ORTOGONALIDADE ENTRE DUAS RETAS OBRLÍQUAS

Represente, pelas suas projeções, uma reta p ortogonal à reta r.

Dados

– a reta r está definida pelos pontos A(–3;1; –2) e B(2;5;4);

– a reta p passa no ponto P(–1;2;3) e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 60⁰ (a.e.).

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

* Representa-se a reta r (a passar por A e B) de acordo com os dados fornecidos; 

* Representa-se o ponto P e por ele uma reta horizontal h ortogonal à reta r (poderia ter sido frontal);

* A reta horizontal h permite, a partir do seu traço frontal F, representar o plano pelos seus traços, que são perpendiculares às projeções da reta r no mesmo plano de projeção;

* Representa-se a projeção horizontal da reta p, a passar em P e com o ângulo 60⁰ (a.e.);

* Determinam-se os traços da reta p, que permitem determinar a sua projeção frontal. 

Note que a reta p pertence ao plano que é ortogonal à reta r pelo que p é ortogonal a r.

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INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS

Determine as projeções da reta de intersecção, i, dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

Dados

– os traços do plano α intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60⁰, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;

– o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela reta b;

– o traço horizontal faz um ângulo de 20⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a reta b é de perfil passante e contém o ponto B(2;6).

Breves passos de resolução:

* Representou-se o plano α pelos seus dados;

* Representou-se o traço horizontal do plano β e a reta b pelos seus dados. Note-se que a reta b é passante, pelo que também tem abcissa -1;

* Através da reta r horizontal (por opção, pois poderia ser frontal) determinou-se o traço frontal do plano β;

* Poder-se-ia determinar a reta i sem o traço frontal do plano β, mas esta não foi a opção;

* A reta i é passante, uma vez que os 2 planos contêm o mesmo ponto do eixo x, pelo que houve necessidade de determinar um segundo ponto da reta - o ponto I. Este ponto foi determinado através da determinação da interseção de 3 planos, uma vez que foi incluída a reta r num plano horizontal;

* Unido o ponto A do eixo x com o ponto I representou-se a reta i.


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QUESTÃO DE AULA 1 DE 2015/2016 - 11AV1/CT2

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

Determine os traços do plano μ paralelo ao plano θ.

Dados

– o plano θ contém a reta h e o ponto M(5;0;0);

– a reta h é horizontal e contém o ponto A pertencente ao bissetor dos diedros pares, β_2/4, com 4 de abcissa e 2 de cota;

– a projeção horizontal da reta h faz um ângulo de 35⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano μ contém o ponto P(–4;2;6).

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PERPENDICULARIDADE E INTERSEÇÕES

Considere o plano oblíquo δ.
a) Determine as projeções da reta b perpendicular ao plano oblíquo δ.
b) Determine o ponto I de interseção da reta b com o plano oblíquo δ.

Dados
- O  plano δ contém o ponto A(3;5;-1); B(1;2;2); C(-4;-1;3).
- A reta b contém o ponto P(6;2;2).

Breves passos de resolução:

- Pelos três pontos (A, B e C) representaram-se duas retas paralelas (por opção).

- Determinaram-se os traços das duas retas, que permitiram determinar os traços do oblíquo δ.

- Pelo ponto P representou-se a reta b, cuja projeção frontal é ortogonal ao traço frontal do plano e cuja projeção horizontal é ortogonal ao traço horizontal do plano.

- Para determinar o ponto I, de interseção da reta b com o plano  oblíquo δ, recorreu-se ao "método geral de interseção de retas com planos (1. Incluir a reta b num plano projetante; 2. Determinar a reta i de interseção dos dois planos; 3. Determinar o ponto de interseção da reta b com a reta i).

Nota: A preto surgem os passos relativos à determinação dos traços oblíquo δ e a vermelho os passos de determinação do ponto I.