SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR - BASE DE PERFIL

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1º diedro, com a base contida num plano de perfil.

Dados

– os pontos A(0;0;5) e B(2,5;1) são dois vértices consecutivos da base;

– o vértice V tem –6 de abcissa;

Determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a direção luminosa convencional.

Breves passos de resolução:

– Representou-se a pirâmide de acordo com os dados indicados. Note que houve necessidade de rebater o quadrado da base;

– No vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto (I) de interseção do raio luminoso com a base;

– Uma vez que as retas tangentes à base são de perfil, rebateu-se o ponto I pelo quadrado anteriormente rebatido representaram-se as retas tangentes;

– As retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;

– Determinou-se a sombra dos vértices A, B, C e D da base e do vértice V da pirâmide;

– A sombra própria, simbolizada a verde, observa-se em ambas as projeções.  Na projeção horizontal a sombra própria existe na face [ADV] e na projeção frontal a sombra própria existe na face [BCV];

– A sombra real projetada, simbolizada a vermelho, existe nos dois planos de projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [AB] e [CV]. Recorreu-se à sombra virtual de B e de V, respetivamente.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1º diedro, com a base contida num plano.

Dados

– os pontos A(2;8;7) e C(2;8;7) são dois vértices opostos da base;

– o vértice V pertence ao plano horizontal de projeção.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a direção luminosa convencional.

Exercício resolvido por Inês Araújo, do 11AV1 (2016/2017)

Breves passos de resolução:

– Representou-se a pirâmide de acordo com os dados indicados;

– No vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto (I) de interseção do raio luminoso com a base;

– Determinaram-se as retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;

– Determinou-se a sombra dos vértices A, B e D da base e do vértice V da pirâmide;

– A sombra própria não existe em nenhuma das projeções, pois as faces sombreadas estão invisíveis;

– A sombra real projetada, simbolizada a vermelho, existe nos dois planos de projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [DV] e [BV]. Recorreu-se à sombra virtual de V que resolve as duas situações em simultâneo.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1º diedro, com a base contida no plano horizontal de projeção.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(2;5;0);

– o vértice A tem 1 de abcissa e 2 de afastamento;

– a altura do cone mede 8 cm.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a direção luminosa convencional.

Breves passos de resolução:

– Representou-se a pirâmide de acordo com os dados indicados;

– No vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto (I) de interseção do raio luminoso com a base;

– Determinaram-se as retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;

– Determinou-se a sombra dos vértices B, C e D da base e do vértice V da pirâmide;

– A sombra própria, simbolizada a vermelho mais escuro, apenas se observa na projeção horizontal das faces [ABV] e [ADV];

– A sombra real projetada, simbolizada a vermelho mais claro, existe nos dois planos de projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [DV] e [BV]. Recorreu-se à sombra virtual de V que resolve as duas situações em simultâneo.

TESTE 3 DE 2016/2017 - 11AV2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções de um quadrado regular [ABCD] situado num plano oblíquo β.

Dados

– o ponto A(–5,5;5;3) é um dos vértices do quadrado;

– o vértice C tem 0 de abcissa e 2,5 de afastamento;

– a diagonal [AC] pertence a uma reta oblíqua passante p;

– o traço horizontal h_β do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 45⁰, com abertura para a direita.

2.       Determine graficamente a amplitude do ângulo entre o plano oblíquo θ e o plano frontal de projeção.

Dados

– o plano θ é definido pela reta d, uma reta de maior declive que contém o ponto P(0;4;2);

– a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x e a sua projeção frontal faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo.

3.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide pentagonal regular, de base horizontal, situada no 1º diedro e, ainda, um plano de topo θ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Represente as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano θ e determine a verdadeira grandeza da secção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.

Dados

– o ponto A(–5;9;1,5) é um dos vértices da base [ABCDE] da pirâmide;

– o vértice V da pirâmide tem –5 de abcissa, 5 de afastamento e 7 de cota;

– o plano de topo θ faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projeção, e contém o vértice mais à esquerda da base da pirâmide.

4.       Represente, pelas suas projecções, o sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo θ num

cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da

base.

Preencha a tracejado a projecção visível da secção.

Dados

– a base está contida num plano horizontal;

– o vértice V(0;6;10) e o ponto A(5;6;2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno aparente frontal;

– o plano de topo θ contém o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].

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TESTE 3 DE 2016/2017 - 11AV1/CT2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de rampa θ.

Dados

– o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O(0;2;5);

– a reta de perfil p do plano θ contém o ponto O e tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;

– o vértice A do pentágono é o traço frontal da reta p.

  

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre o plano δ e o Plano Horizontal de Projeção.

Dados

– o plano δ está definido pelas retas r e s concorrentes no ponto P(3;4;2);

– a reta r é paralela ao bissetor dos diedros pares, β_2,4, e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 40⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– a reta s é passante e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 20⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

3.       Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical θ numa pirâmide quadrangular oblíqua de base regular contida num plano frontal, situada no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte da pirâmide delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

Dados

– o ponto A(5;8;3) e o ponto B(–1;8;1) são dois dos vértices do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;

– o vértice V pertence à mesma reta de topo que contém o ponto A e tem zero de afastamento;

– o plano θ contém um ponto do eixo x com –4 de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a esquerda, com esse eixo.

