SOMBRA PRÓPRIA E PROJETADA DE PRISMAS REGULARES

Considere um cubo situado no 1º diedro.
Dados
- a face [ABCD] está contida  num plano horizontal com 3 cm de cota.
- o vértice A, da face [ABCD], tem 2 cm de abcissa, é o de menor afastamento, pertencendo ao plano bissetor dos diedros ímpares.
- a aresta [AB] mede 5 cm e está contida numa reta (horizontal) que faz um diedro de 30º (a.e.) com o plano frontal de projeção.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada do cubo nos planos de projeção.


Proposta de resolução:

Considere um cubo situado no 1º diedro.
Dados
- o cubo tem duas faces de perfil.
- o quadrado [ABCD] é a face de perfil situada mais à esquerda.
- os pontos A(2;0;3) e B, com 4,5 cm de afastamento e 1 cm de cota, são dois vértices consecutivos do quadrado.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada do cubo nos planos de projeção.


Proposta de resolução:

TESTE SUMATIVO Nº 4

TESTE SUMATIVO Nº 4 - Enunciado e proposta de resolução:

1.       Determine as projeções da reta de interseção, i, dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

Dados

– os traços do plano α intersetam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60⁰, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;

– o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela reta b;

– o traço horizontal faz um ângulo de 20⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a reta b é de perfil passante e contém o ponto B(2; 6).

2.       Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s.

Dados

– a reta r é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β_2,4);

– a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– o ponto F, traço frontal da reta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;

– a reta s é concorrente com a reta r no ponto P, com 3 de cota;

– as projeções da reta s são perpendiculares às projeções homónimas da reta r.

3.       Represente, em dupla projeção ortogonal, um cone de revolução de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as geratrizes invisíveis da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)

Dados

– o plano horizontal que contém a base do sólido tem 5,5 de cota;

– o vértice V do cone é um ponto do semiplano horizontal anterior com 2 de abcissa e 7,5 de afastamento;

– o raio da circunferência da base mede 3,5 cm.

4.       Represente, em dupla projeção ortogonal, uma pirâmide triangular regular de base frontal, situada no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Identifique, a traço interrompido, as geratrizes invisíveis da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)

Dados

– o ponto A(4;7;3) é um dos vértices do triângulo da base [ABC];

– o vértice do sólido, V, tem 0 cm de abcissa, 1,5 cm de afastamento e 4,5 cm de cota.

Cotações: cada exercício tem uma pontuação de 50 pontos e é corrigido de acordo com os critérios do exame nacional.

ESTRUTURA PARCIAL DO TESTE

Caros alunos o teste nº 4 de avaliação sumativa de GD A do 11º ano (2013-2014) avaliará os seguintes conteúdos:

- Sombras;
- Ângulos;
- ??????
- ??????

Conforme foi prometido a indicação da estrutura do teste vai diminuindo, pelo que é apenas apresentado 50 % dos conteúdos do teste.

SOMBRA DO CONE DE REVOLUÇÃO

1
Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro, com a base contida no plano horizontal de projeção.
Dados
- A base tem centro O(2;5;0) e o raio mede 3 cm;
- A altura do sólido mede 8 cm.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Proposta de resolução:

  

Breves passos de resolução:
- Representa-se o cone a partir dos seus dados.
- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.
- Determina-se o ponto I de interseção do raio luminoso l com o plano (horizontal de projeção) que contém a base.

- Determina-se o ponto médio de [I₁O₁], que nos permite determinar com rigor os pontos de tangência (T e T').

- A partir de I₁ representam-se as retas tangentes (que passam por I₁ e nos pontos de tangência T e T' previamente determinados). Assim as retas tangentes t e t' são simultaneamente traços horizontais dos planos tangentes luz/sombra, uma vez que se trata de duas retas horizontais de cota nula.

- Usando os pontos T e T' representam-se as duas geratrizes que definem a linha separatriz luz/sombra. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada a negro, simbolizando a mancha de grafite uniforme mais escura do desenho.

- A determinação da sombra do vértice permite representar a sombra projetada do cone nos planos de projeção. Note que para determinação dos pontos de quebra se recorreu à sombra virtual do vértice V. A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha uniforme mais clara.

2

Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro, com a base contida num plano horizontal.
Dados
- A base tem centro O(2;5;1,5) e o raio mede 3 cm;
- A altura do sólido mede 8 cm.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:
- Representa-se o cone a partir dos seus dados.
- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.
- Determina-se o ponto I de interseção do raio luminoso l com o plano (horizontal) que contém a base.

- Determina-se o ponto médio de [I₁O₁], que nos permite determinar com rigor os pontos de tangência (T e T').

- A partir de I₁ representam-se as retas tangentes (que passam por I₁ e nos pontos de tangência T e T' previamente determinados).

