REPRESENTAÇÃO DE FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS DE RAMPA

Represente, pelas suas projeções, um triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro.

Dados:

– o triângulo está contido num plano de rampa ρ;

– os pontos A(0;5) e B(3;1) são dois vértices do triângulo, estando A 2 cm à esquerda de B no eixo x.

1. Triângulo de rebatimento:

2. Rebatimento dos traços:

REBATIMENTO DO PLANO DE RAMPA

É dado um plano de rampa ρ, cujos traços horizontal e frontal medem, respetivamente, 3 de afastamento e 5 cm de cota, que contém o triângulo [ABC].

Considere uma reta r, pertencente ao plano, cuja projeção frontal faz um ângulo de 55⁰ (a.d.) com o eixo x. A reta r contém os pontos A com 1 cm de cota e B com 3,5 cm de cota.

Considere ainda uma reta r’, paralela à reta r e cujo traço frontal dista 5 cm no eixo x do mesmo traço da reta r. A reta r’ contém um ponto C com 2,5 cm de cota.

Determine a verdadeira grandeza (V.G.) do triângulo.

Triângulo de rebatimento:

Rebatimento dos traços do plano:

MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES - TRIÂNGULO DE REBATIMENTO

1

É dado um plano oblíquo β, cujos traços frontal e horizontal fazem, respetivamente, ângulos de  55⁰ e 35⁰, de abertura para a direita.

Considere um ponto A(2;3) pertencente ao plano.

Efetue o rebatimento do ponto A, para o plano horizontal de projeção, usando para isso como método o ‘triângulo de rebatimento’.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

1. Representa-se o plano e o ponto A, de acordo com os dados apresentados. Note que o ponto A pertence ao plano através de uma reta do plano (por opção a reta é horizontal de cota 3, mas poderia ser frontal de afastamento 2).

2. Foi definida a charneira de rebatimento, que por opção é o traço horizontal ao plano h_β, ficando h_β≡ h_βr.

3. Representou-se um plano projetante ortogonal à charneira de rebatimento, passando por A₁. Note que h_β fica 'perpendicular' a (h_θ).

4. A partir de A₁ e paralelo à charneira marca-se a distância que vai do ponto ao plano para o qual se pretende efetuar o rebatimento, obtendo 'A_r1'. Neste caso a distância corresponde à cota do ponto A, pois o rebatimento é feito para o plano horizontal de projeção.

5. Colocando o compasso no 'ponto de interseção de h_β com (h_θ)' e abrindo até 'A_r1'. efetua-se o rebatimento obtendo A_r.

2

É dado um plano oblíquo β, cujos traços frontal e horizontal fazem, respetivamente, ângulos de  55⁰ e 35⁰, de abertura para a direita.

Considere um ponto A(2;3) pertencente ao plano.

Efetue o rebatimento do ponto A, para o plano frontal de projeção, usando para isso como método o ‘triângulo de rebatimento’.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

1. Representa-se o plano e o ponto A, de acordo com os dados apresentados. Note que o ponto A pertence ao plano através de uma reta do plano (por opção a reta é horizontal de cota 3, mas poderia ser frontal de afastamento 2).

2. Foi definida a charneira de rebatimento, que por opção é o traço frontal ao plano f_β, ficando f_β≡ f_βr.

3. Representou-se um plano projetante ortogonal à charneira de rebatimento, passando por A₂. Note que f_β fica 'perpendicular' a (f_θ).

4. A partir de A₂ e paralelo à charneira marca-se a distância que vai do ponto ao plano para o qual se pretende efetuar o rebatimento, obtendo 'A_r1'. Neste caso a distância corresponde ao afastamento do ponto A, pois o rebatimento é feito para o plano frontal de projeção.

5. Colocando o compasso no 'ponto de interseção de f_β com (f_θ)' e abrindo até 'A_r1'. efetua-se o rebatimento obtendo A_r.

Nota: o triângulo de rebatimento é sempre um triângulo retângulo.

PARALELISMO - EXERCÍCIO

Determine os traços de dois planos paralelos, α e δ.

Dados:

- o plano α contém o ponto A(2;5;2);

- o plano α contém uma reta r, paralela ao β_2,4, cuja projeção frontal faz um ângulo de 60⁰ com o eixo x, de abertura para a direita;

- o plano δ contém o ponto B(-3;2;4) e uma reta s, paralela ao β_1,3, cuja projeção frontal faz um ângulo de 30⁰ com o eixo x, de abertura para a direita.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

1. Representaram-se as retas r e s, que passam nos pontos respetivamente

2. Pelo ponto B fizemos passar uma reta r' paralela à reta r e que é concorrente com a reta s (logo é complanar). Poder-se-ia ter optado por passar pelo ponto A uma reta paralela à reta s e concorrente com a reta r 

3. Os traços das retas (complanares) s e r' permitem representar o plano pelos seus traços δ

4. Pelos traços da reta r fizemos passar os traços do plano α, que são paralelos aos do plano δ.

QUESTÃO DE AULA Nº 1 - 2014_2015

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α paralelo à reta r.

