QUESTÃO DE AULA Nº 2 - GDA 11º ANO

Versão 1

Leia atentamente para que não tenha dúvidas quanto ao que se pede e tenha muito cuidado na interpretação dos enunciados. Tenha cuidado na apresentação do trabalho proposto.

Determine, graficamente,  a amplitude do ângulo α, formado pela reta r e pelo plano oblíquo β.

Dados

– o plano oblíquo β contém os pontos F(5;0;7), G(9;0;0) e H(6;2;0);

– a reta r contém o ponto Z(-5;1;2);

– as projeções, horizontal e frontal, da reta r fazem, respetivamente, ângulos de 35⁰ e 45⁰, ambos com abertura para a esquerda.

 Versão 2

Leia atentamente para que não tenha dúvidas quanto ao que se pede e tenha muito cuidado na interpretação dos enunciados. Tenha cuidado na apresentação do trabalho proposto.

Determine, graficamente,  a amplitude do ângulo α entre o plano de topo θ e o plano oblíquo β.

Dados

– o plano oblíquo β contém os pontos F(5;0;7), G(9;0;0) e H(6;2;0);

– o plano de topo θ corta o eixo x num ponto com –2 cm de abcissa e faz um diedro de 30⁰ de abertura para a direita com o plano horizontal de projeção.

SITES INDICADOS

Caros alunos, no âmbito de uma melhor preparação do exame de 2014 indico os seguintes sites:

http://www.aproged.pt/examesgeometria.html


http://veraviana.net/


http://www.paraescolar.pt/geometria-descritiva-11-ano/guia-de-estudo-geometria-descritiva-a-11-ano?id=9571736&idAno=9026&indep=0&tema=tex


http://www.gave.min-edu.pt/np3/np3/451.html


http://www.gave.min-edu.pt/np3/np3/451.html

Bom estudo.

ÂNGULO ENTRE UM PLANO OBLÍQUO E O PHP E PFP

1. Considere um plano de oblíquo α, cujos traços horizontal e frontal fazem ângulos de 40⁰ (a.d.) e de 55⁰ (a.d.), com o eixo x.
Determine o ângulo formado pelo plano oblíquo α com o PHP (plano horizontal de projeção).

Breves passos de resolução:

- Representa-se o plano a partir dos seus dados.

- Recorreu-se a uma das retas de maior declive do plano para determinar o ângulo. Note que d₁ é perpendicular h_α.

- Incluiu-se a reta de maior declive d num plano projetante horizontal.

- Rebateu-se a reta d e o plano vertical para o plano frontal de projeção.

- O ângulo determinado situa-se entre h_γ e d_r.

2. Considere um plano de oblíquo α, cujos traços horizontal e frontal fazem ângulos de 40⁰ (a.d.) e de 55⁰ (a.d.), com o eixo x.
Determine o ângulo formado pelo plano oblíquo α com o PFP (plano frontal de projeção).

Breves passos de resolução:

- Representa-se o plano a partir dos seus dados.

- Recorreu-se a uma das retas de maior inclinação do plano para determinar o ângulo. Note que i₂ é perpendicular f_α.

- Incluiu-se a reta de maior inclinação i num plano projetante frontal.

- Rebateu-se a reta i e o plano frontal para o plano horizontal de projeção.

- O ângulo determinado situa-se entre h_θ e i_r.

Ângulo entre uma reta e um plano

1. Considere a reta oblíqua r e o plano de topo θ.

A reta r é paralela ao β_1,3, contém o ponto A(0;3;4) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 30⁰ (a.d.) com o eixo x.

O plano θ corta o eixo x num ponto com –2 cm de abcissa e faz um diedro de 30⁰ (a.e.) com o plano horizontal de projeção.

Determine o ângulo formado pela reta r e pelo plano θ.   

Breves passos de resolução:

- Representa-se a reta e o plano dados, a partir dos seus dados.
- No ponto A da reta r (aproveitou-se a sua existência, mas poderia ter sido outro ponto qualquer) representou-se a reta p perpendicular ao plano.

- Determinou-se o ângulo entre as duas retas (concorrentes no ponto A).
- Rebateram-se as duas retas (r e p), para o plano frontal que contém a reta p. Como a reta p é frontal fica imediatamente rebatida na sua projeção frontal (p₂≡p_r). Uma vez que o ponto A pertence à charneira fica de imediato rebatido, pelo que rebatendo o ponto P (qualquer) da reta r efetua-se o seu rebatimento.

- O ângulo determinado é 90⁰ – α⁰. O ângulo procurado é α⁰, que se determina pelo método do ângulo complementar (é o que falta para chegar a (90⁰ ).

2. Considere um plano de oblíquo α qualquer e uma reta oblíqua r aleatória e não pertencente ao plano.

Breves passos de resolução:

- Representa-se a reta e o plano, de acordo com o que se observa na imagem acima.
- Num ponto P qualquer da reta r representou-se a reta p perpendicular ao plano.

- Determinou-se o ângulo entre as duas retas (concorrentes no ponto P).
- Rebateram-se as duas retas (r e p), para um plano horizontal β aleatoriamente escolhido. A charneira de rebatimento (reta e) ficou definida pelos pontos M e N, pelo que ficam imediatamente rebatidos (M₁≡M_r e N₂≡N_r). Rebatendo o ponto P, de concorrência da duas retas obtivemos as duas retas rebatidas.

