SECÇÕES - CILINDRO OBLÍQUO - PLANO SECANTE DE TOPO

Represente pelas suas projeções um cilindro oblíquo, de bases circulares esituado no 1º diedro.

Dados

– as bases do cilindro são paralelas ao Plano Horizontal de Projeção;

 – o centro de uma das bases é o ponto O(0;3,5;3) e o ponto A, com 3,5 de abcissa e 3,5 de afastamento é um dos pontos da circunferência dessa base;

– o centro da outra base é o ponto O’(0;7;9).

Determine o as projeções da figura da secção produzida no cilindro por um de topo, que faz um ângulo de 50⁰ (a.d.) e contém o ponto A.

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se o cilindro em função dos seus dados. Note que o eixo do cilindro está contido numa reta de perfil, pelo que as geratrizes também são necessariamente de perfil;

– representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados, contendo o ponto A;

– determinam-se os 2 pontos da figura da secção produzida pelo plano secante na base de maior cota e de maior afastamento;

– determinaram-se mais 6 potos da figura da secção, recorrendo ao método dos planos paralelos às bases.  Note que sendo o eixo de perfil houve necessidade de efetuar o seu rebatimento para determinar o centro das diversas circunferências utilizadas na sua projeção horizontal.

– Poder-se-ia efetuar o rebatimento dos 9 pontos da secção de modo a determinar a sua verdadeira grandeza, o que não era pedido no exercício.

– Sublinham-se as projeções da figura da secção determinada (na imagem a vermelho).

SECÇÕES - CONE DE REVOLUÇÃO - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro e com a base contida num plano horizontal.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(–3;3,5;2) e o raio mede 3,5 cm;

– a altura do cone mede 7 cm.

Determine o as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida na pirâmide por um de topo, que corta o eixo x num ponto com 2 de abcissa e faz um ângulo de 40⁰ (a.e.).

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se o cone em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida pelo plano secante na base e o ponto do contorno aparente frontal;

– é necessário determinar (pelo menos) mais quatro pontos da secção. Optou-se pelo “método das geratrizes”, que permitiu a determinação dos quatro pontos em falta;

– efetuou-se o rebatimento dos sete pontos  da figura da secção, de modo a determinar a verdadeira grandeza da figura da secção;
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÕES - CILINDRO DE REVOLUÇÃO - PLANO SECANTE DE TOPO

Considere um cilindro de revolução, situado no 1º diedro.

Dados

– uma das bases do cilindro está contida no Plano Horizontal de Projeção e o seu centro é o ponto O(–3;4;0);

– o raio das bases mede 2,5 cm;

– a altura do sólido mede 7 cm.

Determine o as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida no cilindro por um de topo, que faz um ângulo de 40⁰ (a.d.) e contém o ponto P com 3 de cota, pertencente ao eixo do cilindro.

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se o cilindro em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se 8 os pontos da figura da secção produzida pelo plano secante, que permitem efetuar o seu rebatimento de modo a determinar graficamente a verdadeira grandeza (V.G.). Note que em projeção horizontal a figura da secção é um círculo e em V.G. é uma elipse;
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE REGULAR - PLANO SECANTE: DE TOPO

Considere uma pirâmide hexagonal regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida num Plano frontal, é o hexágono regular [ABCDEF];

– o centro da base é o ponto O(1;2;4) e o ponto A(4;2;4) é um vértice do hexágono da base;

– a pirâmide tem 7 cm de altura.

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção, produzida na pirâmide por um plano de topo θ, com 5 de abcissa e que faz um ângulo de 55⁰ (a.e.).

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se a pirâmide em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante de topo, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida. Existem 2 pontos (K e L) que pertencem às arestas laterais da pirâmide e 2 pontos (J e M) que pertencem à base. Note que devido ao facto de o plano ser projetante os pontos são diretamente determinados;
– Rebatem-se os pontos da figura da secção para determinar a sua verdadeira grandeza (V.G.);
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE REGULAR - PLANO SECANTE: VERTICAL

Considere uma pirâmide hexagonal regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida num Plano frontal, é o hexágono regular [ABCDEF];

– o centro da base é o ponto O(1;2;4) e o ponto A(4;2;4) é um vértice do hexágono da base;

– a pirâmide tem 7 cm de altura.

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção, produzida na pirâmide por um plano vertical θ, com –3 de abcissa e que faz um ângulo de 45⁰ (a.e.). 