- Usando os pontos T e T' representam-se as duas geratrizes que definem a linha separatriz luz/sombra. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada a negro, simbolizando a mancha uniforme mais escura do desenho.

- Para determinar a sombra projetada do cone nos planos de projeção, foi necessário determinar a sombra real dos pontos de tangência (T e T')e do centro da base, além do vértice V. Note que para determinação dos pontos de quebra se recorreu à sombra virtual do vértice V. A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha uniforme mais clara. Tenha em consideração que a sombra projetada do cone começa na sua base, que é paralela à projeção horizontal da base (uma vez que o plano é paralelo ao PHP), pelo que se representa em verdadeira grandeza (com compasso, usando o mesmo raio da base)) no arco maior entre os pontos T e T'.

3

Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro, com a base contida num plano horizontal.
Dados
- A base tem centro O(0;4;8) e o raio mede 3 cm;
- O vértice V pertence ao plano horizontal de projeção.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:
- Representa-se o cone a partir dos seus dados. Note que o vértice V e o centro da base O pertencem a uma reta vertical.
- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.
- Determina-se o ponto I de interseção do raio luminoso l com o plano (horizontal) que contém a base.

- Determina-se o ponto médio de [I₁O₁], que nos permite determinar com rigor os pontos de tangência (T e T').

- A partir de I₁ representam-se as retas tangentes (que passam por I₁ e nos pontos de tangência T e T' previamente determinados).

- Usando os pontos T e T' representam-se as duas geratrizes que definem a linha separatriz luz/sombra. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada a negro, simbolizando a mancha uniforme mais escura do desenho. Note que só existe sombra própria (visível) em projeção frontal, uma vez que na projeção horizontal a base, que está toda iluminada, tapa o resto do sólido.

- Para determinar a sombra projetada do cone nos planos de projeção, foi necessário determinar a sombra real dos pontos de tangência (T e T'), além de mais 5 pontos pertecentes ao arco maior de [TT'] e do vértice V. Note que para determinação dos pontos de quebra se recorreu à sombra virtual do vértice V.
- Os 5 pontos da base usados, além dos pontos de tangência, foram determinados recorrendo à inscrição do círculo da base num quadrado. O mesmo quadrado surge representado, com o ângulo da direção luminosa convencional, em projeção frontal e facilita a determinação rigorosa da sombra dos 5 pontos. Esses 5 pontos  da base pertencem às diagonais e às medianas do quadrado, como se observa na imagem.
- A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha uniforme mais clara. Tenha em consideração que a curva aproximada da sombra projetada da base do cone é feita à mão, com auxílio dos pontos acima referidos.

4

Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro, com a base contida num plano de perfil.
Dados
- A base tem centro O(0;5;4) e o raio mede 3 cm;
- A altura da pirâmide mede 6 cm e o vértice V situa-se à direita da base.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:
- Representa-se o cone a partir dos seus dados.
- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.
- Determina-se o ponto I de interseção do raio luminoso l com o plano (de perfil) que contém a base.

- Rebate-se o ponto I. Determina-se o ponto médio de [I_rO_r], que nos permite determinar com rigor os pontos de tangência (T e T') em rebatimento.
- A partir de Ir determinam-se as retas tangentes rebatidas, que passam nos pontos de tangência (Tr e T'r) o que nos permite identificar a linha separatriz luz/sombra.
- Representou-se a reta i (a verde) de interseção do plano de perfil da base com o β_1,3 em rebatimento, uma vez que as projeções da reta já estavam representadas. A reta i rebatida permite identificar os pontos do círculo da base que pertencem ao β_1,3 e que têm a sua sombra no eixo x. Note que apenas um ponto pertence ao arco maior definido em sombra.

- Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida, considerando que a zona se sombra se encontra no arco maior de [TT'],  e surge na imagem sombreada a negro, simbolizando a mancha uniforme mais escura do desenho.
- A determinação da sombra projetada nos planos de projeção é construída com recurso à sombra dos pontos de tangência, T e T', do vértice V e do ponto que tem a suma sombra no eixo x. A sombra entre os pontos de tangência, T e T', e o vértice V constrói-se com recurso suplementar à sombra virtual de V. A curva aproximada da sombra da base projetada nos planos de projeção realizou-se com recurso a 5 pontos, pelo método rigoroso aprendido anteriormente (que se situam nas medianas e nas diagonais do quadrado que inscreve o círculo da base), além do ponto  do β_1,3 que tem a sua sombra no eixo x e permite a transição entre os dois planos na representação da sombra projetada.
- A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha uniforme mais clara. Tenha em consideração que a curva aproximada da sombra projetada da base do cone é feita à mão, com auxílio dos pontos acima referidos.