ESTRUTURA PARCIAL DO TESTE Nº 2 - 2014/2015

Estrutura parcial do teste sumativo nº 2:

• Sólidos com bases contidas em planos oblíquos ou de rampa

• Paralelismo

• Distância de um ponto a um plano oblíquo

• ???

Bom trabalho a todos.

SÓLIDOS III – PRISMA COM BASES CONTIDAS NUM PLANO DE RAMPA – 3ª PROJEÇÃO

Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrandgular, situado no 1º diedro.

Dados:

– os pontos A(0;3;2) e B(4;5;0) são dois vértices consecutivos do quadrado da base [ABCD], contido num plano de rampa ρ.

Proposta de resolução – 3ª projeção (de perfil):

Breves passos de resolução:

– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que B pertence ao traço horizontal (tem cota nula). O traço frontal foi determinado a partir de uma reta que contém os dois pontos (o traço frontal do plano passa no traço frontal da reta representada em A e B; 

– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto B fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα);

– determinam-se os restantes vértices da base – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D;

– pelo ponto A (qualquer ponto podia ser escolhido) representou-se uma reta perpendicular ao plano, que é necessariamente uma reta de perfil;

– representou-se o traço de perfil – p_ρ;

– representou-se a projeção de perfil do ponto A e por esta representou-se a 3ª projeção da reta de perfil perpendicular ao plano;

– marcou-se a altura do prisma, determinando o ponto A' na 3ª projeção (de perfil) da outra base do prisma;

–representou-se o ponto A' pelas suas projeções frontal e horizontal;

– as distâncias entre A e A' nas suas projeções frontal e horizontal marcadas em B', C' e D' permitiram determinar os restantes pontos da outra base do prisma e representar o sólido pelas suas projeções, atendendo às invisibilidades.

Note que existem diferenças consideráveis entre o uso da 'projeção de perfil' e o 'rebatimento' anteriormente usado, que justifica o estudo separado e aprofundado, uma vez que se apresenta como um alternativa muito válida.

SÓLIDOS III – PIRÂMIDE COM BASE CONTIDA NUM PLANO DE RAMPA

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, com a base contida num plano de rampa e situada no 1º diedro.

Dados:

– os pontos A(1;3) e C(5;0) são dois vértices opostos do quadrado [ABCD] da base, ficando A 3 cm à esquerda de C;

– a pirâmide mede 8 cm de altura.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

– representam-se os pontos A e C, em função das suas coordenadas;

– os pontos A e C permitem representar uma reta oblíqua, cujos traços possibilitam a representação do plano. Note que apenas se determinou o traço frontal da reta r, uma vez que o ponto C era o traço horizontal;

 – rebatem-se os pontos A e C. Note que o ponto C fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano). Optou-se pelo rebatimento dos traços;

– determinam-se os restantes vértices da base – B e D – em verdadeira grandeza. Optou-se pela determinação do centro de base e pela inversão do seu rebatimento, uma vez que o ponto O ajudava na inversão do rebatimento da reta que contém B e D. Note que o centro O pertence às duas retas, que suportam as diagonais do quadrado;
– inverte-se o rebatimento dos vértices B e D. Representou-se o quadrado [ABCD] da base pelas suas projeções;

– a partir do ponto O representou-se uma reta p, perpendicular ao plano. Trata-se necessariamente de uma reta de perfil;

– rebateu-se a reta p, através de um plano projetante, que é de perfil, sem outra opção disponível. Para este rebatimento representou-se a reta i de interseção do plano de perfil com o plano de rampa, que é novamente uma reta de perfil. Assim rebateu-se a reta i através do rebatimento dos seus traços (F e H) e o ponto O (este ponto pertence simultaneamente às duas retas de perfil). A reta p é perpendicular à reta i no ponto O, uma vez que a reta é perpendicular ao plano no ponto O, pelo que é perpendicular a todas as retas do plano de rampa que passam em O;

– a partir de O rebatido marcou-se a distância de 8 cm, que corresponde à altura da pirâmide, determinando-se o vértice V da pirâmide;

– inverteu-se o rebatimento de V e representou-se a pirâmide pelas suas projeções, atendendo às invisibilidades.

CUBO SITUADO NUM PLANO OBLÍQUO

Represente, pelas suas projeções, um cubo contido num plano oblíquo α e situado no 1º diedro.

