REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA TRIÉDRICA - MÉTODO DOS CORTES

MÉTODO DOS CORTES

Considere uma axonometria triédrica  em que o eixo z faz com o eixo x um diedro de 130º e com o eixo y um diedro de 110º.
Represente uma pirâmide quadrangular regular situada no 1º triedro, com 6 cm de altura.
O quadrado [ABCD], contido no plano coordenado xy, é a base do sólido.  O ponto A, com 1 cm de abcissa e 2 cm de afastamento é um dos vértices do quadrado. Os lados do quadrado medem 4 cm e são paralelos aos eixos.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

- Representa-se o eixo z e a partir deste marcam-se os ângulos indicados, representando os eixos x e y. Note que os eixos são identificados por letra minúsculas, tal como sucedia na representação diédrica.
- Usando o método dos cortes rebateram-se os planos coordenados xy e xz. Note que poderíamos ter optado por yz em alternativa a xz.
- Representou-se a projeção horizontal (A1r) e frontal (A2r) em rebatimento.
- Representaram-se os restantes vértices, B, C e D em rebatimento, igualmente nas duas projeções usadas para o ponto A. Note que os lados são paralelos aos eixos x e y, como era indicado.
- A perspetiva dos vértices A, B, C e D do quadrado é obtida a partir do cruzamento das linhas de perpendiculares às charneiras usadas (lados do triângulo fundamental), feitas a partir de cada ponto.
- Representou-se o quadrado [ABCD] em perspetiva e através das suas diagonais determinou-se o centro da base.
- O eixo é paralelo ao eixo z e mede 6 cm reduzidos. A marcação da altura foi feita no eixo z rebatido e a redução foi feita perpendicularmente à charneira, diretamente para o eixo z original. Esta medida (6 cm reduzidos) foi transportada com o compasso, determinando-se deste modo o vértice V do sólido.
- A vermelho (que simboliza o sublinhado do traço mais escuro) representaram-se as arestas visíveis do sólido.

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA TRIÉDRICA - MÉTODO DOS CORTES

MÉTODO DOS CORTES

Considere uma axonometria triédrica  em que o eixo z faz com o eixo x um diedro de 130º e com o eixo y um diedro de 110º.
Represente o quadrado [ABCD], contido no 1º triedro e assente no plano coordenado xy. O ponto A, com 1 cm de abcissa e 2 cm de afastamento é um dos vértices do quadrado. Os lados do quadrado medem 4 cm e são paralelos aos eixos.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:

- Representa-se o eixo z e a partir deste marcam-se os ângulos indicados, representando os eixos x e y. Note que os eixos são identificados por letra minúsculas, tal como sucedia na representação diédrica.
- Usando o método dos cortes rebateram-se os planos coordenados xy e xz. Note que poderíamos ter optado por yz em alternativa a xz.
- Representou-se a projeção horizontal (A1r) e frontal (A2r) em rebatimento.
- Representaram-se os restantes vértices, B, C e D em rebatimento, igualmente nas duas projeções usadas para o ponto A. Note que os lados são paralelos aos eixos x e y, como era indicado.
- A perspetiva dos vértices A, B, C e D do quadrado é obtida a partir do cruzamento das linhas de perpendiculares às charneiras usadas (lados do triângulo fundamental), feitas a partir de cada ponto.
- A vermelho representou-se o quadrado [ABCD] em perspetiva.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJETADA DE CILINDROS OBLÍQUOS

1
Considere um cilindro oblíquo, situado no 1º diedro.

Dados
– Os círculos das bases medem 3 cm;
– Uma das bases está contida no plano horizontal de projeção, cujo centro é o ponto O(0;5;0);
– As geratrizes do cilindro fazem ângulos de 60º(a.d.) e 45º(a.d.) com o eixo x, respetivamente em projeção horizontal e em projeção frontal;
– O sólido mede 3 cm de altura.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada do prisma nos planos de projeção.


Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:
– Representa-se o cilindro a partir dos seus dados. Note que o eixo [OO'] é paralelo às geratrizes, pelo que se representam as duas bases facilmente.
– Num ponto aleatório representa-se um raio luminoso l e uma reta g, paralela às geratrizes do cilindro.
– Determina-se a reta i de interseção do plano definido pelas duas retas com o plano de menor cota (neste caso é o plano horizontal de projeção).

