmo o rebatimento das retas de perfil.

QUESTÃO DE AULA 1 - 11AV1/CT2

Determine os traços do plano μ paralelo ao plano θ.

Dados

– o plano θ contém a reta h e o ponto M(1,5;0;0);

– a reta h é horizontal e contém o ponto A pertencente ao bissetor dos diedros pares, β_2/4, com 0 de abcissa e 2 de cota;

– a projeção horizontal da reta h faz um ângulo de 40⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano μ contém o ponto P(0;3;3).

PARALELISMO - PLANOS DE RAMPA PARALELOS

Considere um plano de rampa α, definido por duas retas fronto-horizontais, a e b.

A reta a tem 5 de afastamento e 3 de cota.

A reta b tem –3 de afastamento e –5 de cota.

Represente, pelos seus traços, um plano β paralelo ao plano α, que contenha o ponto P(2;4).

Optou-se pelo recurso à projeção de perfil. 

Note que:

– os traços de perfil são paralelos entre si, o que garante o paralelismo entre os dois planos;

– as projeções de perfil das retas  fronto-horizontais, a e b (a₃ e b₃) são reduzidas a um ponto.

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Perpendicularidade - Retas ortogonais/perpendiculares a planos de rampa

O plano de rampa ρ, definidos pelos seus traços, horizontal e frontal, com 4 de afastamento e 2,4 de cota.

Determine as projeções de uma reta p, perpendicular ao plano de rampa ρ e que contém o ponto P(3;4).

Processo 1 - Rebatimento

Processo 2 - 3ª projeção

LIVRO DE PREPARAÇÃO DE EXAMES DE GD A 2017

Olá a todos.

Sugiro como livro de preparação do exame de Geometria Descritiva A o seguinte:


Preparação para o Exame Final Nacional - Geometria Descritiva A - 11.º Ano
de Maria João Müller

Edição/reimpressão:10-2016

Editor:Porto Editora
Dimensões:215 x 285 x 15 mm

Encadernação: Capa mole
Páginas:384
Coleção: Preparação Para o Exame Nacional
Tipo de Produto: Livro

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EXAME DE GEOMETRIA DESCRITIVA A - 2ª FASE DE 2016

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.  Determine os traços do plano θ, perpendicular ao plano α.

     Dados

     – o plano α é definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A(0;2;4);

         – o traço frontal do plano α contém o ponto B do eixo x, com abcissa nula, e faz um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

         – o plano θ contém o ponto P(0;4;2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

2.  Determine as projeções de um retângulo [ABCD] situado num plano oblíquo δ e no 1.º diedro.

     Dados

   – o plano δ é definido pelo ponto M do eixo x, com 4 de abcissa, e por uma reta horizontal h;
     – a reta horizontal h contém o vértice A(0;3;2) e define um ângulo de 55º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
     – o lado [AB] do retângulo mede 9 cm e o vértice B tem cota nula;
     – os lados menores do retângulo medem 6 cm.

3.   Determine as projeções de uma pirâmide oblíqua de base regular triangular [ABC] situada num plano horizontal e das suas sombras própria e projetada nos planos de projeção.

Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados

– o vértice A, com 6 de abcissa e 8 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– a aresta [AB] define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;

– o vértice B tem 2 de abcissa;

– o vértice C tem abcissa positiva;

– o vértice V da pirâmide é um ponto do eixo x com abcissa nula;

– a direção luminosa é a convencional.

4.   Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares.

Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 130° com a projeção axonométrica do eixo z;

– a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

– os dois prismas são iguais e têm 3 cm de altura;

– os prismas têm as bases paralelas ao plano coordenado xz.

Prisma 1:

– o vértice A(4;9;7) e o vértice B(10;9;7) definem uma aresta da base com maior afastamento;

– o outro vértice dessa base é o de menor cota.

Prisma 2:

– o vértice R(13;9;7) é o de maior abcissa da aresta, paralela ao eixo x, da base com maior afastamento;

– o outro vértice dessa base é o de maior cota.