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se a pirâmide em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante vertical, de acordo com os dados indicados;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida. Existem 5 pontos (A’, B’, C‘, E’ e F’) que pertencem às arestas laterais da pirâmide e 2 pontos (M e N) que pertencem à base. Note que devido ao facto de o plano ser projetante os pontos são diretamente determinados;
– Rebatem-se os pontos da figura da secção para determinar a sua verdadeira grandeza (V.G.);
– Sublinham-se as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção determinada (na imagem a vermelho). 

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE OBLÍQUA - PLANO SECANTE: FRONTAL

Considere uma pirâmide hexagonal oblíqua, situada no 1º diedro.

Dados

– a base do sólido, contida no Plano frontal de Projeção, é o hexágono regular [ABCDEF];

– o centro da base é o ponto O(1;0;4) e o ponto A(4;0;4) é um vértice do hexágono da base;

– o vértice da pirâmide é o ponto V(–3;7;5).

Determine o sólido resultante da secção produzida na pirâmide por um plano frontal ϑ, com 3 de afastamento, considerando a parte do sólido compreendida entre o plano secante e a base.

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representa-se a pirâmide em função dos seus dados;

– Representa-se o plano secante frontal, com 3 de afastamento;

– Determinam-se os pontos da figura da secção produzida, que pertencem às arestas laterais da pirâmide. Note que devido ao facto de o plano ser projetante os pontos são diretamente determinados;
– Rebatem-se os pontos da figura da secção para determinar a sua verdadeira grandeza (V.G.);
– Sublinha-se o sólido resultante (na imagem a vermelho). 

QUESTÃO DE AULA Nº 2 - 2015/2016

11AV2

Determine a amplitude do ângulo entre as direções das retas a e b.

Dados

– a reta a contém o ponto P(2;6;3);

– as projeções horizontal e frontal da reta a fazem ângulos de 60⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a reta b é horizontal, contém o ponto S(–6;5;2) e forma um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

11AV1/CT2 - Versão A

Determine a amplitude do ângulo entre o Plano Frontal de Projeção e o plano oblíquo ω.

Dados

– o plano ω é definido pelo ponto A(–4;6;5) e por uma reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto B(0;4;2) e forma um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção.

11AV1/CT2 - Versão A

Determine a amplitude do ângulo entre o Plano Horizontal de Projeção e o plano oblíquo ω.

Dados

– o plano ω é definido pelo ponto A(–4;6;5) e por uma reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto B(0;4;2) e forma um ângulo de 50⁰, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção.

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ÂNGULO ENTRE UMA RETA E UM PLANO – MÉTODO DO ÂNGULO COMPLEMENTAR

Determine a verdadeira grandeza do ângulo entre um plano oblíquo α e uma reta oblíqua r.

Dados

– O traço frontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 40⁰ (a.d.) e o traço horizontal faz um ângulo de 35⁰ (a.d.);

 – A projeção frontal da reta r faz um ângulo de 25⁰ (a.e.) e o traço horizontal (H) situa-se 12 cm à direita do plano α;

– A projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 30⁰ (a.e.) e o traço frontal (F) situa-se 1 cm à esquerda do traço horizontal (H). 

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

BREVES PASSOS DE RESOLUÇÃO

– Representam-se a reta r e o plano oblíquo α em função dos seus dados;

– Num ponto aleatório da reta r (ponto P no exercício) representou-se uma reta p, perpendicular ao plano; 

– Rebateram-se as duas retas, r e p, segundo a charneira escolhida, que é o plano horizontal β de cota aleatória;
– O ângulo determinado é posteriormente subtraído a 90⁰ de modo a determinar o ângulo α, na imagem representado a vermelho.

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ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS (ENVIESADAS)

Determine a verdadeira grandeza do ângulo entre duas retas oblíquas, m e n.

Dados

– A reta m contém o ponto A(4;4;2) e o seu traço frontal tem 0 de abcissa e 4 de cota;

 – A reta n é paralela ao β_2,4, o seu traço horizontal tem –3 de abcissa e 4 de afastamento;

– A projeção horizontal da reta n faz um ângulo de 60⁰ (a.d.) com o eixo x.

Proposta de resolução

Breves passos de resolução

– Representa-se uma reta n’ paralela à reta n e concorrente com a reta m. Poder-se-ia ter optado por uma reta paralela à reta m e concorrente com a reta n;

– Rebateram-se as duas retas para o plano horizontal de projeção, cuja charneira (escolhida) foi o traço horizontal do plano definido pelas duas retas m e n’;
– O ângulo surge na imagem representado a vermelho.

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