– Na base de menor cota desenha-se um diâmetro perpendicular à reta i que nos define os dois pontos de tangência, T e S. Por estes pontos representam-se as retas tangentes t e t', paralelas à reta i.
– Na base de maior cota desenha-se uma diâmetro paralelo ao diâmetro da reta de menor cota (perpendicular à reta i) que nos define os pontos de tangência T' e S'.

– Os pontos T e T' permitem representar uma geratriz, invisível em projeção frontal, que pertence à linha separatriz luz/sombra e pelos pontos S e S' desenha-se a outra geratriz, invisível em projeção horizontal, da linha separatriz luz/sombra.
– A geratriz definida pelos pontos S e S' permite representar a sombra própria em projeção frontal e a geratriz definida pelos pontos T e T' permite representar a sombra própria em projeção horizontal. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada a azul, simbolizando a mancha uniforme de grafite mais escura do desenho.
– A sombra projetada do cilindro nos planos de projeção começa na base inferior, uma vez que esta tem cota nula. Determina-se a sombra real dos pontos de tangência T' e S' da base superior, bem como do seu centro O'.
– Uma vez que a sombra se projeta apenas no plano onde as bases estão em verdadeira grandeza, a sombra projetada, unem-se as sombras dos pontos de tangência T e T' e de S e S'.  A sombra termina no semicírculo desenhado com o compasso a partir da sombra de centro O' e com o raio das bases. 

- A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha uniforme mais clara. 

2

Considere um cilindro oblíquo, situado no 1º diedro.

Dados
– As bases circulares são horizontais e medem 4 cm de raio;
– Os centros das bases são os pontos O(0;5;1) e O'(–3,5;7;7).
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada do prisma nos planos de projeção.


Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:
– Representa-se o cilindro a partir dos seus dados. Os centros das bases com a medida do raio permitem representar as bases do cilindro. Note que o eixo [OO'] é paralelo às geratrizes, pelo que se representa o cilindro facilmente.
– Num ponto aleatório representa-se um raio luminoso l e uma reta g, paralela às geratrizes do cilindro.
– Determina-se a reta i de interseção do plano definido pelas duas retas com o plano de menor cota (neste caso é um plano horizontal com 1 cm de cota).

– Na base de menor cota desenha-se um diâmetro perpendicular à reta i que nos define os dois pontos de tangência, T e S. Por estes pontos representam-se as retas tangentes t e t', paralelas à reta i.
– Na base de maior cota desenha-se uma diâmetro paralelo ao diâmetro da reta de menor cota (perpendicular à reta i) que nos define os pontos de tangência T' e S'.

– Os pontos T e T' permitem representar uma geratriz, invisível em projeção frontal, que pertence à linha separatriz luz/sombra e pelos pontos S e S' desenha-se a outra geratriz, invisível em projeção horizontal, da linha separatriz luz/sombra.
– A geratriz definida pelos pontos S e S' permite representar a sombra própria em projeção frontal e a geratriz definida pelos pontos T e T' permite representar a sombra própria em projeção horizontal. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada a azul, simbolizando a mancha de grafite uniforme de grafite mais escura do desenho.
– Para determinar a sombra projetada do cilindro nos planos de projeção determina-se a sombra real dos pontos de tangência T e S, bem como do centro O, que permitem representar o semicírculo da base inferior onde começa a sombra projetada. Em seguida determina-se a sombra real dos pontos de tangência T' e S' da base superior, bem como do seu centro O'. A sombra real dos pontos S e S' permite determinar a sombra da geratriz que passa nestes pontos. A sombra real de T e a sombra virtual de T' permitem representar a sombra da geratriz que passa nos mesmos pontos até ao eixo x, determinando um ponto de quebra, de onde se une até T’_s2. A curva aproximada da sombra projetada entre T’_s2 e o eixo x é feita com recurso à sombra de 3 pontos do arco.
- A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha de grafite uniforme mais clara.