BOM NATAL e PRÓSPERO ANO 2015.
domingo, 21 de dezembro de 2014
TESTE Nº 2 - 2014/2015 - ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
1.
Determine
as suas projeções do ponto I, traço
da reta b no plano bissetor dos
diedros pares (β2,4).
Dados
– a reta b é paralela ao plano δ;
– a reta b contém o ponto P(–7;7;–2);
– a projeção horizontal da reta b
faz um ângulo de 450, de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano δ está definido pelos pontos R(3;6;3),
S(0;6;5) e T(–3;1;5).
2.
Determine
as projeções e a verdadeira grandeza da distância do
ponto P ao plano oblíquo α.
Dados
– P(–2;2;7);
– o plano α é
definido pelo ponto R e pela reta
frontal f;
– o ponto R pertence ao eixo x e tem 2 de abcissa;
– a reta f faz um ângulo de 450 (a.e.) com o
plano horizontal de projeção e o seu traço horizontal é o ponto H, com –2
de abcissa e 4 de afastamento.
3.
Represente,
pelas suas projeções, uma pirâmide
regular de base triangular [ABC]
situada num plano de rampa ω.
Identifique, a
traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados
– vértice A (5; 3; 6);
– o traço
horizontal do plano ω
tem 9 de afastamento;
– o vértice B tem 3 de abcissa e 8 de afastamento;
– o vértice C tem abcissa negativa;
– o vértice V do sólido pertence ao Plano Horizontal de Projeção.
4.
Determine as
projeções da reta i resultante da
interseção entre os planos δ e α.
Dados
– o plano δ é
definido pelo ponto A (–4; 4; 2) e pela reta g;
– a reta g é
fronto-horizontal com 2 de afastamento e 4 de cota;
– o plano α contém
o ponto K do eixo x com 5 de abcissa e o seu traço frontal faz um
ângulo de 600, de abertura para a esquerda, com este eixo;
– o plano α é
oblíquo e perpendicular ao β2,4, bissetor dos diedros pares.
sexta-feira, 28 de novembro de 2014
ESTRUTURA PARCIAL DO TESTE Nº 2 - 2014/2015
Estrutura parcial do teste sumativo nº 2:
- Sólidos com bases contidas em planos oblíquos ou de rampa
- Paralelismo
- Distância de um ponto a um plano oblíquo
- ???
Bom trabalho a todos.
quinta-feira, 20 de novembro de 2014
SÓLIDOS III – PRISMA COM BASES CONTIDAS NUM PLANO DE RAMPA – 3ª PROJEÇÃO
Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrandgular,
situado no 1º diedro.
Dados:
– os pontos A(0;3;2) e B(4;5;0) são dois vértices consecutivos
do quadrado da base [ABCD], contido
num plano de rampa ρ.
Proposta de resolução – 3ª projeção (de perfil):
Breves passos de resolução:
– representam-se os pontos A e B, em função das
suas coordenadas. Note que B
pertence ao traço horizontal (tem cota nula). O traço frontal foi determinado a partir de uma reta que contém os dois pontos (o traço frontal do plano passa no traço frontal da reta representada em A e B;
– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto B fica imediatamente rebatido, em
função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα);
– determinam-se os restantes vértices da base – C e D –
em verdadeira grandeza;– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D;
– pelo ponto A (qualquer ponto podia ser escolhido) representou-se uma reta perpendicular ao plano, que é necessariamente uma reta de perfil;
– representou-se o traço de perfil – pρ;
– representou-se a projeção de perfil do ponto A e por esta representou-se a 3ª projeção da reta de perfil perpendicular ao plano;
– marcou-se a altura do prisma, determinando o ponto A' na 3ª projeção (de perfil) da outra base do prisma;
–representou-se o ponto A' pelas suas projeções frontal e horizontal;
– as distâncias entre A e A' nas suas projeções frontal e horizontal marcadas em B', C' e D' permitiram determinar os restantes pontos da outra base do prisma e representar o sólido pelas suas projeções, atendendo às invisibilidades.
Note que existem diferenças consideráveis entre o uso da 'projeção de perfil' e o 'rebatimento' anteriormente usado, que justifica o estudo separado e aprofundado, uma vez que se apresenta como um alternativa muito válida.
domingo, 16 de novembro de 2014
SÓLIDOS III – PIRÂMIDE COM BASE CONTIDA NUM PLANO DE RAMPA
Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, com
a base contida num plano de rampa e situada no 1º diedro.
Dados:
– os pontos A(1;3) e C(5;0) são dois vértices opostos do
quadrado [ABCD] da base, ficando A 3 cm à esquerda de C;
– a pirâmide mede 8 cm de altura.
Proposta de resolução:
Breves passos de resolução:
– representam-se os pontos A e C, em função
das suas coordenadas;
– os pontos A e C permitem representar uma reta oblíqua, cujos traços possibilitam a representação do plano. Note que apenas se determinou o traço frontal da reta r, uma vez que o ponto C era o traço horizontal;
– determinam-se os restantes vértices da base – B e D – em
verdadeira grandeza. Optou-se pela determinação do centro de base e pela
inversão do seu rebatimento, uma vez que o ponto O ajudava na inversão do
rebatimento da reta que contém B e D. Note que o
centro O pertence às duas retas, que suportam as diagonais do
quadrado;
– inverte-se o rebatimento dos vértices B e D. Representou-se o quadrado [ABCD] da base pelas suas projeções;
– inverte-se o rebatimento dos vértices B e D. Representou-se o quadrado [ABCD] da base pelas suas projeções;
– a partir do ponto O representou-se uma reta p,
perpendicular ao plano. Trata-se necessariamente de uma reta de perfil;
– rebateu-se a reta p, através de um plano projetante, que é de perfil, sem outra opção disponível. Para este rebatimento representou-se a reta i de interseção do plano de perfil com o plano de rampa, que é novamente uma reta de perfil. Assim rebateu-se a reta i através do rebatimento dos seus traços (F e H) e o ponto O (este ponto pertence simultaneamente às duas retas de perfil). A reta p é perpendicular à reta i no ponto O, uma vez que a reta é perpendicular ao plano no ponto O, pelo que é perpendicular a todas as retas do plano de rampa que passam em O;
– a partir de O rebatido marcou-se a distância de 8 cm, que corresponde à altura da pirâmide, determinando-se o vértice V da pirâmide;
– inverteu-se o rebatimento de V e representou-se a pirâmide pelas suas projeções, atendendo às invisibilidades.
CUBO SITUADO NUM PLANO OBLÍQUO
Represente, pelas suas projeções, um cubo
contido num plano oblíquo α e
situado no 1º diedro.
Dados:
– os pontos A(4;0) e B(0;3) são dois vértices consecutivos da
face do cubo [ABCD];
– os traços, frontal e horizontal, do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 450(a.e.) e 600(a.e.)
com o eixo x.
Proposta de resolução:
Breves passos de resolução:
– representa-se o plano pelos seus traços, a partir dos dados fornecidos;
– representam-se os pontos A e B, em função
das suas coordenadas. Note que A
pertence ao traço horizontal (tem cota nula) e B pertence ao
traço frontal (tem afastamento nulo);
– rebatem-se os pontos A e B. Note que o
ponto A fica imediatamente rebatido, uma vez que pertence à charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα);
– determinam-se os restantes vértices da face – C e D –
em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D;
– por um dos pontos da face representada, neste caso por opção o ponto B, representou-se uma reta ortogonal ao plano;
– rebateu-se a reta p, perpendicular ao plano, através de um de topo (podia ter sido vertical). Para isso rebateu-se o ponto B e o ponto da charneira (traço horizontal da reta p - ponto H) que fica por isso de imediato rebatido;
– a partir de Br marcou-se a verdadeira grandeza da aresta (no cubo as arestas são todas iguais), obtendo B' e inverteu-se o rebatimento deste ponto;
– marcou-se uma aresta igual à de [BB'], nas duas projeções, nos restantes pontos e representou-se o cubo.
SÓLIDOS III – REPRESENTAÇÃO DE PIRÂMIDES COM BASES CONTIDAS EM PLANOS OBLÍQUOS
Considere um quadrado [ABCD] contido num plano oblíquo α,
que é a base de uma pirâmide quadrangular, situada no 1º diedro.
Dados:
– os pontos A(4;0) e B(0;3) são dois
vértices consecutivos do quadrado da base;
– o traço frontal do plano faz um ângulo de 400 (a.e.)
com o eixo x e o traço horizontal faz um ângulo de 600 com
o mesmo eixo;
– a pirâmide mede 7 cm de altura.
Proposta de resolução:
Breves passos de resolução:
– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula) e B pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo);
– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα;
– determinam-se os restantes vértices da base – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D. Note que, pelo facto de a base ser um quadrado, o centro O pode determinar-se diretamente nas projeções da base, a partir das diagonais do quadrado;
– depois de representado o quadrado pelas suas projeções, determinou-se o centro da base, necessário à representação do eixo da pirâmide;
– pelo centro da base O representa-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hα e p2 fica perpendicular a fα) ;
– o eixo da pirâmide, contido na reta p, pertence a uma reta oblíqua, pelo que é necessário efetuar um 2º rebatimento, a partir de um plano projetante que contenha a reta. Optou-se por um plano de topo. Note que para rebater a reta p foi usado o rebatimento de O e o ponto da reta que pertence à charneira de rebatimento;
– a partir de Or marca-se a altura da pirâmide – 7 cm – obtendo-se Vr (vértice do sólido rebatido);
– inverte-se o rebatimento de V e representa-se o mesmo pelas suas projeções;
– representa-se a pirâmide (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades. Note que o vértice é visível em ambas as projeções e o contorno aparente (horizontal e frontal) fica sempre a traço contínuo.
– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula) e B pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo);
– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα;
– determinam-se os restantes vértices da base – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D. Note que, pelo facto de a base ser um quadrado, o centro O pode determinar-se diretamente nas projeções da base, a partir das diagonais do quadrado;
– depois de representado o quadrado pelas suas projeções, determinou-se o centro da base, necessário à representação do eixo da pirâmide;
– pelo centro da base O representa-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hα e p2 fica perpendicular a fα) ;
– o eixo da pirâmide, contido na reta p, pertence a uma reta oblíqua, pelo que é necessário efetuar um 2º rebatimento, a partir de um plano projetante que contenha a reta. Optou-se por um plano de topo. Note que para rebater a reta p foi usado o rebatimento de O e o ponto da reta que pertence à charneira de rebatimento;
– a partir de Or marca-se a altura da pirâmide – 7 cm – obtendo-se Vr (vértice do sólido rebatido);
– inverte-se o rebatimento de V e representa-se o mesmo pelas suas projeções;
– representa-se a pirâmide (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades. Note que o vértice é visível em ambas as projeções e o contorno aparente (horizontal e frontal) fica sempre a traço contínuo.
FIGURAS PLANAS III - CONTIDAS EM PLANOS OBLÍQUOS
Represente, pelas suas projeções, um quadrado
[ABCD], contido num plano oblíquo Ψ e situado no 1º diedro.
Dados:
– os pontos A(0;3) e B(2;0) são dois vértices consecutivos
do quadrado;
– o plano Ψ é ortogonal ao β2,4 e o seu traço
horizontal faz um ângulo de 550 (a.e.).
Proposta de resolução - Método proposto - REBATIMENTO DOS TRAÇOS DO PLANO:
Breves passos de resolução:
– representa-se o plano pelos seus traços, a partir do ângulo do traço horizontal. Note que os traços ficam coincidentes, pois o plano Ψ é ortogonal ao β2,4;
– representam-se os pontos A e B, diretamente nos traços frontal e horizontal, pois têm respetivamente zero de afastamento e de cota;
– rebate-se o plano pelos seus traços, conforme a proposta de resolução. A charneira é o traço horizontal, pelo que fica de imediato rebatido e o traço frontal foi rebatido, de acordo com a aprendizagem feita na sala de aula, abrindo o compasso de K e A2, rebatendo até ao plano ortogonal que contém A;
– rebatem-se os pontos A e B, sendo que B fica de imedaito rebatido por pertencer à charneira escolhida;
– determina-se o quadrado em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos pontos C e D, representando-se o quadrado pelas suas projeções conforme era pedido no enunciado.
domingo, 2 de novembro de 2014
TESTE SUMATIVO Nº 1 - 2014-2015
ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:
1.
Determine as projeções da reta p perpendicular ao plano
α.
Dados
– o plano α contém o ponto A(3;3;4) e a reta r;
– a reta r contém os pontos R(0;5;–5)
e S(–4;–4;4);
– a reta p contém o ponto A.
2.
Determine os
traços do plano θ paralelo ao plano α.
Dados
– o plano α é definido pelos pontos A, B e C;
– o ponto A, com 3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β1,3,
bissetor dos diedros ímpares;
– o ponto B, com –6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β2,4,
bissetor dos diedros pares;
– ponto C (–8; 4; –4);
– o plano θ contém o ponto P (–2; 2; –6).
3.
Determine as
projeções da reta i resultante da
intersecção entre os planos δ e α.
Dados
− o plano δ é de rampa e está definido pelo ponto
A(–4;4;2) e pela reta g;
− a reta g é fronto-horizontal com 2 de
afastamento e 4 de cota;
− o plano α contém o ponto K do eixo x com 5 de
abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 600, de
abertura para a
esquerda, com este eixo;
− o plano α é oblíquo e perpendicular ao β2,4, bissetor dos diedros
pares.
4.
Represente o quadrado [ABCD], situado
no 1º diedro.
Dados
– o
quadrado está contido num plano de rampa ρ.
– os pontos A(1;1;7) e C(–1;4;2) definem uma
das diagonais do quadrado.
1.
Determine as projeções da reta p perpendicular ao plano
α.
Dados
– o plano α contém o ponto A(–3;3;4) e a reta r;
– a reta r contém os pontos R(0;5;–5)
e S(4;–4;4);
– a reta p contém o ponto A.
2.
Determine os
traços do plano θ paralelo ao plano α.
Dados
– o plano α é definido pelos pontos A, B e C;
– o ponto A, com –3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao
β1,3, bissetor dos diedros ímpares;
– o ponto B, com 6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β2,4,
bissetor dos diedros pares;
– ponto C (8; 4; –4);
– o plano θ contém o ponto P (2; 2; –6).
3.
Determine as
projeções da reta i resultante da
intersecção entre os planos δ e α.
Dados
− o plano δ é de rampa e está definido pelo ponto
A(4;4;2) e pela reta g;
− a reta g é fronto-horizontal com 2 de
afastamento e 4 de cota;
− o plano α contém o ponto K do eixo x com –5 de abcissa e o
seu traço frontal faz um ângulo de 600, de
abertura para a direita,
com este eixo;
− o plano α é oblíquo e perpendicular ao β2,4, bissetor dos diedros
pares.
4.
Represente o quadrado [ABCD], situado
no 1º diedro.
Dados
– o
quadrado está contido num plano de rampa ρ.
– os pontos A(–1;1;7) e C(1;4;2) definem uma
das diagonais do quadrado.
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