Estas videoaulas ensinam a efetuar o rebatimento de um plano de topo (o mesmo se aplica no plano vertical e de perfil), para determinar a verdadeira grandeza (VG) de figuras planas (parte I) e para representar figuras planas pelas suas projeções, com recurso novamente ao rebatimento como método geométrico auxiliar.
Bom proveito.
Enunciado e proposta de resolução:
1. Determine as projeções de um hexágono regular [ABCDEF],
pertencente a um plano oblíquo θ e situado no 1.º diedro.
Dados
– o plano θ é
definido pelo ponto T, do eixo x, com 4 de abcissa, e
pela reta de maior declive d;
– a reta d contém o
ponto O (–4; 4; 4) e a sua projeção horizontal define um
ângulo de 500, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– o ponto O é
o centro do hexágono e o vértice A, de cota nula, pertence à
reta d.
2. Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base quadrangular
[ABCD] situada num plano de rampa ρ.
Identifique, a
traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados
− o quadrado da
base está contido no plano de rampa ρ, cujo traço horizontal tem 4,5 de
afastamento;
− o ponto A (7;
1; 5) é vértice de maior abcissa do quadrado;
− o
vértice B, consecutivo de A, pertence ao traço frontal do plano
de ρ;
− o quadrado
mede 5 cm de lado;
− a pirâmide
mede 7 cm de altura.
3. Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção
produzida por um plano vertical δ numa pirâmide pentagonal
oblíqua de base frontal.
Destaque, a traço mais forte, a parte
do sólido situada entre o plano secante e o plano da base.
Identifique, a
traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.
Preencha, com
tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção.
Dados
– a base é o pentágono regular [ABCDE],
inscrito numa circunferência de centro no ponto O (–1; 1; 5) e 4 cm de
raio;
– o ponto A é o
vértice mais à direita;
– o vértice da pirâmide é o ponto V
(5; 8; 6,5) e a aresta lateral [AV] é horizontal;
– o plano δ define
um diedro de 450, de abertura para a direita, com o Plano Frontal e
contém o vértice mais à esquerda da base da pirâmide.
4. Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção
produzida por um plano de rampa ρ num cubo, situado no 1.º
diedro.
Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido situada entre o plano
secante e o eixo x.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido
resultante.
Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível
da secção.
Dados
− as faces [ABCD] e [EFGH]
do sólido estão contidas em planos frontais que têm, respetivamente, 3 e 9 de
afastamento;
− o vértice A da face de menor
afastamento situa-se no Plano Horizontal de Projeção e tem 2,5 de abcissa;
− o vértice B, consecutivo de A,
tem abcissa nula;
− o plano de rampa tem 10 de
afastamento e é perpendicular ao β13.
Enunciado e proposta de resolução:
1. Determine as projeções de um hexágono regular [ABCDEF],
pertencente a um plano oblíquo θ e situado
no 1.º diedro.
Dados
– os pontos A (0; 3; 0) e B
(–3; 5; 0) são dois vértices consecutivos do hexágono;
– o traço frontal do plano faz um
ângulo de 600 de abertura para a direita com o eixo x.
2. Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base quadrangular
[ABCD] situada num plano de rampa ρ.
Identifique, a
traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados
− o quadrado da
base está contido no plano de rampa ρ, cujo traço horizontal tem 4,5 de
afastamento;
− o ponto A (7;
1; 5) é vértice de maior abcissa do quadrado;
− o
vértice B, consecutivo de A, pertence ao traço frontal do plano
de ρ;
− o quadrado
mede 5 cm de lado;
− a pirâmide
mede 7 cm de altura.
3. Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção
produzida por um plano vertical δ numa pirâmide pentagonal
oblíqua de base frontal.
Destaque, a traço mais forte, a parte
do sólido situada entre o plano secante e o plano da base.
Identifique, a
traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.
Preencha, com
tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção.
Dados
– a base é o pentágono regular [ABCDE],
inscrito numa circunferência de centro no ponto O (–1; 1; 5) e 4 cm de
raio;
– o ponto A é o
vértice mais à direita;
– o vértice da pirâmide é o ponto V
(5; 8; 6,5) e a aresta lateral [AV] é horizontal;
– o plano δ define
um diedro de 450, de abertura para a direita, com o Plano Frontal e
contém o vértice mais à esquerda da base da pirâmide.
4. Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção
produzida por um plano de rampa ρ num cubo, situado no 1.º
diedro.
Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido situada entre o plano
secante e o eixo x.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido
resultante.
Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível
da secção.
Dados
− as faces [ABCD] e [EFGH]
do sólido estão contidas em planos frontais que têm, respetivamente, 3 e 9 de
afastamento;
− o vértice A da face de menor
afastamento situa-se no Plano Horizontal de Projeção e tem 2,5 de abcissa;
− o vértice B, consecutivo de A,
tem abcissa nula;
− o plano de rampa tem 10 de
afastamento e é perpendicular ao β13.
Enunciado e proposta de resolução:
1. Determine as projeções do ponto I de
interseção da reta frontal f com o plano oblíquo β.
Dados
– o plano β
é definido pela reta frontal a e pelo ponto B (0;
1; 6);
− a reta a contém
o ponto H (3; 3; 0) e a sua projeção frontal faz um ângulo de
450 com o eixo x, de abertura para a direita;
− a reta f contém
o ponto P (– 4; 4; 2) e a sua projeção frontal faz um ângulo
de 600 com o eixo x, de abertura para a esquerda.
2. Represente o losango [ABCD], situado no primeiro diedro.
Dados
− o losango está
contido no plano de rampa ρ, cujo traço horizontal tem 7 de afastamento;
− o vértice A pertence
ao traço frontal do plano, tem −2 de abcissa e 5 de cota;
− o
vértice C tem 2 de abcissa e 1 de cota;
− [AC] é
uma diagonal do losango;
− a diagonal [BD] mede 6 cm.
3. Represente, pelas suas projeções, um
quadrado [ABCD] contido num plano passante ρ.
Dados
– o centro do quadrado é o
ponto O (0; 3; 4);
– o ponto A é um dos vértices do quadrado, tem 3 de abcissa e 2 de afastamento.
4. Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base
triangular, situada no 1.º diedro.
Dados
− a base [ABC] pertence a um
plano oblíquo α;
− o plano α é
definido pelos pontos A (–1; 4; 2), B (–4; 0;
9) e K do eixo x com 2 de abcissa;
− o vértice V da
pirâmide tem 4 de abcissa.
Enunciado e proposta de resolução:
1. Determine as projeções do ponto de
interseção I, da reta oblíqua r com o plano
de rampa ω.
Dados
– a reta r contém
o ponto P (− 5; 4; 1), as projeções horizontal e frontal, da
reta fazem, respetivamente, ângulos de 500 e de 350,
ambos de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– o plano ω
está definido pelo ponto A (6; 3; 6) e pela reta m;
– a reta m é
fronto-horizontal e as suas projeções, horizontal e frontal têm 6 de
afastamento e 4 de cota, respetivamente.
2. Represente o triângulo equilátero [ABC], situado no primeiro
diedro e contido num plano de rampa β.
Dados
− os pontos A (0; 2; 4) e B (5; 6; 0) são vértices da figura.
3. Represente, pelas suas projeções, um quadrado [ABCD] contido
num plano passante ρ.
Dados
– o centro do quadrado é o
ponto O (0; 3; 4);
– o ponto A é um dos vértices do quadrado, tem 3 de abcissa e 1 de afastamento.
4. Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base
triangular, situada no 1.º diedro.
Dados
– a base [ABC] pertence a um
plano oblíquo α;
– o plano α é
definido pelos pontos A (0; 3; 2), B (–2; 0; 7)
e K do eixo x com 4 de abcissa;
− o vértice V da
pirâmide tem 3 de abcissa.
Olá, a todos.
Este ano volta a haver exame nacional para todos, em princípio. Assim, o trabalho de cada aluno deverá ser mais atento e reforçado, de modo a que os objetivos individuais sejam atingidos a preceito.
Bom trabalho.
ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
1. Determine
as projeções do ponto I resultante da intersecção da reta m
com o plano α. Dados:
− o plano α
contém o ponto T do eixo x, de abcissa nula, e o
ponto A (7; – 5; 2);
− o traço frontal do
plano α define um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
− a reta m com – 6 de
cota é fronto-horizontal e pertence ao plano bissetor dos diedros
ímpares, β13.
2. Determine
as projeções de um triângulo equilátero [ABC] pertencente a um plano
oblíquo δ.
Dados:
− o plano δ é
definido pelo ponto P (7; – 1; 6) e pelo lado [AB] de
perfil, com 2 de abcissa;
− o vértice A com
9 de cota pertence ao Plano Frontal de Projeção;
− o vértice B com
2 de afastamento pertence ao Plano Horizontal de Projeção.
3. Determine
as projeções dos pontos X e Y, comuns à reta
oblíqua r e à superfície de uma pirâmide oblíqua de base
quadrada.
Destaque, a traço
mais forte, as arestas visíveis nas projeções da pirâmide e a parte visível das
projeções da reta.
Destaque, a traço
interrompido forte, as arestas invisíveis nas projeções da pirâmide e a parte
invisível das projeções da reta.
Dados:
− a base [KLMN]
pertence a um plano horizontal;
− o ponto O (5;
8; 2) é o centro da circunferência circunscrita ao quadrado da base, e o
vértice K tem zero de abcissa e 7 de afastamento;
− o vértice V
pertence ao Plano Frontal de Projeção e tem zero de abcissa e 11 de cota; − a
reta r é oblíqua e contém os pontos P (11; 6;
7) e Q do eixo x com – 9 de abcissa.
4. Represente,
pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano
vertical θ num cone oblíquo, de base circular pertencente a um plano
frontal.
Destaque, a traço
mais forte, a parte do cone situada entre o plano secante e o Plano Frontal de
Projeção.
Preencha, com
tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção.
Dados:
− o ponto O
(5; 2; 5) é o centro da base tangente ao Plano Horizontal de Projeção;
− o eixo do cone é
horizontal, mede 10 cm e o vértice V tem zero de abcissa;
− o plano vertical θ
contém o ponto M do eixo x com 9 de abcissa e é paralelo à
geratriz que contém o ponto mais à esquerda da base do sólido.
5. Represente,
em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois
paralelepípedos retângulos. Destaque, no desenho final, apenas as linhas
visíveis do sólido resultante.
Dados:
Sistema axonométrico:
− a projeção
axonométrica do eixo y faz um ângulo de 130º com a projeção axonométrica
do eixo x e um ângulo de 140º com a projeção axonométrica do eixo z;
− a inclinação das
retas projetantes com o plano axonométrico é de 55º.
Nota – Considere os eixos orientados
em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para
cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Paralelepípedos:
− as faces paralelas
ao plano coordenado yz dos dois paralelepípedos são iguais;
− duas arestas destas
faces são paralelas ao eixo coordenado y e medem 4 cm;
− duas arestas destas
faces são paralelas ao eixo coordenado z e medem 2 cm. Paralelepípedo 1:
− o ponto A
(10; 6; 0) é o vértice de maior abcissa e menor afastamento de uma das faces
paralelas ao plano coordenado yz;
− a outra face
paralela pertence ao plano coordenado yz.
Paralelepípedo 2:
− o ponto I
(10; 4; 2) é o vértice de maior abcissa, menor afastamento e menor cota de uma
das faces paralelas ao plano coordenado yz;
− a outra face
paralela ao plano coordenado yz tem 4 de abcissa.
