TESTE 2 - 11AV2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções da reta passante s, perpendicular à reta r no ponto A.

Dados

– a reta r é passante e está definida pelo ponto A com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 50°, de abertura para a direita, com o eixo x.

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s.

Dados

– a reta r é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β_2,4);

– a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– o ponto F, traço frontal da reta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;

– a reta s é concorrente com a reta r no ponto P, com 3 de cota;

– as projeções da reta s são perpendiculares às projeções homónimas da reta r.

3.      Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 8 cm;

– o ponto A(1;6) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 10 cm de altura.

4.      Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrangular regular situado no 1º diedro.

Dados

– uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], contido no plano de rampa ρ, cujo traço horizontal tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 6 de cota;

– o vértice A tem 2 de abcissa e afastamento nulo;

– a diagonal [AC] do quadrado mede 7 cm e pertence a uma reta oblíqua r;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o prisma tem 6 cm de altura.

TESTE 2 - 11AV1/CT2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.      Determine as projeções da reta s perpendicular à reta r.

Dados

– a reta r é definida pelo ponto A(0;11;7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;

– a reta s, concorrente com a reta r, contém o ponto P(0;5;2).

  

2.      Determine graficamente a amplitude, α, do ângulo das duas retas enviesadas n e f.

Dados

– a reta n é horizontal, interseta o plano frontal de projeção no ponto F(–4;0;4) e faz, com este, um ângulo de 60⁰ de abertura para a direita;

– a reta f é frontal, interseta o plano horizontal de projeção no ponto H(4;4;0) e faz, com este, um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda.

3.      Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.

Dados

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40⁰ e 50⁰, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A(1;8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 12 cm de altura.

4.      Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrangular regular situado no 1º diedro.

Dados

– uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], contido no plano de rampa ρ, cujo traço horizontal tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 6 de cota;

– o vértice A tem 2 de abcissa e afastamento nulo;

– a diagonal [AC] do quadrado mede 7 cm e pertence a uma reta oblíqua r;

– a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o prisma tem 9 cm de altura.

SÓLIDOS III - CUBO NUM PLANO PASSANTE

Represente, pelas suas projeções, um cubo contido num plano passante ρ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o centro é o ponto O(4;6;3);

– o vértice A, com 1 de abcissa e 4,5 de afastamento, pertence à face [ABCD].

Passos de resolução:

– Representa-se o plano a partir dos seus dados, que fica definido pelo eixo x e pelo ponto O;

– representa-se a abcissa e o afastamento do ponto A e determina-se a sua cota, através de uma reta passante do plano;

– rebatem-se os pontos A e O e determinam-se os restantes vértices da face – B, C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices B, C e D;

– depois, representou-se o traço de perfil do plano (p_ρ) e a terceira projeção do ponto A, por onde passa, em seguida a reta p, perpendicular ao plano, que permite representar a “altura” do cubo em VG e determinar A’₃. Note todas as arestas de um cubo são iguais e que p₃ fica perpendicular a p_ρ;

– representou-se o vértice A’ da pirâmide pelas suas projeções (1 e 2). Note que as outras arestas, que permitem determinar B’, C’ e D’ são iguais a [AA’], pelo que basta copiar as suas projeções.

– representou-se o cubo, num tom mais escuro, atendendo às invisibilidades observadas.

Desenho de Inês Mendes, do 11AV1.

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SÓLIDOS III - PIRÂMIDE COM BASE CONTIDA NUM PLANO PASSANTE

Represente, pelas suas projeções, um hexágono regular, com a base contida num plano de passante ρ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o centro da base é o ponto O(3,5;5;3);

– os arestas da base medem 3,5 m.

Considerando que o hexágono [ABCDEF] é a base de uma pirâmide com 7 cm de altura, represente o sólido pelas suas projeções.

Breves passos de resolução:
– Representa-se o plano ρ a partir dos seus dados, que fica definido pelo eixo x e pelo ponto O;
– rebate-se o ponto O, usando o triângulo de rebatimento. A charneira escolhida foi o traço horizontal do plano – h_ρ;
– determinam-se os restantes vértices da base – A, B, C, D, E e F – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices A, B, C, D, E e F. Note que os pontos B e E têm o mesmo afastamento e a mesma cota do centro O, o que facilita a sua representação através das suas projeções. Os pontos A e D têm o mesmo afastamento e a mesma cota, passando-se o mesmo com os pontos C e D. Este conhecimento permite representar os seis vértices da base pelas suas projeções, usando apenas uma reta passante, para inverter o rebatimento da base, a passar (por opção) por A, O e D;
– depois, representou-se o traço de perfil do plano (p_ρ) e a terceira projeção do ponto O, por onde passa, em seguida a reta p, perpendicular ao plano, que permite representar a altura da pirâmide em VG e determinar V₃. Note que p₃ fica perpendicular a p_ρ;

– representou-se o vértice V da pirâmide pelas suas projeções (1 e 2) e representou-se a pirâmide, num tom mais escuro (na imagem a vermelho), atendendo às invisibilidades observadas.

