domingo, 16 de março de 2014

SOMBRA DO CONE DE REVOLUÇÃO

1
Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro, com a base contida no plano horizontal de projeção.
Dados
- A base tem centro O(2;5;0) e o raio mede 3 cm;
- A altura do sólido mede 8 cm.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Proposta de resolução:
  
Breves passos de resolução:
- Representa-se o cone a partir dos seus dados.
- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.
- Determina-se o ponto I de interseção do raio luminoso l com o plano (horizontal de projeção) que contém a base.
- Determina-se o ponto médio de [I1O1], que nos permite determinar com rigor os pontos de tangência (T e T').
- A partir de I1 representam-se as retas tangentes (que passam por I1 e nos pontos de tangência T e T' previamente determinados). Assim as retas tangentes t e t' são simultaneamente traços horizontais dos planos tangentes luz/sombra, uma vez que se trata de duas retas horizontais de cota nula.
- Usando os pontos T e T' representam-se as duas geratrizes que definem a linha separatriz luz/sombra. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada a negro, simbolizando a mancha de grafite uniforme mais escura do desenho.
- A determinação da sombra do vértice permite representar a sombra projetada do cone nos planos de projeção. Note que para determinação dos pontos de quebra se recorreu à sombra virtual do vértice V. A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha uniforme mais clara.



2
Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro, com a base contida num plano horizontal.
Dados
- A base tem centro O(2;5;1,5) e o raio mede 3 cm;
- A altura do sólido mede 8 cm.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:
- Representa-se o cone a partir dos seus dados.
- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.
- Determina-se o ponto I de interseção do raio luminoso l com o plano (horizontal) que contém a base.
- Determina-se o ponto médio de [I1O1], que nos permite determinar com rigor os pontos de tangência (T e T').
- A partir de I1 representam-se as retas tangentes (que passam por I1 e nos pontos de tangência T e T' previamente determinados).
- Usando os pontos T e T' representam-se as duas geratrizes que definem a linha separatriz luz/sombra. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada a negro, simbolizando a mancha uniforme mais escura do desenho.
- Para determinar a sombra projetada do cone nos planos de projeção, foi necessário determinar a sombra real dos pontos de tangência (T e T')e do centro da base, além do vértice V. Note que para determinação dos pontos de quebra se recorreu à sombra virtual do vértice V. A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha uniforme mais clara. Tenha em consideração que a sombra projetada do cone começa na sua base, que é paralela à projeção horizontal da base (uma vez que o plano é paralelo ao PHP), pelo que se representa em verdadeira grandeza (com compasso, usando o mesmo raio da base)) no arco maior entre os pontos T e T'.



3
Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro, com a base contida num plano horizontal.
Dados
- A base tem centro O(0;4;8) e o raio mede 3 cm;
- O vértice V pertence ao plano horizontal de projeção.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:
- Representa-se o cone a partir dos seus dados. Note que o vértice V e o centro da base O pertencem a uma reta vertical.
- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.
- Determina-se o ponto I de interseção do raio luminoso l com o plano (horizontal) que contém a base.
- Determina-se o ponto médio de [I1O1], que nos permite determinar com rigor os pontos de tangência (T e T').
- A partir de I1 representam-se as retas tangentes (que passam por I1 e nos pontos de tangência T e T' previamente determinados).
- Usando os pontos T e T' representam-se as duas geratrizes que definem a linha separatriz luz/sombra. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada a negro, simbolizando a mancha uniforme mais escura do desenho. Note que só existe sombra própria (visível) em projeção frontal, uma vez que na projeção horizontal a base, que está toda iluminada, tapa o resto do sólido.
- Para determinar a sombra projetada do cone nos planos de projeção, foi necessário determinar a sombra real dos pontos de tangência (T e T'), além de mais 5 pontos pertecentes ao arco maior de [TT'] e do vértice V. Note que para determinação dos pontos de quebra se recorreu à sombra virtual do vértice V.
- Os 5 pontos da base usados, além dos pontos de tangência, foram determinados recorrendo à inscrição do círculo da base num quadrado. O mesmo quadrado surge representado, com o ângulo da direção luminosa convencional, em projeção frontal e facilita a determinação rigorosa da sombra dos 5 pontos. Esses 5 pontos  da base pertencem às diagonais e às medianas do quadrado, como se observa na imagem.
- A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha uniforme mais clara. Tenha em consideração que a curva aproximada da sombra projetada da base do cone é feita à mão, com auxílio dos pontos acima referidos.



4
Considere um cone de revolução, situado no 1º diedro, com a base contida num plano de perfil.
Dados
- A base tem centro O(0;5;4) e o raio mede 3 cm;
- A altura da pirâmide mede 6 cm e o vértice V situa-se à direita da base.
Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada da pirâmide nos planos de projeção.

Proposta de resolução:

Breves passos de resolução:
- Representa-se o cone a partir dos seus dados.
- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.
- Determina-se o ponto I de interseção do raio luminoso l com o plano (de perfil) que contém a base.
- Rebate-se o ponto I. Determina-se o ponto médio de [IrOr], que nos permite determinar com rigor os pontos de tangência (T e T') em rebatimento.
- A partir de Ir determinam-se as retas tangentes rebatidas, que passam nos pontos de tangência (Tr e T'r) o que nos permite identificar a linha separatriz luz/sombra.
- Representou-se a reta i (a verde) de interseção do plano de perfil da base com o β1,3 em rebatimento, uma vez que as projeções da reta já estavam representadas. A reta i rebatida permite identificar os pontos do círculo da base que pertencem ao β1,3 e que têm a sua sombra no eixo x. Note que apenas um ponto pertence ao arco maior definido em sombra.
- Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida, considerando que a zona se sombra se encontra no arco maior de [TT'],  e surge na imagem sombreada a negro, simbolizando a mancha uniforme mais escura do desenho.
- A determinação da sombra projetada nos planos de projeção é construída com recurso à sombra dos pontos de tangência, T e T', do vértice V e do ponto que tem a suma sombra no eixo x. A sombra entre os pontos de tangência, T e T', e o vértice V constrói-se com recurso suplementar à sombra virtual de V. A curva aproximada da sombra da base projetada nos planos de projeção realizou-se com recurso a 5 pontos, pelo método rigoroso aprendido anteriormente (que se situam nas medianas e nas diagonais do quadrado que inscreve o círculo da base), além do ponto  do β1,3 que tem a sua sombra no eixo x e permite a transição entre os dois planos na representação da sombra projetada.
- A sombra projetada surge no desenho representada a vermelho que simboliza a mancha uniforme mais clara. Tenha em consideração que a curva aproximada da sombra projetada da base do cone é feita à mão, com auxílio dos pontos acima referidos.





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