- O ângulo determinado é 90⁰ – α⁰. O ângulo procurado é α⁰, que se determina pelo método do ângulo complementar (é o que falta para chegar a (90⁰ ).

3. Considere a reta oblíqua r e o plano de perfil π.

- A reta r é paralela ao β_1,3, contém o ponto A(0;3;4) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 30⁰ (a.d.) com o eixo x.
- O plano de perfil tem –2 cm de abcissa.

Breves passos de resolução:

- Representa-se a reta e o plano dados, a partir dos seus dados.
- No ponto A da reta r (aproveitou-se a sua existência, mas poderia ter sido outro ponto qualquer) representou-se a reta p perpendicular ao plano (trata-se de uma reta fronto-horizontal).

- Determinou-se o ângulo entre as duas retas (concorrentes no ponto A).
- Rebateram-se as duas retas (r e p), para o plano frontal que contém a reta p. Como a reta p é fronto-gorizontal fica imediatamente rebatida na sua projeção frontal (p₂≡p_r). Uma vez que o ponto A pertence à charneira fica de imediato rebatido, pelo que rebatendo o ponto Z (qualquer) da reta r efetua-se o seu rebatimento.

- O ângulo determinado é 90⁰ – α⁰. O ângulo procurado é α⁰, que se determina pelo método do ângulo complementar (é o que falta para chegar a (90⁰ ).

ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS ENVIESADAS - SENDO UMA DE PERFIL

Considere duas retas r e p enviesadas, aleatoriamente representadas. A reta p está definida pelas suas projeções e pelos pontos A e B (de coordenadas aleatórias).
Determine o ângulo formado pelas duas retas.

Breves passos de resolução:

- Representam-se as duas retas enviesadas, cujos dados são aletórios. A reta p está definida pelas suas projeções e pelos pontos A e B.
- Representou-se uma reta r', paralela à reta r e concorrente com a reta p no ponto A por opção (podiam ser concorrentes em B).
- Rebateram-se as duas retas (r' e p), para o plano horizontal β, que contém o ponto B, cuja charneira de rebatimento é a reta horizontal e.
- Os pontos B e C (assim designados por opção) pertencem à charneira, pelo que ficam imediatamente rebatidos, sendo apenas necesário rebater o ponto de concorrência A. Para rebater o ponto A recorreu-se ao 'triângulo de rebatimento', que nos permitiu obter Ar.
- Representamos as retas (r e s') rebatidas.

- O ângulo determinado é o ângulo menor entre r'_r e _Pr, aqui representado por β⁰.

Ângulo entre duas retas enviesadas

Considere duas retas r e s enviesadas, aleatoriamente representadas.
Determine o ângulo formado pelas duas retas.

Breves passos de resolução:

- Representam-se as duas retas enviesadas, cujos dados são aletórios.
- Representou-se uma reta s', paralela à reta s e concorrente com a reta r. A opção poderia ter sido por uma reta paralela à reta r e concorrente com a reta s.
- Rebateram-se as duas retas (r e s'), para o plano horizontal β, cuja charneira de rebatimento é a reta horizontal e.
- Os pontos R e S' (assim designados por opção) pertencem à charneira, pelo que ficam imediatamente rebatidos, sendo apenas necesário rebater o ponto de concorrência P. Para rebater o ponto P recorreu-se ao 'triângulo de rebatimento', que nos permitiu obter Pr.
- Representamos as retas (r e s') rebatidas.

- O ângulo determinado é o ângulo menor entre r_r e s’_r, aqui representado por α⁰.

MENSAGEM DE BOAS FESTAS 2013

Caros alunos e restante comunidade que, por uma razão ou por outra, frequentam este blogue, serve esta mensagem para desejar um FELIZ NATAL e um PRÓSPERO ANO NOVO 2014.

Saudações geométricas a todos !!!

DISTÂNCIA ENTRE 2 PLANOS DE RAMPA

Considere 2 planos de rampa paralelos, sabendo:

- ρ tem 2 cm de afastamento e é perpendicular ao _β1,3;

- σ tem 5 cm de cota.

Processo 1: MUDANÇA DE DIEDROS DE PROJEÇÃO

Processo 2: REBATIMENTO

Processo 3: TERCEIRA PROJEÇÃO

Note que os 3 processos utilizados conduzem ao mesmo resultado final.

TESTE SUMATIVO Nº 2 - 03-12-2013

Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine as projeções da reta p perpendicular ao plano α.               

Dados

– o plano α contém o ponto A(3;3;4) e a reta r;

– a reta r contém os pontos R(0;5;–5) e S(–4;–4;4);

– a reta p contém o ponto A.

2.       Determine os traços do plano μ paralelo ao plano δ.                               

Dados

– o plano δ contém as retas fronto-horizontais a e b;

– a reta a tem 3 de afastamento e 8 de cota;

– a reta b pertence ao bissetor dos diedros pares, β_2/4, e tem 4 de cota;

– o plano μ contém o ponto P (6; 5; 6).

3.       Determine as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados

– P(–2;2;7);

– o plano α é definido pelo ponto R e pela reta frontal f;

– o ponto R pertence ao eixo x e tem 2 cm de abcissa;

– a reta f faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o plano horizontal de projeção e o seu traço horizontal é o ponto H, com –2 cm de abcissa e 4 cm de afastamento.

4.     Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados

– a base [ABCD] está contida num plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 cm de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A(1;8) e C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 12 cm de altura.

Nota: Cada exercício vale 50 pontos, num total de 200 pontos.