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SÓLIDOS III - PIRÂMIDE COM BASE CONTIDA NUM PLANO OBLÍQUO

Considere um triângulo equilátero [ABC] contido num plano oblíquo α, que é a base de uma pirâmide triangular regular, situada no 1º diedro.

Dados:

– o traço frontal do plano faz um ângulo de 50⁰ (a.d.) com o eixo x e o traço horizontal faz um ângulo de 45⁰ (a.d.) com o mesmo eixo. Os traços são concorrentes num ponto com 4 de abcissa;

– o centro da base é o ponto O, com 3,5 de afastamento e 3 de cota;

– o vértice A tem 6 de afastamento e 1 de cota;

– a pirâmide mede 7 cm de altura.

Breves passos de resolução:

– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e O, em função das suas coordenadas. Note que os pontos necessitam de pertencer a uma reta do Plano para pertencerem ao plano, uma vez que as coordenadas afastamento e cota são diferentes de zero. A opção recaiu para duas retas horizontais, mas poderia ter sido por retas frontais;
– rebatem-se os pontos A e B.

– determinam-se os restantes vértices da base – B e C – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices B e C;

– pelo centro da base O representa-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hα e p2 fica perpendicular a fα) ;
– o eixo da pirâmide, contido na reta p, pertence a uma reta oblíqua, pelo que é necessário efetuar um 2º rebatimento, a partir de um plano projetante que contenha a reta. Optou-se por um plano de topo. Note que para rebater a reta p foi usado o rebatimento de O e o ponto da reta que pertence à charneira de rebatimento (o ponto H, traço horizontal da reta p);
– a partir de Or marca-se a altura da pirâmide – 7 cm – obtendo-se Vr (vértice do sólido rebatido);
– inverte-se o rebatimento de V e representa-se o mesmo pelas suas projeções;
– representa-se a pirâmide (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades. Note que o vértice é visível em ambas as projeções e o contorno aparente (horizontal e frontal) fica sempre a traço contínuo.

SÓLIDOS III - PIRÂMIDE COM BASE CONTIDA NUM PLANO OBLÍQUO

Considere um quadrado [ABCD] contido num plano oblíquo α, que é a base de uma pirâmide quadrangular, situada no 1º diedro.

Dados:

 – os pontos A(4;0) e B(0;3) são dois vértices consecutivos do quadrado da base;

– o traço frontal do plano faz um ângulo de 40⁰ (a.e.) com o eixo x e o traço horizontal faz um ângulo de 60⁰ (a.e.) com o mesmo eixo;

– a pirâmide mede 7 cm de altura.

Breves passos de resolução:

– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula) e B pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo);
– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα;
– determinam-se os restantes vértices da base – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D. Note que, pelo facto de a base ser um quadrado, o centro O pode determinar-se diretamente nas projeções da base, a partir das diagonais do quadrado;
– depois de representado o quadrado pelas suas projeções, determinou-se o centro da base, necessário à representação do eixo da pirâmide;
– pelo centro da base O representa-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hα e p2 fica perpendicular a fα) ;
– o eixo da pirâmide, contido na reta p, pertence a uma reta oblíqua, pelo que é necessário efetuar um 2º rebatimento, a partir de um plano projetante que contenha a reta. Optou-se por um plano de topo. Note que para rebater a reta p foi usado o rebatimento de O e o ponto da reta que pertence à charneira de rebatimento;
– a partir de Or marca-se a altura da pirâmide – 7 cm – obtendo-se Vr (vértice do sólido rebatido);
– inverte-se o rebatimento de V e representa-se o mesmo pelas suas projeções;
– representa-se a pirâmide (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades. Note que o vértice é visível em ambas as projeções e o contorno aparente (horizontal e frontal) fica sempre a traço contínuo.

TESTE SUMATIVO Nº 1 - 11AV2 - 2016/2017

 ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções do plano de rampa θ ortogonal ao plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(3;3;4) e a reta r;

– a reta r contém os pontos R(0;5;–5) e S(–4;–4;4);

– o plano de rampa θ contém o ponto A.

  

2.       Determine os traços do plano μ paralelo ao plano θ.

Dados

– o plano θ contém a reta h e o ponto M(5;0;0);

– a reta h é horizontal e contém o ponto A pertencente ao bissetor dos diedros pares, β_2,4, com 4 de abcissa e 2 de cota;

– a projeção horizontal da reta h faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano μ contém o ponto P(–4;2;6).

3.      Represente o retângulo [ABCD], situado no 1º diedro.

Dados

– o retângulo está contido num plano oblíquo α;

– os traços, horizontal e frontal, do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 40⁰ (a.e.) e 60⁰ (a.d.) com o eixo x e são concorrentes num ponto de abcissa nula;

– o vértice A do retângulo tem abcissa nula e 3 de cota;

– o vértice B, consecutivo de A, pertence ao traço horizontal do plano α, e tem 2,5 de   afastamento;

– o lado [AD] da figura mede 6 cm.

4.      Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no 1º diedro.

Dados

– o hexágono está contido num plano de rampa ρ;

– o traço horizontal do plano ρ tem 4 de afastamento;

– os pontos A(3;0;6) e D, com 3 de abcissa e 1 de cota, são extremos de uma diagonal maior do hexágono.

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TESTE SUMATIVO Nº 1 - 11AV1/CT2 - 2016/2017

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine os traços do plano de rampa μ perpendicular ao plano de rampa α.

Dados

– os traços horizontal e frontal do plano α têm, respetivamente, –5 de afastamento e 7 de cota;

– o plano μ contém o ponto R pertencente ao plano bissetor dos diedros ímpares, β_1,3, com 0 de abcissa e 2 de cota.

2.       Determine os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

Dados

– o plano α é definido pelas retas a e b;

– a reta a contém o ponto S(3;5;3);

– as projeções, horizontal e frontal, da reta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45⁰, de abertura para a direita, e de 30⁰, de abertura para a esquerda, respetivamente;

– a reta b pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, β_1,3, e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30⁰ de abertura para a direita;

– o plano π contém o ponto P(– 6;3;– 4).

3.      Represente o pentágono regular [ABCDE], situado no 1º diedro.

Dados

– o pentágono está contido num plano oblíquo α;

– o plano α é perpendicular ao β_1,3 e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– o pentágono está inscrito numa circunferência  com 3 cm de raio e centro no ponto O(3;3;4);

– o lado de menor cota do pentágono é horizontal.

4.      Represente o retângulo [ABCD], situado no 1º diedro e contido num plano de rampa ρ.

Dados

– o vértice A pertence ao traço horizontal do plano ρ, tem –2 de abcissa e 5 de afastamento;

– o vértice B, consecutivo de A, pertence ao β_1,3, tem 2 de abcissa e 2 de afastamento;

– o vértice C tem afastamento nulo.

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FIGURAS PLANAS III – QUADRADO CONTIDO NUM PLANO DE RAMPA

Represente, pelas suas projeções, um quadrado [ABCD] contido num plano de rampa.

Dados:

– os pontos A(0;5;0) e C(–3;1;3)  pertencem a uma diagonal do quadrado.

Processo 1

Processo 2

Breves passos de resolução:

– representa-se os pontos A e C, pelas suas projeções, a partir dos seus dados;
– representa-se a uma reta r a passar por A e C, que permite determinar o traço frontal F. O traço horizontal do plano passa em A₁ e o traço frontal em F₂. Note que no processo 1, por opção, não se determinou o traço frontal do plano, nem o ponto F.

– escolhe-se como charneira o traço horizontal do plano, pelo que h_ρ Ξ h_ρr.

Processo 1 – triângulo de rebatimento:
–  rebate-se o ponto C, usando o triângulo de rebatimento, já devidamente explicado. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, por pertencer à charneira.;

–  no plano rebatido, determinam-se os vértices B e D do quadrado;

– inverte-se o rebatimento de B e D, recorrendo ao triângulo de rebatimento. Note que o processo é idêntico ao que foi usado para rebater o ponto B, mas em sentido contrário;

– poder-se-ia ter optado por inverter o rebatimento de um dos pontos (B ou D), uma vez que num quadrado seria suficiente, recorrendo aos lados paralelos dois a dois, mas a opção recaiu pelos dois pontos;

– representou-se o triângulo pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.

Processo 2 –rebatimento dos traços do plano:
–  rebate-se o ponto F, traço frontal da reta r, usando o compasso, com “centros” sucessivos  no eixo x e na charneira. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, por pertencer à charneira;

–  representou-se a reta r no plano rebatido, uma vez que A e F já estavam rebatidos;

–  no plano rebatido, determinam-se os vértices B e D do quadrado;

– inverte-se o rebatimento de B e D, recorrendo à reta s, que contém os dois pontos. Para desenhar as projeções da reta s apenas foi necessário determinar H, que pertence à charneira e F’, que se determina diretamente no traço frontal do plano;

– desenharam-se os pontos B e D, diretamente na reta s, puxando diretamente na perpendicular á charneira de rebatimento;

– representou-se o triângulo pelas suas projeções, a vermelho que simboliza o traço mais escuro.