Dados

– a reta r contém o ponto  R(4;1,5;2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 35⁰ (a.e.) e 50⁰ (a.d.) com o eixo x;

– o plano α contém a reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto A(–2;2;3) e faz um ângulo de 60⁰ (a.d.) com o plano frontal de projeção.

Proposta de resolução:

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α paralelo à reta r.

Dados

– a reta r contém o ponto  R(-4;1,5;2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 35⁰ (a.d.) e 50⁰ (a.e.) com o eixo x;

– o plano α contém a reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto A(2;2;3) e faz um ângulo de 60⁰ (a.e.) com o plano frontal de projeção.

Proposta de resolução:

Passos de resolução:

1. Representa-se a reta r, de acordo com os dados fornecidos

2. Representa-se a reta h de acordo com os dados apresentados, que passa pelo ponto A

3. Pelo ponto A passa-se uma reta paralela à reta r e que é concorrente com a reta h

4. Determinam-se os traços das duas retas concorrentes no ponto A (que pertencem ao mesmo plano pedido)

5. Representam-se os traços do plano  α solicitado. Note que o plano  α é paralelo à reta r uma vez que contém uma reta paralela à reta r.

ORTOGONALIDADE ENTRE RETAS NÃO PARALELAS AOS PLANOS DE PROJEÇÃO

É dada uma reta oblíqua r e um ponto P(3;2). A projeção frontal da reta r faz um ângulo de 55⁰ (a.e.) com o eixo x e corta esse mesmo eixo 3 cm à direita da linha de chamada de P e a projeção horizontal faz um ângulo de 45⁰ (a.e.), cortando o eixo das abcissas 2 cm à direita da projeção frontal.

Represente pelas suas projeções uma reta p, ortogonal à reta r, sabendo que passa por P e que a sua projeção horizontal faz um ângulo de 30⁰ (a.e.).

Proposta de resolução:

Breves passos:

1- Representa-se a reta r a partir dos seus dados

2- Representa-se o ponto P e a projeção horizontal da reta p, de acordo com os dados indicados

3- Inclui-se a o ponto P numa reta horizontal (poderia ser frontal)

4- Determina-se o traço frontal da reta (ponto F), que permite representar os traços do plano, perpendiculares às projeções homónimas da reta r

5- Determina-se o traço horizontal da reta p, que permite representar p₂. Note que não foi necessário determinar o traço frontal (F) da reta p, uma vez que já são conhecidos 2 pontos da reta (P e H).

ORTOGONALIDADE - PLANO ORTOGONAL A UMA RETA OBLÍQUA

Considere uma reta r, definida pelos pontos M(1;3;4) e N(-2;-1;2) e um dado um ponto P(1;2;3).

Determine os traços de um ortogonal à reta r e que contenha o ponto P.

Proposta de resolução:

Breves passos:

1- Representa-se a reta através dos pontos M e N

2- Inclui-se o ponto P numa reta horizontal (poderia ser frontal). Este passo garante que o ponto P pertence ao plano através de uma reta do plano (recorde-se que o plano não é projetante). Note que a projeção horizontal da reta h é perpendicular à projeção horizontal da reta r

3- Determina-se o traço frontal da reta (ponto F)

4- Pelo ponto F passa o traço frontal do plano, perpendicular a r₂

5- O traço horizontal do plano cruza com o traço frontal no eixo x e é perpendicluar a r₁

. Note que hα é paralelo a h₁.

ORTOGUNALIDADE ENTRE PLANOS - EXERCÍCIO E RESOLUÇÃO

Determine os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α perpendicular ao plano vertical β.

Dados:

- o plano β faz um diedro de 40⁰ (a.e.) com o plano frontal de projeção e interseta o eixo x num ponto com -4 de abcissa;

- o plano α contém a reta r, pertencente ao β_2/4 e definida pelos pontos R(4;0;0) e S, com 2 cm de abcissa e 3 cm de cota.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

A reta r pertence ao β_2/4, pois tem as projeções coincidentes e contém os pontos R e S (pontos do β_2/4). 

Sendo a reta r passante determina de imediato o ponto do eixo x onde os traços do plano oblíquo se cruzam.

A reta h, horizontal, passa em S e é ortogonal ao plano β  e permite representar os traços do plano oblíquo α.

O traço frontal do plano passa em R e em F. O traço horizontal passa em R (inevitavelmente) e é paralelo a h₁.

Bom trabalho e muito estudo !!!

ORTOGUNALIDADE - PLANO ORTOGONAL A UMA RETA

Considere uma reta oblíqua r, cuja projeção frontal faz um diedro de 45º (a.d.) com o eixo x e a projeção horizontal um diedro de 60º com o mesmo eixo, cortando-o 1 cm à direita.
Determine os traços de um plano oblíquo ortogonal à reta r, que contenha o ponto P(2;3), sabendo que o ponto P cruza o eixo x 4 cm à direita de r_1.

Proposta de resolução:

Note que a reta h é ortogonal à reta r e contém o ponto P, pelo que o ponto P pertence ao plano através de uma reta do plano (a reta h).