BOAS FESTAS - NATAL 2014 E ANO NOVO 2015

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BOM NATAL e PRÓSPERO ANO 2015.

TESTE Nº 2 - 2014/2015 - ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.       Determine as suas projeções do ponto I, traço da reta b no plano bissetor dos diedros pares (β_2,4).

Dados

–  a reta b é paralela ao plano δ;

– a reta b contém o ponto P(–7;7;–2);

– a projeção horizontal da reta b faz um ângulo de 45⁰, de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano δ está definido pelos pontos R(3;6;3), S(0;6;5) e T(–3;1;5).

 

2.       Determine as projeções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.

Dados

– P(–2;2;7);

– o plano α é definido pelo ponto R e pela reta frontal f;

– o ponto R pertence ao eixo x e tem 2 de abcissa;

– a reta f faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o plano horizontal de projeção e o seu traço horizontal é o ponto H, com –2 de abcissa e 4 de afastamento.

3.       Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base triangular [ABC] situada num plano de rampa ω.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados

–  vértice A (5; 3; 6);

– o traço horizontal do plano ω tem 9 de afastamento;

– o vértice B tem 3 de abcissa e 8 de afastamento;

– o vértice C tem abcissa negativa;

– o vértice V do sólido pertence ao Plano Horizontal de Projeção.

4.       Determine as projeções da reta i resultante da interseção entre os planos δ e α.

Dados

– o plano δ é definido pelo ponto A (–4; 4; 2) e pela reta g;

– a reta g é fronto-horizontal com 2 de afastamento e 4 de cota;

– o plano α contém o ponto K do eixo x com 5 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 60⁰, de abertura para a esquerda, com este eixo;

– o plano α é oblíquo e perpendicular ao β_2,4, bissetor dos diedros pares.

ESTRUTURA PARCIAL DO TESTE Nº 2 - 2014/2015

Estrutura parcial do teste sumativo nº 2:

• Sólidos com bases contidas em planos oblíquos ou de rampa

• Paralelismo

• Distância de um ponto a um plano oblíquo

• ???

Bom trabalho a todos.

SÓLIDOS III – PRISMA COM BASES CONTIDAS NUM PLANO DE RAMPA – 3ª PROJEÇÃO

Represente, pelas suas projeções, um prisma quadrandgular, situado no 1º diedro.

Dados:

– os pontos A(0;3;2) e B(4;5;0) são dois vértices consecutivos do quadrado da base [ABCD], contido num plano de rampa ρ.

Proposta de resolução – 3ª projeção (de perfil):

Breves passos de resolução:

– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que B pertence ao traço horizontal (tem cota nula). O traço frontal foi determinado a partir de uma reta que contém os dois pontos (o traço frontal do plano passa no traço frontal da reta representada em A e B; 

– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto B fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα);

– determinam-se os restantes vértices da base – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D;

– pelo ponto A (qualquer ponto podia ser escolhido) representou-se uma reta perpendicular ao plano, que é necessariamente uma reta de perfil;

– representou-se o traço de perfil – p_ρ;

– representou-se a projeção de perfil do ponto A e por esta representou-se a 3ª projeção da reta de perfil perpendicular ao plano;

– marcou-se a altura do prisma, determinando o ponto A' na 3ª projeção (de perfil) da outra base do prisma;

–representou-se o ponto A' pelas suas projeções frontal e horizontal;

– as distâncias entre A e A' nas suas projeções frontal e horizontal marcadas em B', C' e D' permitiram determinar os restantes pontos da outra base do prisma e representar o sólido pelas suas projeções, atendendo às invisibilidades.

Note que existem diferenças consideráveis entre o uso da 'projeção de perfil' e o 'rebatimento' anteriormente usado, que justifica o estudo separado e aprofundado, uma vez que se apresenta como um alternativa muito válida.

SÓLIDOS III – PIRÂMIDE COM BASE CONTIDA NUM PLANO DE RAMPA

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, com a base contida num plano de rampa e situada no 1º diedro.

Dados:

– os pontos A(1;3) e C(5;0) são dois vértices opostos do quadrado [ABCD] da base, ficando A 3 cm à esquerda de C;

– a pirâmide mede 8 cm de altura.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

– representam-se os pontos A e C, em função das suas coordenadas;

– os pontos A e C permitem representar uma reta oblíqua, cujos traços possibilitam a representação do plano. Note que apenas se determinou o traço frontal da reta r, uma vez que o ponto C era o traço horizontal;

 – rebatem-se os pontos A e C. Note que o ponto C fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano). Optou-se pelo rebatimento dos traços;

– determinam-se os restantes vértices da base – B e D – em verdadeira grandeza. Optou-se pela determinação do centro de base e pela inversão do seu rebatimento, uma vez que o ponto O ajudava na inversão do rebatimento da reta que contém B e D. Note que o centro O pertence às duas retas, que suportam as diagonais do quadrado;
– inverte-se o rebatimento dos vértices B e D. Representou-se o quadrado [ABCD] da base pelas suas projeções;

– a partir do ponto O representou-se uma reta p, perpendicular ao plano. Trata-se necessariamente de uma reta de perfil;

– rebateu-se a reta p, através de um plano projetante, que é de perfil, sem outra opção disponível. Para este rebatimento representou-se a reta i de interseção do plano de perfil com o plano de rampa, que é novamente uma reta de perfil. Assim rebateu-se a reta i através do rebatimento dos seus traços (F e H) e o ponto O (este ponto pertence simultaneamente às duas retas de perfil). A reta p é perpendicular à reta i no ponto O, uma vez que a reta é perpendicular ao plano no ponto O, pelo que é perpendicular a todas as retas do plano de rampa que passam em O;

– a partir de O rebatido marcou-se a distância de 8 cm, que corresponde à altura da pirâmide, determinando-se o vértice V da pirâmide;

– inverteu-se o rebatimento de V e representou-se a pirâmide pelas suas projeções, atendendo às invisibilidades.

CUBO SITUADO NUM PLANO OBLÍQUO

Represente, pelas suas projeções, um cubo contido num plano oblíquo α e situado no 1º diedro.

Dados:

– os pontos A(4;0) e B(0;3) são dois vértices consecutivos da face do cubo [ABCD];

– os traços, frontal e horizontal, do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 45⁰(a.e.) e 60⁰(a.e.) com o eixo x.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

– representa-se o plano pelos seus traços, a partir dos dados fornecidos;

– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula) e B pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo);

– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, uma vez que pertence à charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα);

– determinam-se os restantes vértices da face – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D;

– por um dos pontos da face representada, neste caso por opção o ponto B, representou-se uma reta ortogonal ao plano;

– rebateu-se a reta p, perpendicular ao plano, através de um de topo (podia ter sido vertical). Para isso rebateu-se o ponto B e o ponto da charneira (traço horizontal da reta p - ponto H) que fica por isso de imediato rebatido;

– a partir de Br marcou-se a verdadeira grandeza da aresta (no cubo as arestas são todas iguais), obtendo B' e inverteu-se o rebatimento deste ponto;

– marcou-se uma aresta igual à de [BB'], nas duas projeções, nos restantes pontos e representou-se o cubo.

SÓLIDOS III – REPRESENTAÇÃO DE PIRÂMIDES COM BASES CONTIDAS EM PLANOS OBLÍQUOS

Considere um quadrado [ABCD] contido num plano oblíquo α, que é a base de uma pirâmide quadrangular, situada no 1º diedro.

Dados:

 – os pontos A(4;0) e B(0;3) são dois vértices consecutivos do quadrado da base;

– o traço frontal do plano faz um ângulo de 40⁰ (a.e.) com o eixo x e o traço horizontal faz um ângulo de 60⁰ com o mesmo eixo;

– a pirâmide mede 7 cm de altura.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

– Representa-se o plano pelos seus traços a partir dos seus dados;
– representam-se os pontos A e B, em função das suas coordenadas. Note que A pertence ao traço horizontal (tem cota nula) e B pertence ao traço frontal (tem afastamento nulo);
– rebatem-se os pontos A e B. Note que o ponto A fica imediatamente rebatido, em função da charneira de rebatimento escolhida (neste caso o traço horizontal do plano – hα;
– determinam-se os restantes vértices da base – C e D – em verdadeira grandeza;
– inverte-se o rebatimento dos vértices C e D. Note que, pelo facto de a base ser um quadrado, o centro O pode determinar-se diretamente nas projeções da base, a partir das diagonais do quadrado;
– depois de representado o quadrado pelas suas projeções, determinou-se o centro da base, necessário à representação do eixo da pirâmide;
– pelo centro da base O representa-se uma reta perpendicular ao plano – a reta p (p1 fica perpendicular a hα e p2 fica perpendicular a fα) ;
– o eixo da pirâmide, contido na reta p, pertence a uma reta oblíqua, pelo que é necessário efetuar um 2º rebatimento, a partir de um plano projetante que contenha a reta. Optou-se por um plano de topo. Note que para rebater a reta p foi usado o rebatimento de O e o ponto da reta que pertence à charneira de rebatimento;
– a partir de Or marca-se a altura da pirâmide – 7 cm – obtendo-se Vr (vértice do sólido rebatido);
– inverte-se o rebatimento de V e representa-se o mesmo pelas suas projeções;
– representa-se a pirâmide (na imagem a vermelho) atendo às invisibilidades. Note que o vértice é visível em ambas as projeções e o contorno aparente (horizontal e frontal) fica sempre a traço contínuo.

FIGURAS PLANAS III - CONTIDAS EM PLANOS OBLÍQUOS

Represente, pelas suas projeções, um quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo Ψ e situado no 1º diedro.

Dados:

– os pontos A(0;3) e B(2;0) são dois vértices consecutivos do quadrado;

– o plano Ψ é ortogonal ao β_2,4 e o seu traço horizontal faz um ângulo de 55⁰ (a.e.).

Proposta de resolução - Método proposto - REBATIMENTO DOS TRAÇOS DO PLANO:

Breves passos de resolução:

– representa-se o plano pelos seus traços, a partir do ângulo do traço horizontal. Note que os traços ficam coincidentes, pois o plano Ψ é ortogonal ao β_2,4;

– representam-se os pontos A e B, diretamente nos traços frontal e horizontal, pois têm respetivamente zero de afastamento e de cota;  

– rebate-se o plano pelos seus traços, conforme a proposta de resolução. A charneira é o traço horizontal, pelo que fica de imediato rebatido e o traço frontal foi rebatido, de acordo com a aprendizagem feita na sala de aula, abrindo o compasso de K e A2, rebatendo até ao plano ortogonal que contém A;

– rebatem-se os pontos A e B, sendo que B fica de imedaito rebatido por pertencer à charneira escolhida;

– determina-se o quadrado em verdadeira grandeza;

– inverte-se o rebatimento dos pontos C e D, representando-se o quadrado pelas suas projeções conforme era pedido no enunciado.

TESTE SUMATIVO Nº 1 - 2014-2015

ENUNCIADO E PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:

1.       Determine as projeções da reta p perpendicular ao plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(3;3;4) e a reta r;

– a reta r contém os pontos R(0;5;–5) e S(–4;–4;4);

– a reta p contém o ponto A.

2.       Determine os traços do plano θ paralelo ao plano α.

Dados

– o plano α é definido pelos pontos A, B e C;

– o ponto A, com 3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_1,3, bissetor dos diedros ímpares;

– o ponto B, com –6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_2,4, bissetor dos diedros pares;

– ponto C (–8; 4; –4);

– o plano θ contém o ponto P (–2; 2; –6).

 

3.       Determine as projeções da reta i resultante da intersecção entre os planos δ e α.

Dados

− o plano δ é de rampa e está definido pelo ponto A(–4;4;2) e pela reta g;

− a reta g é fronto-horizontal com 2 de afastamento e 4 de cota;

− o plano α contém o ponto K do eixo x com 5 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 60⁰, de

abertura para a esquerda, com este eixo;

− o plano α é oblíquo e perpendicular ao β_2,4, bissetor dos diedros pares.

4.       Represente o quadrado [ABCD], situado no 1º diedro.

Dados

– o quadrado está contido num plano de rampa ρ.

– os pontos A(1;1;7) e C(–1;4;2) definem uma das diagonais do quadrado.

1.       Determine as projeções da reta p perpendicular ao plano α.

Dados

– o plano α contém o ponto A(–3;3;4) e a reta r;

– a reta r contém os pontos R(0;5;–5) e S(4;–4;4);

– a reta p contém o ponto A. 

2.       Determine os traços do plano θ paralelo ao plano α.

Dados

– o plano α é definido pelos pontos A, B e C;

– o ponto A, com –3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_1,3, bissetor dos diedros ímpares;

– o ponto B, com 6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β_2,4, bissetor dos diedros pares;

– ponto C (8; 4; –4);

– o plano θ contém o ponto P (2; 2; –6).

3.       Determine as projeções da reta i resultante da intersecção entre os planos δ e α.

Dados

− o plano δ é de rampa e está definido pelo ponto A(4;4;2) e pela reta g;

− a reta g é fronto-horizontal com 2 de afastamento e 4 de cota;

− o plano α contém o ponto K do eixo x com –5 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 60⁰, de

abertura para a direita, com este eixo;

− o plano α é oblíquo e perpendicular ao β_2,4, bissetor dos diedros pares.

 

4.       Represente o quadrado [ABCD], situado no 1º diedro.

Dados

– o quadrado está contido num plano de rampa ρ.

– os pontos A(–1;1;7) e C(1;4;2) definem uma das diagonais do quadrado.