SOMBRAS - SOMBRA DE FIGURAS PLANAS - TRIÂNGULO, RETÂNGULO E PENTÁGONO

 1.
Considere o triângulo definido pelos pontos A(2;3;9), B(-1;5;3) e C(4;7;2).
Determine a sombra projetada do triângulo nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional.

Breves passos de resolução:

- Representa-se o triângulo a partir dos seus dados.  Note que não é relevante definir o plano que contém a figura plana.

- Determina-se a sombra real dos 3 pontos.
- A sombra real do segmento [BC] encontra-se no PHP (Plano Horizontal de Projeção), não existindo ponto de quebra, ao passo que  [AC] e  [AB] apresentam ponto de quebra na sua sombra real.

- Para determinação dos pontos de quebra referidos, recorreu-se, por opção, à sombra virtual do ponto A. Note que este ponto A liga a B e C, justificando a escolha.

- A sombra projetada, nos dois planos de projeção, é representada recorrendo a uma mancha uniforme, aqui simbolizada pela mancha vermelha do desenho.

 2.
Considere o retângulo contido num plano frontal, definido pelos pontos A(2;4;0) e B. O ponto B pertence ao β_1,3 e tem 4 cm de abcissa. Os lados maiores do retângulo medem 6 cm.
Determine a sombra projetada do retângulo nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional. 

Breves passos de resolução:

- Representa-se o retângulo a partir dos seus dados.  Note que a figura plana está contida num plano frontal.

- Determina-se a sombra real dos 4 pontos. Observe que a sombra do ponto B pertence ao eixo x.

- A sombra do retângulo inclui pontos de quebra, que se determinaram, por opção, recorrendo à sombra virtual do ponto C. Note que, pelo facto de o retângulo estar contido num plano frontal, a parte da sombra projetada no plano frontal de projeção é paralela à projeção frontal do retângulo, nos lados correspondentes, a saber: [BsCs2] na sua totalidade e [Cs2Ds1] na parte que está no PFP.

- A sombra projetada, nos dois planos de projeção, é representada recorrendo a uma mancha uniforme, aqui simbolizada pela mancha vermelha do desenho. 

 3.
Considere o pentágono [ABCDE] contido num plano frontal. O centro do pentágono é o ponto O(2;4;5) e circunferência circunscrita mede 4 cm. o raio da B. O lado de menor cota do pentágono é fronto-horizontal. Determine a sombra projetada do retângulo nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional. 

Breves passos de resolução:

- Representa-se o pentágono a partir dos seus dados.  Note que a figura plana está contida num plano frontal.

- Determina-se a sombra real dos 5 pontos. A sombra real dos pontos C e D está no plano horizontal de projeção e dos restantes pontos A, B e E.

- A sombra do retângulo inclui pontos de quebra, que se determinaram, por opção, recorrendo à sombra virtual dos pontos B e D. Note que, pelo facto de o pentágono estar contido num plano frontal, a parte da sombra projetada no plano frontal de projeção é paralela à projeção frontal do pentágono, nos lados correspondentes, a saber: [Es2As2] e [As2Bs2] na sua totalidade; [Es2Ds1] e  [Bs2Cs1] na parte que está no PFP. Estes conceitos evitavam a determinação de  qualquer sombra virtual neste exercício, apesar de surgirem determinadas para melhor compreensão. 

- A sombra projetada, nos dois planos de projeção, é representada recorrendo a uma mancha uniforme, aqui simbolizada pela mancha vermelha do desenho. 

- A parte da sombra que se encontra por trás do pentágono é invisível e representa-se  traço interrompido.

SECÇÃO DE UM CONE OBLÍQUO - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere um cone oblíquo, situado no 1º diedro.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(2;4;1) e o raio mede 3 cm;

– o vértice do cone é o ponto V(–5;2;4).

Determine o sólido resultante da secção produzida na pirâmide por um de topo, que corta o eixo x num ponto com 3,5 de abcissa e passa no vértice V do sólido. Considere a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o plano da base.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

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SECÇÃO DE UM CONE DE REVOLUÇÃO - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro e com a base contida no Plano Horizontal de Projeção.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(3;4,5;0) e o raio mede 3,5 cm;

– a altura do cone mede 7 cm.