Dados:

– os pontos A(4;0) e B(0;3) são dois vértices consecutivos da face do cubo [ABCD];

– os traços, frontal e horizontal, do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 45⁰(a.e.) e 60⁰(a.e.) com o eixo x.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

– representa-se o plano pelos seus traços, a partir dos dados fornecidos;

– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula) e B pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo);

– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, uma vez que pertence à charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα);

– determinam-se os restantes vértices da face – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D;

– por um dos pontos da face representada, neste caso por opção o ponto B, representou-se uma reta ortogonal ao plano;

– rebateu-se a reta p, perpendicular ao plano, através de um de topo (podia ter sido vertical). Para isso rebateu-se o ponto B e o ponto da charneira (traço horizontal da reta p - ponto H) que fica por isso de imediato rebatido;

– a partir de Br marcou-se a verdadeira grandeza da aresta (no cubo as arestas são todas iguais), obtendo B' e inverteu-se o rebatimento deste ponto;

– marcou-se uma aresta igual à de [BB'], nas duas projeções, nos restantes pontos e representou-se o cubo.

SÓLIDOS III – REPRESENTAÇÃO DE PIRÂMIDES COM BASES CONTIDAS EM PLANOS OBLÍQUOS

Considere um quadrado [ABCD] contido num plano oblíquo α, que é a base de uma pirâmide quadrangular, situada no 1º diedro.

Dados:

 – os pontos A(4;0) e B(0;3) são dois vértices consecutivos do quadrado da base;

– o traço frontal do plano faz um ângulo de 40⁰ (a.e.) com o eixo x e o traço horizontal faz um ângulo de 60⁰ com o mesmo eixo;

– a pirâmide mede 7 cm de altura.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula) e B pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo);
– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα;
– determinam-se os restantes vértices da base – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D. Note que, pelo facto de a base ser um quadrado, o centro O pode determinar-se diretamente nas projeções da base, a partir das diagonais do quadrado;
– depois de representado o quadrado pelas suas projeções, determinou-se o centro da base, necessário à representação do eixo da pirâmide;
– pelo centro da base O representa-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hα e p2 fica perpendicular a fα) ;
– o eixo da pirâmide, contido na reta p, pertence a uma reta oblíqua, pelo que é necessário efetuar um 2º rebatimento, a partir de um plano projetante que contenha a reta. Optou-se por um plano de topo. Note que para rebater a reta p foi usado o rebatimento de O e o ponto da reta que pertence à charneira de rebatimento;
– a partir de Or marca-se a altura da pirâmide – 7 cm – obtendo-se Vr (vértice do sólido rebatido);
– inverte-se o rebatimento de V e representa-se o mesmo pelas suas projeções;
– representa-se a pirâmide (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades. Note que o vértice é visível em ambas as projeções e o contorno aparente (horizontal e frontal) fica sempre a traço contínuo.

FIGURAS PLANAS III - CONTIDAS EM PLANOS OBLÍQUOS

Represente, pelas suas projeções, um quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo Ψ e situado no 1º diedro.

Dados:

– os pontos A(0;3) e B(2;0) são dois vértices consecutivos do quadrado;

– o plano Ψ é ortogonal ao β_2,4 e o seu traço horizontal faz um ângulo de 55⁰ (a.e.).

Proposta de resolução - Método proposto - REBATIMENTO DOS TRAÇOS DO PLANO:

Breves passos de resolução:

– representa-se o plano pelos seus traços, a partir do ângulo do traço horizontal. Note que os traços ficam coincidentes, pois o plano Ψ é ortogonal ao β_2,4;

– representam-se os pontos A e B, diretamente nos traços frontal e horizontal, pois têm respetivamente zero de afastamento e de cota;  

– rebate-se o plano pelos seus traços, conforme a proposta de resolução. A charneira é o traço horizontal, pelo que fica de imediato rebatido e o traço frontal foi rebatido, de acordo com a aprendizagem feita na sala de aula, abrindo o compasso de K e A2, rebatendo até ao plano ortogonal que contém A;

– rebatem-se os pontos A e B, sendo que B fica de imedaito rebatido por pertencer à charneira escolhida;

– determina-se o quadrado em verdadeira grandeza;

– inverte-se o rebatimento dos pontos C e D, representando-se o quadrado pelas suas projeções conforme era pedido no enunciado.

TESTE SUMATIVO Nº 1 - 2014-2015

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções da reta p perpendicular ao plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(3;3;4) e a reta r;

– a reta r contém os pontos R(0;5;–5) e S(–4;–4;4);

– a reta p contém o ponto A.

2.       Determine os traços do plano θ paralelo ao plano α.

Dados

– o plano α é definido pelos pontos A, B e C;

– o ponto A, com 3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_1,3, bissetor dos diedros ímpares;

– o ponto B, com –6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_2,4, bissetor dos diedros pares;

– ponto C (–8; 4; –4);

– o plano θ contém o ponto P (–2; 2; –6).

 

3.       Determine as projeções da reta i resultante da intersecção entre os planos δ e α.

Dados

− o plano δ é de rampa e está definido pelo ponto A(–4;4;2) e pela reta g;

− a reta g é fronto-horizontal com 2 de afastamento e 4 de cota;

− o plano α contém o ponto K do eixo x com 5 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 60⁰, de

abertura para a esquerda, com este eixo;

− o plano α é oblíquo e perpendicular ao β_2,4, bissetor dos diedros pares.

4.       Represente o quadrado [ABCD], situado no 1º diedro.

Dados

– o quadrado está contido num plano de rampa ρ.

– os pontos A(1;1;7) e C(–1;4;2) definem uma das diagonais do quadrado.

1.       Determine as projeções da reta p perpendicular ao plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(–3;3;4) e a reta r;

– a reta r contém os pontos R(0;5;–5) e S(4;–4;4);

– a reta p contém o ponto A. 

2.       Determine os traços do plano θ paralelo ao plano α.

Dados

– o plano α é definido pelos pontos A, B e C;

– o ponto A, com –3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_1,3, bissetor dos diedros ímpares;

– o ponto B, com 6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_2,4, bissetor dos diedros pares;

– ponto C (8; 4; –4);

– o plano θ contém o ponto P (2; 2; –6).

3.       Determine as projeções da reta i resultante da intersecção entre os planos δ e α.

Dados

− o plano δ é de rampa e está definido pelo ponto A(4;4;2) e pela reta g;

− a reta g é fronto-horizontal com 2 de afastamento e 4 de cota;

− o plano α contém o ponto K do eixo x com –5 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 60⁰, de

abertura para a direita, com este eixo;

− o plano α é oblíquo e perpendicular ao β_2,4, bissetor dos diedros pares.

 

4.       Represente o quadrado [ABCD], situado no 1º diedro.

Dados

– o quadrado está contido num plano de rampa ρ.

– os pontos A(–1;1;7) e C(1;4;2) definem uma das diagonais do quadrado.

REPRESENTAÇÃO DE FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS DE RAMPA

Represente, pelas suas projeções, um triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro.

Dados:

– o triângulo está contido num plano de rampa ρ;

– os pontos A(0;5) e B(3;1) são dois vértices do triângulo, estando A 2 cm à esquerda de B no eixo x.

1. Triângulo de rebatimento:

2. Rebatimento dos traços:

REBATIMENTO DO PLANO DE RAMPA

É dado um plano de rampa ρ, cujos traços horizontal e frontal medem, respetivamente, 3 de afastamento e 5 cm de cota, que contém o triângulo [ABC].

Considere uma reta r, pertencente ao plano, cuja projeção frontal faz um ângulo de 55⁰ (a.d.) com o eixo x. A reta r contém os pontos A com 1 cm de cota e B com 3,5 cm de cota.

Considere ainda uma reta r’, paralela à reta r e cujo traço frontal dista 5 cm no eixo x do mesmo traço da reta r. A reta r’ contém um ponto C com 2,5 cm de cota.

Determine a verdadeira grandeza (V.G.) do triângulo.

Triângulo de rebatimento:

Rebatimento dos traços do plano:

MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES - TRIÂNGULO DE REBATIMENTO

1

É dado um plano oblíquo β, cujos traços frontal e horizontal fazem, respetivamente, ângulos de  55⁰ e 35⁰, de abertura para a direita.

Considere um ponto A(2;3) pertencente ao plano.

Efetue o rebatimento do ponto A, para o plano horizontal de projeção, usando para isso como método o ‘triângulo de rebatimento’.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

1. Representa-se o plano e o ponto A, de acordo com os dados apresentados. Note que o ponto A pertence ao plano através de uma reta do plano (por opção a reta é horizontal de cota 3, mas poderia ser frontal de afastamento 2).

2. Foi definida a charneira de rebatimento, que por opção é o traço horizontal ao plano h_β, ficando h_β≡ h_βr.

3. Representou-se um plano projetante ortogonal à charneira de rebatimento, passando por A₁. Note que h_β fica 'perpendicular' a (h_θ).

4. A partir de A₁ e paralelo à charneira marca-se a distância que vai do ponto ao plano para o qual se pretende efetuar o rebatimento, obtendo 'A_r1'. Neste caso a distância corresponde à cota do ponto A, pois o rebatimento é feito para o plano horizontal de projeção.

5. Colocando o compasso no 'ponto de interseção de h_β com (h_θ)' e abrindo até 'A_r1'. efetua-se o rebatimento obtendo A_r.

2

É dado um plano oblíquo β, cujos traços frontal e horizontal fazem, respetivamente, ângulos de  55⁰ e 35⁰, de abertura para a direita.

Considere um ponto A(2;3) pertencente ao plano.

Efetue o rebatimento do ponto A, para o plano frontal de projeção, usando para isso como método o ‘triângulo de rebatimento’.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

1. Representa-se o plano e o ponto A, de acordo com os dados apresentados. Note que o ponto A pertence ao plano através de uma reta do plano (por opção a reta é horizontal de cota 3, mas poderia ser frontal de afastamento 2).

2. Foi definida a charneira de rebatimento, que por opção é o traço frontal ao plano f_β, ficando f_β≡ f_βr.

3. Representou-se um plano projetante ortogonal à charneira de rebatimento, passando por A₂. Note que f_β fica 'perpendicular' a (f_θ).

4. A partir de A₂ e paralelo à charneira marca-se a distância que vai do ponto ao plano para o qual se pretende efetuar o rebatimento, obtendo 'A_r1'. Neste caso a distância corresponde ao afastamento do ponto A, pois o rebatimento é feito para o plano frontal de projeção.

5. Colocando o compasso no 'ponto de interseção de f_β com (f_θ)' e abrindo até 'A_r1'. efetua-se o rebatimento obtendo A_r.

Nota: o triângulo de rebatimento é sempre um triângulo retângulo.

PARALELISMO - EXERCÍCIO

Determine os traços de dois planos paralelos, α e δ.

Dados:

- o plano α contém o ponto A(2;5;2);

- o plano α contém uma reta r, paralela ao β_2,4, cuja projeção frontal faz um ângulo de 60⁰ com o eixo x, de abertura para a direita;

- o plano δ contém o ponto B(-3;2;4) e uma reta s, paralela ao β_1,3, cuja projeção frontal faz um ângulo de 30⁰ com o eixo x, de abertura para a direita.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

1. Representaram-se as retas r e s, que passam nos pontos respetivamente

2. Pelo ponto B fizemos passar uma reta r' paralela à reta r e que é concorrente com a reta s (logo é complanar). Poder-se-ia ter optado por passar pelo ponto A uma reta paralela à reta s e concorrente com a reta r 

3. Os traços das retas (complanares) s e r' permitem representar o plano pelos seus traços δ

4. Pelos traços da reta r fizemos passar os traços do plano α, que são paralelos aos do plano δ.

QUESTÃO DE AULA Nº 1 - 2014_2015

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α paralelo à reta r.

Dados

– a reta r contém o ponto  R(4;1,5;2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 35⁰ (a.e.) e 50⁰ (a.d.) com o eixo x;

– o plano α contém a reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto A(–2;2;3) e faz um ângulo de 60⁰ (a.d.) com o plano frontal de projeção.

Proposta de resolução:

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α paralelo à reta r.

Dados

– a reta r contém o ponto  R(-4;1,5;2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 35⁰ (a.d.) e 50⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o plano α contém a reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto A(2;2;3) e faz um ângulo de 60⁰ (a.e.) com o plano frontal de projeção.

Proposta de resolução:

Passos de resolução:

1. Representa-se a reta r, de acordo com os dados fornecidos

2. Representa-se a reta h de acordo com os dados apresentados, que passa pelo ponto A

3. Pelo ponto A passa-se uma reta paralela à reta r e que é concorrente com a reta h

4. Determinam-se os traços das duas retas concorrentes no ponto A (que pertencem ao mesmo plano pedido)

5. Representam-se os traços do plano  α solicitado. Note que o plano  α é paralelo à reta r uma vez que contém uma reta paralela à reta r.