EXAME DE GEOMETRIA DESCRITIVA A - 1ª FASE DE 2016

Enunciado e proposta de resolução:

1.  Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta r com o plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(5;–2;3) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;

– o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 35º, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a reta r contém o ponto P(–7;0;0);

– a projeção horizontal da reta r é perpendicular ao traço horizontal do plano α;

– a projeção frontal da reta r é paralela ao traço frontal do plano α.

Nota: o plano projetante de topo (por opção) poderia ser vertical.

2.  Determine a amplitude do ângulo definido entre os planos π e θ.

Destaque, a traço mais forte, as semirretas que definem o ângulo.

Dados

– o plano π é de perfil com –4 de abcissa;

– o plano θ é definido pela reta de maior declive d, que contém o ponto A(0;3;2);

– as projeções horizontal e frontal da reta d fazem, respetivamente, um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, e um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o eixo x.

Nota: Poder-se-ia ter optado por rabater as duas retas para o plano frontal que contivesse a reta p.

3.  Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide oblíqua de base quadrada, situada no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, a aresta invisível do sólido resultante.

Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, as projeções visíveis da secção.

Dados

– a base da pirâmide [ABCD] pertence ao Plano Frontal de Projeção;

– o vértice A é um ponto do eixo x com 6 de abcissa;

– a aresta [AB] define um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção;

– o vértice B tem abcissa nula;

– a aresta lateral [AV] é de topo e o vértice V tem 8 de afastamento;

– o plano ρ está definido pelos seus traços horizontal e frontal com, respetivamente, 6 de afastamento e 7 de cota.

  

Notas: 

- optou-se pela projeção (três) de perfil, mas poder-se-ia ter resolvido o exercício pelo médoto geral de interseção de retas com planos;

- a projeção de perfil do sólido resultante surge a vemelho (que simboliza o traço mais escuro) apenas para mais fácil leitura do desenho.

4.  Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadradas.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

dimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com as projeções axonométricas dos eixos y e z.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para   cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

os dois prismas são iguais, com arestas paralelas aos eixos coordenados, e têm 2 cm de altura;

o vértice A(8;8;0) e o vértice B(8;8;7) definem a aresta de maior abcissa e de maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz;

o outro prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xz, e o vértice B é o de maior abcissa da aresta de menor cota da base de maior afastamento.

FIM

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TESTE SUMATIVO Nº 6 - 2015/2016

1.      Determine os traços do plano α perpendicular ao plano de rampa δ.

Dados

– o plano δ é definido pelo seu traço horizontal com 6 de afastamento e pelo ponto A;

– o ponto A, com 6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, β13;

– o plano α contém o ponto P(0;9;8);

– o traço frontal do plano α forma um ângulo de 45⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x..

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas p e f, concorrentes no ponto B.

Dados

– a reta p de perfil é definida pelo ponto A(2;4;2) e pelo ponto B com 2 de afastamento e 5 de cota;

– a reta f é frontal e faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção.

  

3.   Determine a sombra própria e a sombra real de uma pirâmide triangular regular de base frontal, nos planos de projeção, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projeção, quer as projeções do prisma.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.  

Dados

– o ponto A(4;7;3) é um dos vértices da base [ABC]

– o vértice V da pirâmide tem 0 de abcissa, 1,5 de afastamento e 4,5 de cota.

4.    Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140⁰ com a projeção do eixo z e um ângulo de 130⁰ com o eixo x;

– as projetantes fazem ângulos de 50⁰ com o plano axonométrico.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

– as bases do prisma pertencem a planos frontais;

– o ponto A(12;6;0) e o ponto B(6;6;0) são os vértices da aresta de menor cota da base de maior afastamento do prisma;

– o prisma tem 2 cm de altura.

Prisma triangular:

– o ponto R(6;2;6) e o ponto S(6;8;6) são os vértices da aresta de maior abcissa da base de maior cota do prisma;

– a outra base do prisma pertence ao plano coordenado xy.