4.       Represente pelas suas projecções uma pirâmide pentagonal obliqua com base contida no plano

horizontal de projecção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Determine as projecções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

Dados

– a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O(4;5;0) e 5 cm de raio;

– a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;

– o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;

– o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

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QUESTÃO DE AULA N 2 11AV2

Determine, graficamente, as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados

– o ponto P pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β_1,3), tem 6 de abcissa e 8 de afastamento;

– o plano α é definido pelo ponto A (–1; 4; 2) e pela reta r;

– a reta r contém o ponto M (6; –6; 9);

– o ponto F, traço frontal da reta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

TESTE 2 - 11AV2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções da reta passante s, perpendicular à reta r no ponto A.

Dados

– a reta r é passante e está definida pelo ponto A com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 50°, de abertura para a direita, com o eixo x.

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s.

Dados

– a reta r é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β_2,4);

– a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– o ponto F, traço frontal da reta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;

– a reta s é concorrente com a reta r no ponto P, com 3 de cota;

– as projeções da reta s são perpendiculares às projeções homónimas da reta r.

3.      Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 8 cm;

– o ponto A(1;6) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 10 cm de altura.

4.      Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrangular regular situado no 1º diedro.

Dados

– uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], contido no plano de rampa ρ, cujo traço horizontal tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 6 de cota;

– o vértice A tem 2 de abcissa e afastamento nulo;

– a diagonal [AC] do quadrado mede 7 cm e pertence a uma reta oblíqua r;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o prisma tem 6 cm de altura.

TESTE 2 - 11AV1/CT2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.      Determine as projeções da reta s perpendicular à reta r.

Dados

– a reta r é definida pelo ponto A(0;11;7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;

– a reta s, concorrente com a reta r, contém o ponto P(0;5;2).

  

2.      Determine graficamente a amplitude, α, do ângulo das duas retas enviesadas n e f.

Dados

– a reta n é horizontal, interseta o plano frontal de projeção no ponto F(–4;0;4) e faz, com este, um ângulo de 60⁰ de abertura para a direita;

– a reta f é frontal, interseta o plano horizontal de projeção no ponto H(4;4;0) e faz, com este, um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda.

3.      Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A(1;8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 12 cm de altura.

4.      Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrangular regular situado no 1º diedro.

Dados

– uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], contido no plano de rampa ρ, cujo traço horizontal tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 6 de cota;

– o vértice A tem 2 de abcissa e afastamento nulo;

– a diagonal [AC] do quadrado mede 7 cm e pertence a uma reta oblíqua r;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o prisma tem 9 cm de altura.

SÓLIDOS III - CUBO NUM PLANO PASSANTE

Represente, pelas suas projeções, um cubo contido num plano passante ρ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o centro é o ponto O(4;6;3);

– o vértice A, com 1 de abcissa e 4,5 de afastamento, pertence à face [ABCD].

Passos de resolução:

– Representa-se o plano a partir dos seus dados, que fica definido pelo eixo x e pelo ponto O;

– representa-se a abcissa e o afastamento do ponto A e determina-se a sua cota, através de uma reta passante do plano;

– rebatem-se os pontos A e O e determinam-se os restantes vértices da face – B, C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices B, C e D;

– depois, representou-se o traço de perfil do plano (p_ρ) e a terceira projeção do ponto A, por onde passa, em seguida a reta p, perpendicular ao plano, que permite representar a “altura” do cubo em VG e determinar A’₃. Note todas as arestas de um cubo são iguais e que p₃ fica perpendicular a p_ρ;

– representou-se o vértice A’ da pirâmide pelas suas projeções (1 e 2). Note que as outras arestas, que permitem determinar B’, C’ e D’ são iguais a [AA’], pelo que basta copiar as suas projeções.

– representou-se o cubo, num tom mais escuro, atendendo às invisibilidades observadas.

Desenho de Inês Mendes, do 11AV1.

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SÓLIDOS III - PIRÂMIDE COM BASE CONTIDA NUM PLANO PASSANTE

Represente, pelas suas projeções, um hexágono regular, com a base contida num plano de passante ρ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o centro da base é o ponto O(3,5;5;3);

– os arestas da base medem 3,5 m.

Considerando que o hexágono [ABCDEF] é a base de uma pirâmide com 7 cm de altura, represente o sólido pelas suas projeções.

Breves passos de resolução:
– Representa-se o plano ρ a partir dos seus dados, que fica definido pelo eixo x e pelo ponto O;
– rebate-se o ponto O, usando o triângulo de rebatimento. A charneira escolhida foi o traço horizontal do plano – h_ρ;
– determinam-se os restantes vértices da base – A, B, C, D, E e F – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices A, B, C, D, E e F. Note que os pontos B e E têm o mesmo afastamento e a mesma cota do centro O, o que facilita a sua representação através das suas projeções. Os pontos A e D têm o mesmo afastamento e a mesma cota, passando-se o mesmo com os pontos C e D. Este conhecimento permite representar os seis vértices da base pelas suas projeções, usando apenas uma reta passante, para inverter o rebatimento da base, a passar (por opção) por A, O e D;
– depois, representou-se o traço de perfil do plano (p_ρ) e a terceira projeção do ponto O, por onde passa, em seguida a reta p, perpendicular ao plano, que permite representar a altura da pirâmide em VG e determinar V₃. Note que p₃ fica perpendicular a p_ρ;

– representou-se o vértice V da pirâmide pelas suas projeções (1 e 2) e representou-se a pirâmide, num tom mais escuro (na imagem a vermelho), atendendo às invisibilidades observadas.

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