SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR - BASE DE PERFIL

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1º diedro, com a base contida num plano de perfil.

Dados

– os pontos A(0;0;5) e B(2,5;1) são dois vértices consecutivos da base;

– o vértice V tem –6 de abcissa;

Determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a direção luminosa convencional.

Breves passos de resolução:

– Representou-se a pirâmide de acordo com os dados indicados. Note que houve necessidade de rebater o quadrado da base;

– No vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto (I) de interseção do raio luminoso com a base;

– Uma vez que as retas tangentes à base são de perfil, rebateu-se o ponto I pelo quadrado anteriormente rebatido representaram-se as retas tangentes;

– As retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;

– Determinou-se a sombra dos vértices A, B, C e D da base e do vértice V da pirâmide;

– A sombra própria, simbolizada a verde, observa-se em ambas as projeções.  Na projeção horizontal a sombra própria existe na face [ADV] e na projeção frontal a sombra própria existe na face [BCV];

– A sombra real projetada, simbolizada a vermelho, existe nos dois planos de projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [AB] e [CV]. Recorreu-se à sombra virtual de B e de V, respetivamente.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1º diedro, com a base contida num plano.

Dados

– os pontos A(2;8;7) e C(2;8;7) são dois vértices opostos da base;

– o vértice V pertence ao plano horizontal de projeção.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a direção luminosa convencional.

Exercício resolvido por Inês Araújo, do 11AV1 (2016/2017)

Breves passos de resolução:

– Representou-se a pirâmide de acordo com os dados indicados;

– No vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto (I) de interseção do raio luminoso com a base;

– Determinaram-se as retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;

– Determinou-se a sombra dos vértices A, B e D da base e do vértice V da pirâmide;

– A sombra própria não existe em nenhuma das projeções, pois as faces sombreadas estão invisíveis;

– A sombra real projetada, simbolizada a vermelho, existe nos dois planos de projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [DV] e [BV]. Recorreu-se à sombra virtual de V que resolve as duas situações em simultâneo.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA REAL PROJETADA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR

Considere uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1º diedro, com a base contida no plano horizontal de projeção.

Dados

– o centro da circunferência da base do sólido é o ponto O(2;5;0);

– o vértice A tem 1 de abcissa e 2 de afastamento;

– a altura do cone mede 8 cm.

Determine a sombra própria e a sombra real projetada da pirâmide, considerando a direção luminosa convencional.

Breves passos de resolução:

– Representou-se a pirâmide de acordo com os dados indicados;

– No vértice V de pirâmide representou-se um raio luminoso e determinou-se o ponto (I) de interseção do raio luminoso com a base;

– Determinaram-se as retas tangentes à base, que indicam a separação da zona de sombra da zona iluminada – linha separatriz luz/sombra;

– Determinou-se a sombra dos vértices B, C e D da base e do vértice V da pirâmide;

– A sombra própria, simbolizada a vermelho mais escuro, apenas se observa na projeção horizontal das faces [ABV] e [ADV];

– A sombra real projetada, simbolizada a vermelho mais claro, existe nos dois planos de projeção pelo que houve necessidade de determinar os pontos de quebra entre [DV] e [BV]. Recorreu-se à sombra virtual de V que resolve as duas situações em simultâneo.

TESTE 3 DE 2016/2017 - 11AV2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções de um quadrado regular [ABCD] situado num plano oblíquo β.

Dados

– o ponto A(–5,5;5;3) é um dos vértices do quadrado;

– o vértice C tem 0 de abcissa e 2,5 de afastamento;

– a diagonal [AC] pertence a uma reta oblíqua passante p;

– o traço horizontal h_β do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 45⁰, com abertura para a direita.

2.       Determine graficamente a amplitude do ângulo entre o plano oblíquo θ e o plano frontal de projeção.

Dados

– o plano θ é definido pela reta d, uma reta de maior declive que contém o ponto P(0;4;2);

– a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x e a sua projeção frontal faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo.

3.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide pentagonal regular, de base horizontal, situada no 1º diedro e, ainda, um plano de topo θ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Represente as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano θ e determine a verdadeira grandeza da secção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.

Dados

– o ponto A(–5;9;1,5) é um dos vértices da base [ABCDE] da pirâmide;

– o vértice V da pirâmide tem –5 de abcissa, 5 de afastamento e 7 de cota;

– o plano de topo θ faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projeção, e contém o vértice mais à esquerda da base da pirâmide.

4.       Represente, pelas suas projecções, o sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo θ num

cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da

base.

Preencha a tracejado a projecção visível da secção.

Dados

– a base está contida num plano horizontal;

– o vértice V(0;6;10) e o ponto A(5;6;2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno aparente frontal;

– o plano de topo θ contém o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].

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TESTE 3 DE 2016/2017 - 11AV1/CT2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de rampa θ.

Dados

– o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O(0;2;5);

– a reta de perfil p do plano θ contém o ponto O e tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;

– o vértice A do pentágono é o traço frontal da reta p.

  

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre o plano δ e o Plano Horizontal de Projeção.

Dados

– o plano δ está definido pelas retas r e s concorrentes no ponto P(3;4;2);

– a reta r é paralela ao bissetor dos diedros pares, β_2,4, e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 40⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– a reta s é passante e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 20⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

3.       Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical θ numa pirâmide quadrangular oblíqua de base regular contida num plano frontal, situada no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte da pirâmide delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

Dados

– o ponto A(5;8;3) e o ponto B(–1;8;1) são dois dos vértices do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;

– o vértice V pertence à mesma reta de topo que contém o ponto A e tem zero de afastamento;

– o plano θ contém um ponto do eixo x com –4 de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a esquerda, com esse eixo.

4.       Represente pelas suas projecções uma pirâmide pentagonal obliqua com base contida no plano

horizontal de projecção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Determine as projecções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

Dados

– a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O(4;5;0) e 5 cm de raio;

– a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;

– o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;

– o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

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QUESTÃO DE AULA N 2 11AV2

Determine, graficamente, as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados

– o ponto P pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β_1,3), tem 6 de abcissa e 8 de afastamento;

– o plano α é definido pelo ponto A (–1; 4; 2) e pela reta r;

– a reta r contém o ponto M (6; –6; 9);

– o ponto F, traço frontal da reta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO: