SECÇÕES - DESAFIO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Considere uma pirâmide quadrangular oblíqua, situada no 1º diedro. Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida por um plano de rampa ρ.
Dados:
- O quadrado [ABCD] da base tem 6,5 cm de lado e está inscrito no plano frontal de projeção;
- O vértice A tem 7 cm de abcissa e 2 cm de cota e a diagonal [AC] faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x;
- A aresta lateral [CV] da pirâmide é de topo e o vértice V da pirâmide tem 7 cm de afastamento.
- O plano secante ρ tem 7 cm de afastamento e 12 cm de cota.

Bom trabalho !!!


Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

- Representa-se a pirâmide a partir dos seus dados. Note que a base está contida no plano frontal de projeção. O ponto A representa-se facilmente e a partir dele a diagonal [AC] com o ângulo dado, que permite desenhar os lados [AC] e [AD], com 6,5 cm e a fazer com a diagonal conhecida um ângulo de 45º. A aresta ]CV] é de topo, pelo que o vértice do sólido V tem 7 cm de afastamento, a mesma cota e a mesma abcissa de C.

- Representa-se o plano ρ a partir dos seus dados.

- O plano é não projetante, pelo que os pontos de secção não são diretamente determinados.

- Optou-se por recorrer à 3ª projeção (tripla projeção ortogonal), de perfil,  para determinar a figura da secção. Na projeção de perfil o sólido é diretamente 'seccionado' pelo traço de perfil plano, p_ρ.

- Determinaram-se as projeções, frontal e horizontal, do contorno da figura da secção. Note que a aresta [CV] é de topo, pelo que é necessário inverter a representação de C', usando o compasso da projeção de perfil para a projeção horizontal.  As projeções dos restantes 3 pontos da secção são representadas de imediato. Tenha em consideração que a projeção frontal da secção passa no ponto C' que é concidente com C nessa projeção (C₁≡C’₁). A figura da secção fica definida pelos pontos  A', B', C' e D'..

- A projeção frontal da figura da secção não apresenta invisibilidades, mas a projeção frontal apresenta uma vez que o ponto A' é invisível em projeção horizontal, pois pertence a [AV] que é invisível em projeção horizontal.

- Usando o traço de perfil como charneira rebateram-se os 4 pontos da figura da secção, determinando a verdadeira grandeza (V.G.).

Note que foram usados 3 tons no desenho. A lápis estão representadas as construções auxiliares (tom mais claro), num tom intermédio está representado o sólido nas suas 3 projeções e a vermelho (tom mais escuro no lápis) o que se refere às projeções e verdadeira grandeza da figura da secção.

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE PRODUZIDA POR UM PLANO DE RAMPA - 2 MÉTODOS

Considere uma pirâmide regular. Determine a secção produzida por um plano de rampa ρ.
Dados:
- O ponto A(2,5; 0;7) é um dos vértices do quadrado [ABCD] da base, contida no plano frontal de projeção;
- O vértice da pirâmide é o ponto V(3,5;7;4);
- O plano secante ρ tem 5 cm de afastamento e 7 cm de cota.

Método 1 - 3ª projeção (tripla projeção ortogonal):

Breves passos de resolução:
- Representa-se a pirâmide a partir dos seus dados. Note que a base está contida no plano frontal de projeção. O centro da base - ponto O - tem o mesmo afastamento (nulo) do ponto A, uma vez que pertence à base e a abcissa e cota do vértice V.

- Representa-se o plano ρ a partir dos seus dados.

- O plano é não projetante, pelo que os pontos de secção não são diretamente determinados. 

- Optou-se por recorrer à 3ª projeção (tripla projeção ortogonal), de perfil,  para determinar a figura da secção. Na projeção de perfil o sólido é diretamente 'seccionado' pelo traço de perfil plano, p_ρ.

- Determinaram-se as projeções, frontal e horizontal, do contorno da figura da secção. Note que nenhuma aresta é de perfil, pelo que as projeções dos pontos da secção são representadas de imediato. Note que a secção se inicia no vértice da base A, pelo que o ponto A', representado como coincidente com A, é na verdade o mesmo ponto (apenas se mantém a lógica de nomeação dos pontos da figura da secção), ficando A₃≡A’₃, A₂≡A’₂ e A₁≡A’₁ .

- A projeção frontal da figura da secção não apresenta invisibilidades, mas a projeção frontal apresenta uma vez que o ponto C' é invisível em projeção horizontal, pois pertence a [CV] que é invisível em projeção horizontal.

- Usando o traço de perfil como charneira rebateram-se os 4 pontos da figura da secção, determinando a verdadeira grandeza (V.G.).
Note que foram usados 3 tons no desenho. A preto estão representadas as construções auxiliares (tom mais claro), a azul (tom intermédio) está representado o sólido nas suas 3 projeções e a vermelho (tom mais escuro) o que se refere às projeções e verdadeira grandeza da figura da secção.


Método 2 - Método geral de interseção de retas com planos:

Breves passos de resolução:
- Representa-se a pirâmide a partir dos seus dados. Note que a base está contida no plano frontal de projeção. O centro da base - ponto O - tem o mesmo afastamento (nulo) do ponto A, uma vez que pertence à base e a abcissa e cota do vértice V.

- Representa-se o plano ρ a partir dos seus dados.

- O plano é não projetante, pelo que os pontos de secção não são diretamente determinados. 

- Optou-se por recorrer ao método geral de interseção de retas com planos.

- Usando o método escolhido, determinaram-se os pontos da figura da secção, determinado onde é que o plano corta as arestas [BV], [CV] e [DV]. Note que [AV] é cortado diretamente no ponto A, pelo que (A' é o mesmo ponto que A) A₂≡A’₂ e A₁≡A’₁, não sendo necessário recorrer ao método geral utilizado.

- Determinaram-se as projeções, frontal e horizontal, dos pontos (A', B', C' e D') do contorno da figura da secção provocada no sólido pelo plano secante de rampa.

- A projeção frontal da figura da secção não apresenta invisibilidades, mas a projeção frontal apresenta uma vez que o ponto C' é invisível em projeção horizontal, pois pertence a [CV] que é invisível em projeção horizontal.

- Para determinar a verdadeira grandeza da figura da secção recorreu-se à mudança sucessiva de diedros de projeção,  transformando o plano num plano vertical (no 1º passo), plano 4 e num plano frontal (no 2º passo), plano 5. Assim a verdadeira grandeza da figura da secção ficou representada por A’_5,B’₅, C’_{5 e} D’₅. 

- O método escolhido para a determinação da verdadeira grandeza da figura da secção poderia ter sido o rebatimento, usando o triângulo de rebatimento ou o rebatimento dos traços do plano ρ.

Note que foram usados 3 tons no desenho. A preto estão representadas as construções auxiliares (tom mais claro), a azul (tom intermédio) está representado o sólido nas suas 3 projeções e a vermelho (tom mais escuro) o que se refere às projeções e verdadeira grandeza da figura da secção.

Bom estudo !!!

SECÇÃO PRODUZIDA POR UM PLANO DE RAMPA - PIRÂMIDE REGULAR E OBLÍQUA

 PIRÂMIDE REGULAR

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide triangular regular.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.
Dados:
- Os pontos A(0;5;0) e B(4;1;0) são dois vértices do triângulo equilátero [ABC] da base da pirâmide.
- A altura da pirâmide mede 7 cm.
- Os traços horizontal e frontal do plano secante ρ têm, respetivamente, 8 cm de afastamento e 5 cm de cota.

Breves passos de resolução:
- Representa-se a pirâmide a partir dos seus dados. Note que a base está contida no plano horizontal de projeção.

- Representa-se o plano a partir dos seus dados.

- O plano é não projetante, pelo que os pontos de secção não são diretamente determinados. 

- Optou-se por recorrer à 3ª projeção (de perfil) para determinar a figura da secção. Na projeção de perfil o sólido é diretamente 'seccionado' pelo traço de perfil plano.

- Determinaram-se as projeções frontal e horizontal do contorno da secção. Note que nenhuma aresta é de perfil, pelo que as projeções dos pontos da secção são representadas de imediato.

- A projeção frontal da figura da secção apresenta invisibilidades, uma vez que o ponto B' é invisível em projeção frontal, pois pertence a [BV] que é invisível em projeção frontal.

- Usando o traço de perfil como charneira rebateram-se os 3 pontos da figura da secção, determinando a verdadeira grandeza (V.G.).

 PIRÂMIDE OBLÍQUA

Represente pelas suas projeções de uma pirâmide pentagonal oblíqua com base contida no plano horizontal de projeção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Determine as projeções e a verdadeira grandeza do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

Dados

– a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O (4; 5; 0) e 5  cm de raio;

– a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;

– o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;

– o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

Breves passos de resolução:
- Representa-se a pirâmide oblíqua (na imagem a azul) a partir dos seus dados. Note que a base está contida no plano horizontal de projeção e que a face [ABV] é frontal, pelo que os 3 pontos têm o mesmo afastamento. V₂ foi marcado com 9 cm de cota.
- As arestas [AB] e [BV] são invisíveis em projeção frontal.

- Representa-se o plano a partir dos seus dados.

- O plano é não projetante, pelo que os pontos de secção não são diretamente determinados. 

- Optou-se por recorrer à 3ª projeção (de perfil) para determinar a figura da secção. Na projeção de perfil o contorno da secção determina-se diretamente no traço de perfil plano.

- Determinaram-se as projeções frontal e horizontal do contorno da secção. Note que a aresta [DV] é de perfil, pelo que o ponto D' foi determinado em projeção frontal diretamente a partir da 3ª projeção e a projeção horizontal a partir da projeção de perfil, usando o compasso para tal.

- A projeção frontal da figura da secção apresenta invisibilidades, uma vez que os pontos da secção A' e B' são invisíveis em projeção frontal, pois pertencem respetivamente a [AV] e [BV].

- Usando o traço de perfil como charneira rebateram-se os 5 pontos da figura da secção, determinando a verdadeira grandeza (V.G.).

SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE

Os pontos A(2;1;2) e B(–2;2;2) são dois vértices consecutivos de um quadrado [ABCD], da base de uma pirâmide quadrangular que tem 5 cm de altura.
Considerando o plano de topo ϴ que tem 4 cm de abcissa e faz um ângulo de 55º (a.d.) com o plano horizontal de projeção, determine as projeções e a verdadeira grandeza /V.G.) da figura da secção.

Breves passos de resolução:
- Representa-se a pirâmide a partir dos seus dados.

- Representa-se o plano a partir dos seus dados.

- O plano é projetante, pelo que os pontos de secção são diretamente determinados. Note que a figura da secção não apresenta invisibilidades nas suas projeções.

- Rebatendo a figura da secção através do plano de topo, obtém-se a verdadeira grandeza (V.G.).