TESTE SUMATIVO Nº 5 - 2015/2016

11º AV1/CT2

1.      Determine, graficamente, a distância do ponto P à reta de perfil b.

Dados

– ponto P(4;4;–4);

– a reta b contém o ponto A(0;3;7) e faz um ângulo de 30⁰ com o Plano Frontal de Projeção;

– o traço horizontal da reta b tem afastamento positivo.

2.    Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num cone de revolução com base situada num plano horizontal.

Destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo Plano Horizontal de Projeção.

Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

Dados

– o ponto O(0;6;8) é o centro da base que tem 4 cm de raio;

– o vértice V do sólido pertence ao Plano Horizontal de Projeção;

– o plano de topo θ contém o ponto M do eixo x com 2 de abcissa e é paralelo à geratriz mais à direita do sólido.

3.   Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por um prisma regular de base quadrangular e por um cubo.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 135⁰ com as projeções dos eixos z e x;

– a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55⁰.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

– as bases do prisma pertencem a planos frontais;

– o ponto A(4;12;0) e o ponto C(9;12;5) são os vértices de uma das diagonais da base de maior afastamento do prisma;

– o prisma tem 11 cm de altura.

Cubo:

– as faces do cubo são paralelas aos planos coordenados;

– o vértice C é comum aos dois sólidos, sendo o vértice de menor abcissa, maior afastamento e maior cota do cubo;

– a aresta do cubo mede 3 cm.

4.   Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspetiva militar, de um sólido, situado no 1.º triedro, composto por um prisma hexagonal regular e um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– o eixo axonométrico z faz ângulos de 135⁰ com os eixos axonométricos x e y;

– as projetantes fazem ângulos de 50⁰ com o plano axonométrico.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma hexagonal regular:

– uma das bases está contida no plano coordenado horizontal xy;

– os pontos R(0;5;3) e S(0;10;3) definem uma aresta da base de maior cota.

Cone de revolução:

– o eixo do cone mede 10 cm e situa-se na reta que contém o eixo do prisma;

– a base, situada na base superior do prisma, tem 2 cm de raio.

11º AV2

1.       Determine a verdadeira grandeza da distância entre os planos μ e ω paralelos.

Dados

– o plano μ é de rampa e o plano ω é passante;

– os traços horizontal e frontal do plano μ têm, respetivamente, 4 de afastamento e –3 de cota.

2.     Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical θ numa pirâmide quadrangular oblíqua de base regular contida num plano frontal, situada no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte da pirâmide delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

Dados

– o ponto A(5;8;3) e o ponto B(–1;8;1) são dois dos vértices do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;

– o vértice V pertence à mesma reta de topo que contém o ponto A e tem zero de afastamento;

– o plano θ contém um ponto do eixo x com –4 de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a esquerda, com esse eixo.

   

3.    Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadrangulares.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 150⁰ com a projeção do eixo z e um ângulo de 120⁰ com a projeção do eixo x;

– a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55⁰.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas quadrangulares regulares:

– os dois prismas são iguais e têm 8 cm de altura;

Prisma 1:

– as bases do prisma são frontais;

– o ponto R(9;10;8) e o ponto S(5;10;8) definem a aresta de maior cota, da base com maior afastamento.

Prisma 2:

– as bases do prisma são horizontais;

– o ponto S e o ponto T(1;10;8) definem a aresta de maior afastamento, da base com maior cota.

4.   Represente, em axonometria clinogonal militar, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.

Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– a projeção do eixo z forma um ângulo de 140⁰ com a projeção do eixo x e um ângulo de 130⁰ com a projeção do eixo y;

– a inclinação das retas projetantes em relação ao plano axonométrico é de 50⁰.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma triangular:

– os vértices A(3;2;0) e B(10;2;0) são os de menor afastamento da base de menor cota que pertence ao plano coordenado xy;

– a altura do prisma é 2 cm.

Prisma quadrangular:

– os vértices A e B são os de menor cota da base de maior afastamento;

– a outra base pertence ao plano coordenado xz.