Determine o as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida na pirâmide por um de topo, que corta o eixo x num ponto com –1 de abcissa e faz um ângulo de 45⁰ (a.e.).

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

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SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE - PLANO SECANTE DE RAMPA

Considere uma pirâmide quadrangular oblíqua, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida no Plano Horizontal de Projeção, é o quadrado regular [ABCD];

– os pontos A(3;7;0) e C(1;1;0) pertencem a uma diagonal do quadrado da base;

– o vértice B situa-se à direita de A;

– a pirâmide mede 8 cm de altura, sendo a aresta lateral [BV] frontal e a aresta lateral [AV] de perfil;

Determine o sólido resultante da secção produzida na pirâmide por um plano de rampa ρ, cujos traços horizontal de frontal, têm respetivamente 8 de afastamento e 6 de cota, considerando a parte do sólido compreendida entre o plano secante e a base. 

USO DA 3ª PROJEÇÃO:

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SECÇÃO PRODUZIDA POR UM PLANO VERTICAL - PIRÂMIDE REGULAR

Considere uma pirâmide pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida num plano frontal, é o quadrado regular [ABCD], inscrito numa circunferência com 3 cm de raio, cujo centro é o ponto O(2;8;3)

– o vértice A pertence ao Plano Horizontal de Projeção; do pentágono, de menor abcissa, é de topo;

– o vértice V da pirâmide tem 1 cm de afastamento.

Determine as projeções e a verdadeira grandeza (V.G.) da figura da secção produzida por um plano vertical δ que faz um diedro de 45⁰ (a.e.) com o Plano Frontal de Projeção e  interseta o eixo x num ponto com –2,5 de abcissa.

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TESTE SUMATIVO Nº 3

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.       Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de rampa θ.

Dados

– o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (0; 2; 5);

– a reta de perfil p do plano θ contém o ponto O e tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;

– o vértice A do pentágono é o traço frontal da reta p.

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas p e f, concorrentes no ponto B.

Dados

– a reta p de perfil é definida pelo ponto A (2; 4; 2) e pelo ponto B com 2 de afastamento e 5 de cota;

– a reta f é frontal e faz um ângulo de 45°, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção.

   

3.       Determine as projeções e a verdadeira grandeza (V.G.) da figura da secção produzida por um plano vertical δ numa pirâmide regular de base quadrangular [ABCD] situada num plano frontal.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Dados

– o vértice A (0; 9; 0) é o de menor cota;

– a diagonal [AC] do quadrado da base é vertical e mede 10 cm;

– o vértice V do sólido pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– o plano δ contém o ponto M, ponto médio do eixo do sólido, e faz um diedro de 55°, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

4.       Desenhe as projeções de um prisma pentagonal oblíquo situado no 1º diedro.

Dados:

– uma das bases do prisma é o pentágono regular [ABCDE] contido no plano frontal de projeção;

– o centro dessa base é o ponto O(4;0;4) e o vértice A tem 4 cm de abcissa e 7 cm de cota;

– as arestas laterais do prisma são horizontais e fazem ângulos de 60⁰ (a.d.) com o Plano Frontal de Projeção;

– a altura do prisma mede 5,5 cm.

Determine as projeções do sólido resultante da secção produzida no prisma pelo plano oblíquo α cujos traços, horizontal e frontal, fazem ângulos de 25⁰ (a.e.) e 55⁰ (a.e.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com –6,5 cm de abcissa. Considere o sólido truncado que apresenta a figura da secção visível em ambas as projeções.

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QUESTÃO DE AULA Nº 2 - 11AV1/11CT2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre a reta horizontal h e o plano ω.

Dados

– o plano ω está definido por uma das suas retas de maior declive d;

– o traço horizontal da reta d tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;

– a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o traço frontal da reta d tem – 4 de cota;

– a reta h contém o ponto P(0;–1;7) e faz um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO: